Trygonometria Kasia: Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne A(−3,1), B(3,5) oraz C(−2.6) a) wykaż że trójkąt ABC jest prostokątny b) Oblicz wartość wyrażenia (sinα + sinβ)−1 , gdzie α,β − miary kątów ostrych trójkąta ABC Obliczyłam że: |AB|=√52 |BC|=√27 |AC|=√25 Później z Pitagorasa wychodzi że: 25+27=52 52=52 L=P A więc trójkąt jest prostokątny Ale jak zrobić punkt b? Proszę o pomoc.

PW: To nie jest twierdzenie Pitagorasa! b) Zastosować definicje − co to jest sinα i sinβ

Kasia: To z jakiego twierdzenia to zrobić? b) sinα=√25/√52 sinβ=√27/√52 i co dalej?

PuRXUTM: w pierwszym Kasiu ja bym sobie narysował układ współrzędnych naniósł bym punkty i później wyznaczył równania prostych pr.AC i pr. BC i udowodniłbym że są one prostopadłe ze wzoru że iloczyn współczynników kierunkowych jest równy −1 https://matematykaszkolna.pl/strona/42.html

PuRXUTM: to jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa, i tak możesz moim zdaniem to zrobić

krystek:

	BC
sinα=		=
	AB

PuRXUTM: sinα=cosβ w tym przypadku

krystek: Ale Kasia dobrze zrobiła Wykazał z Pitagorasa

Kasia:

	√27
to sinα=		?
	√52

PW: Tak zrobić jak zrobiłaś, tyle że zastosowałaś twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa mówi o związku między bokami w trójkącie prostokątnym: jeżeli trójkąt jest prostokątny, to długości boków spełniają związek a²+b²=c² (przy odpowiednich oznaczeniach).

	√27
b) sinα=
	√52

	√25
sinβ=
	√52

− dodać te dwie liczby i odjąć jedynkę − zgodnie z poleceniem.

krystek: Tak

Kasia: Ta jedynka oznacza do potęgi minus pierwszej

	√27		√25		3√3		5
(		+		) do potęgi minus pierwszej=(		+		)
	√52		√52		2√13		2√13

do potęgi minus pierwszej I nie umiem dalej

krystek:

	1
a−1=		czyli odwrotnośc ułamka
	a

krystek:

	3√3+5
(		)−1=
	2√13

Kasia: to:

	2√13		2√13
(		+		)
	3√3		5

i co dalej? Wspólny mianownik?

Kasia:

	3√3+5
(		) do minus 1 i jak to policzyć?
	2√13

Kasia:

	2√13
(		) do 1?
	3√3+5

krystek: Usuń niewymiernośc z mianownika mnożąc L i M przez (3√3−5)

krystek:

2√13*(3√3−5)
	=.. i dalej dasz rade
9*3−25

Kasia: otrzymałam

6√39−10√13
2

	√2
a ma wyjść
	2

krystek: Dobrze policzyłas dł boków , nie sprawdzałam.Teraz film , Pa pa

Kasia: papa Może ktoś mi pomóc z tym przykładem, proszę!

Beti: no więc tak: 1) źle policzyłaś długości boków trójkąta powinno być: |AB| = √52 −−> i to było dobrze |BC| = √26 |AC| = √26 2) teraz spróbuj policzyć te sin i cos −− powinno już wyjść dobrze

Kasia: Faktycznie jej tak to jest jak się robi zadania w piątek wieczorem Wyszło mi tak:

	√52
(		) do 1
	2√26

Po usunięciu niewymierności:

52√2		√2
	=
104		2

Ale mam pytanko tu usuwam wymierność mnożąc przez 2√26 a nie przez sam √26?

Beti: oczywiście, że przez sam √26 jednak, jeśli pomnożysz przez cały mianownik, czyli 2√26, to też otrzymasz dobry wynik, tylko więcej sie naliczysz

Kasia: aha dziękuję, zawsze miałam w takich przypadkach wątpliwość A dlaczego gdy sprawdzam czy trójkąt jest prostokątny używam tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa? Jaka to jest różnica?

Beti: w tw. Pitagorasa założeniem jest, że trójkąt jest prostokątny, a wtedy zachodzi zależność a²+b² = c² (mówiąc w dużym skrócie). Tw. odwrotne do Pitagorasa jest, jak sama nazwa wskazuje, odwrotne, czyli założeniem jest zależność a² + b² = c². Jeśli boki trójkąta spełniaja tą zależnośc, to wtedy trójkąt jest prostokątny. Tyle

Kasia: Aha czyli wzór jest taki sam, tylko opis słowny jest odwrotny?

Beti: To tak jak jazda z Poznania do Warszawy i odwrotnie. Stacje końcowe te same, ale podróż jednak odbywa się w przeciwnych kierunkach.

Kasia: Rozumiem, bardzo dziękuję

Beti: na zdrowie

Eta:

	√2
sinα=sinβ=
	2

	1		√2
(sinα+sinβ)−1 = (√2)−1=		=
	√2		2

Kasia: Również bardzo dziękuję