ekstrema kaja: Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = x² + 2xy + 2y² − 4x − 6y

matura210: to pochodne czastkowe trzeba nie?

matura210: wzgledem x i y

kaja: tak

kaja: Może jednak ktoś pamięta wzory na ekstrema?

Bogdan: f'_x = 2x + 2y − 4 f'_y = 2x + 4y − 6 Warunek konieczny istnienia ekstremum: f'_x = 0 ⇒ 2x + 2y − 4 = 0 ⇒ x + y = 2 f'_y = 0 ⇒ 2x + 4y − 6 = 0 ⇒ x + 2y = 6 Stąd x = −2, y = 4. Podejrzanym o ekstremum jest punkt P(−2, 4) Wyznaczamy pochodne drugiego rzędu: f''_xx = 2, f''_xy = 2, f''_yx = 2, f''_yy = 4 Warunek konieczny istnienia ekstremum: | 2 2 | W(−2, 4) = | | = 8 − 4 = 4 > 0 | 2 4 | W punkcie P(−2, 4) funkcja posiada minimum (f''_xx = 2 > 0): f(−2, 4) = 4

matura210: dziwne to

kaja: dzięki

kaja: Bogdan w rozwiązaniu jest błąd f'y = 0 ⇒x+2y=3 a nie 6

Bogdan: Dobrze, że nie ograniczasz się tylko do odczytania rozwiązania, ale uważnie je analizujesz. Popraw błąd i wyznacz ekstremum tej funkcji. Postępowanie przy jej wyznaczeniu nie zmienia się.

kaja: w takim razie dzięki. Jeśli możesz to zerknij na rozwiązanie kolejnego zadania.

kaja: f(1,1) = −5

kasiek: a wyznaczyć ekstrema takiej funkcji : f(x,y)= x³+y²−6xy+24x ?

Basia: tak samo

kasiek: to jest trochę inny przykład, a jakieś wskazówki?

Basia: policz najpierw f'_x i f'_y znajdź miejsca zerowe tych pochodnych (wspólne, czyli układ równań) jeżeli są policz f"_xx, f"_xy, f"_yx, f"_yy i wyznacznik W(x,y) = | f"_xx f"_xy | | f"_yx f"_yy | i jego wartość w punktach, które są m.zerowymi f'_x i f'_y jeżeli W(x₀,y₀)<0 nie ma ekstremum w p−cie (x₀,y₀) jeżeli W(x₀,y₀)=0 nie potrafimy rozstrzygnąć jeżeli W(x₀,y₀)>0 jest ekstremum dla f"_xx(x₀,y₀)>0 minimum dla f"_xx(x₀,y₀)<0 maksimum

paweł: 6x+y=8 −6x+4y−2=0 wylicz X i Y

paweł: 6x+y=8 −6x+4y−2=0 wylicz X i Y błagam o pomoc

lukas: Mam problem z rozwiazaniem układu równań 3x²−9y=0 3y²−9x proszę o pomoc

ICSP: brak drugiego równania

lukas: 3x2−9y=0 3y2−9x=0

ICSP: 3x² − 9y = 0 3y² − 9x = 0 dzieląc przez 3 oba równania

	1
x2 − 3y = 0 ⇒ y =		x2 − wstawiając to do drugiego równania
	3

y² − 3x = 0

1
	x4 − 3x = 0 // * 9
9

x⁴ − 27x = 0 x(x³ − 27) = 0 ⇒ x = 0 v x³ = 27 ⇒ x = 0 v x = 3 Układ równań spełniają zatem dwa punkty x = 0 oraz y = 0 v x = 3 oraz y = 3

ania: jak wyznaczyć ekstrema: f(x,y) = −x² − 2y² + 2x −4y + 5