zadanie ze bioru maturalnego, stereometria Wojtas: Podstawą ostrusłupa ABCS jest trójkąt prostokatny o kącie prostym w wierzchołku C. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 3. Sciany boczne ACS i BCS są prostopadłe do podstawy. Pole ściany ABS jest równe 12√2 i jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objetość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

dero2005: 185228

Wojtas: wydaje mi sie że hs i hp nie koniecznie muszą sie zbiegać w jednym punkcie na odcinku AB, mam racje?

dero2005: muszą się zbiegać (spotykać) w jednym punkcie gdyż inaczej nie byłoby kąta α gdzie odmierzyć

dero2005: płaszczyzna h_p, h_s, h jest prostopadła do podstawy ABC i do boku ABS

Mati_gg9225535: Dane: Szukane: R=3 V = ? α = 60^o P_c = ? P_ΔABS = 12√2 ΔABC:

	1
R = 3 =		a ⇒ a = 6
	2

ΔABS:

	1
PABS=		a * hb
	2

	1
12√2 =		* 6 * hb ⇒ hb = 4√2
	2

ΔCES: α=60^o

	√3		H
sinα =		=
	2		hb

H		√3
	=		⇒ H = 2√6
4√2		2

hp		1
	= cosα =
hb		2

hp		1
	=		⇒ hp = 2√2
4√2		2

ΔABC:

	1		1
PΔABC =		*a * hp =		* 6 * 2√2 = 6√2
	2		2

a)

	1		1
V =		* PΔABC * H =		* 6√2 * 2√6 = 8√3
	3		3

	bc
PΔABC =		= 6√2
	2

	12√2
bc = 12√2 ⇒ b =
	c

a² = b² + c²

	288
36 =		+ c2
	c2

c⁴ − 36c² + 288 = 0 t = c² t² − 36t + 288 = 0 Δ = 1296 − 1152 = 144 √Δ = 12

	36 − 12		36+12
t =		v t =
	2		2

t = 12 v t = 24 c² = 12 v c² = 24 c₁ = 2√3 v c₂ = 2√6

	12√2		12√2
b1 =		b2 =
	2√3		2√6

⎧	c = 2√3
⎩	b = 2√6

v

⎧	c = 2√6
⎩	b = 2√3

	⎧	b = 2√6
przyjmujemy, że	⎩	c = 2√3

b)

	c * H		2√3 * 2√6
PΔACS =		=		= 6√2
	2		2

	b * H		2√6 * 2√6
PΔBCS =		=		= 24
	2		2

P_c = P_ΔABC + P_ABS + P_ΔACS + P_ΔBCS P_c = 6√2 + 12√2 + 6√2 + 24 = 24 (1 + √2)

Mati_gg9225535: uffff

Mati_gg9225535: moglem sie gdzies pomylic

Wojtas: wy zakładacie że te wysokości hp i hs sie przecinają, tak nie jest to nie jest ostrosłup prawidłowy

dero2005: uruchom wyobraźnię przestrzenną

Wojtas: w takim razie zawsze w ostrosłupie kąt nachylenia ściany do podstawy to kąt miedzy wysokościami?

dero2005: tak

Bogdan: UWAGA: Odcinek ES nie jest wysokością trójkąta ABS

	1
c = |AB| = 6,		*6*h = 12√2 ⇒ h = 4√2
	2

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 60^o otrzymujemy:

	1
w =		h = 2√2 oraz H = w√3 = 2√6
	2

	1
Pole podstawy ostrosłupa Pp =		*6*w = 3*2√2 = 6√2
	2

	1
Objętość ostrosłupa: V =		* 6√2 * 2√6 = 8√3
	3

	1		1		1
Pc = Pp + PABS +		a*H +		b*H = 6√2 + 12√2 +		*2√3(a + b) =
	2		2		2

= 18√2 + √3(a + b) Trzeba obliczyć wartość a+b.

	1		1
a2 + b2 = 36, Pp =		ab ⇒ 6√2 =		ab /*4 ⇒ 24√2 = 2ab
	2		2

(a + b)² = a² + 2ab + b² ⇒ a + b = √36 + 24√2 = 2√9 + 6√2 P_c = 18√2 + √3*2√9 + 6√2 = 18√2 + 2√27 + 18√2 = 18√2 + 2√ (3√2+3)² = = 18√2 + 2*|3√2+3| = 18√2 + 6√2 + 6 = 24√2 + 6

Matematyk bez szkoły: Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jedną rzecz? Skoro u Bogdana H wyszło 2√6, to czemu przy wyliczaniu Pola całkowitego podstawia za H 2√3? Zresztą i tak wynik P_c różni się (no chyba, że jest źle w odpowiedziach, ponieważ powinno być według tego 12(1 + 2√2) = 24√2 + 12, a u Bogdana wyszedł wynik za mały o 6.

Matematyk bez szkoły: bump

Lukasz: @Mati_gg9225535: jedyny błąd to w 3 linijce od dołu 2√6 * 2√6 * ¹₂ = ²⁴₂ = 12 Ppc ⇒ 12(1+2√2) Pozdrawiam, i dzięki za pokazanie sposobu na 2 część zadania

jaros: Właśnie ktoś wie dlaczego u Bogdana H = 2√6 a potem H = 2√3

ICSP: zawsze jest H = 2√6. On podstawia później wartość w a nie H.

jaros:

	1		1
Jak to "w" przecież widać tam, że jest		*b*H =		* 2√3
	2		2