kolejne calki, szybka pomoc wizzleman: 1) ∫dx/(x⁴+1) 2)∫x²*dx/(x⁴+1)

M:

bezendu:

	dx
∫
	x4+1

x⁴+1= (x²+√2xx+1)(x²−√2x+1)

1		Ax+B		Cx+D
	=		+
x4+1		x2+√2x+1		x2−√2x+1

	dx		1		1		√2x
∫		=		|(x2+√2x+1)(x2−√2x+1)|+		arctn(		)+C
	x4+1		2√2ln		√2		x2−1

bezendu: 2) u=x⁴+1 du=4x³dx ...=1/4ln|x⁴+1|+C

wredulus_pospolitus: bezendu ... eeee 'łłłooooott ' jakby w liczniku było x³ to tak, ale tak nie jest

wredulus_pospolitus: a co do pierwszego −−−−> zapomniałeś o ln przed modułem dodatkowo − odnośnie arctg'sa ... chyba minusa zgubiłeś oraz ... w takiej postaci okroiłeś początkową dziedzinę (wywalasz {−1 , 1} z dziedziny) funkcji.

bezendu: a) zgoda faktycznie powinno być ln|x²+√2x+1)(x²−√2x+1)|

wredulus_pospolitus: zauważ, że:

	dx		2dx
∫		= ∫		= 2arctg(√2x+1) + C
	x2+√2x+1		(√2+1)2 + 12

analogicznie

	dx		2dx
∫		= ∫		= 2arctg(√2x−1) + C
	x2−√2x+1		(√2−1)2 + 12

jak już chcemy to połączyć to mamy:

	√2x+1 + (√2x − 1)		√2x
2arctg(		) = arctg
	1−(√2x+1)(√2x−1)		1−x2

bezendu: No cóż, całek x lat już nie robiłem Dzięki za poprawkę

wredulus_pospolitus: oczywiście tam w całkach miało być (√2x±1)² + 1²

Mariusz: Obydwie całki można liczyć jednocześnie

	1+x2
I + J = ∫		dx
	x4+1

	1   1+   x2
I + J = ∫
	1   x2+   x2

	1   1+   x2
I + J =∫
	1   (x− )2+2   x

	1
t = x−
	x

	1
dt = (1+		)dx
	x2

	dt		1		1
I+J = ∫		=		∫		dt
	t2+2		2		t   1+( )2   √2

	1		1   √2
I+J =		∫		dt
	√2		t   1+( )2   √2

	√2		√2		1
I+J =		arctg(		(x−		)) + C1
	2		2		x

	1 − x2
I − J = ∫		dx
	x4+1

	x2 − 1
I − J = −∫		dx
	x4+1

	1   1−   x2
I − J = −∫		dx
	1   x2+   x2

	1   1−   x2
I − J = −∫		dx
	1   (x+ )2−2   x

	1
u = x+
	x

	1
du = (1−		)dx
	x2

	du
I − J = −∫
	u2−2

	√2		(u−√2)−(u+√2)
I − J =		∫		du
	4		(u−√2)(u+√2)

	√2		1		1
I − J =		(∫		du − ∫		du)
	4		u+√2		u − √2

	√2		u+√2
I − J =		ln|		|+C2
	4		u−√2

Min.Edukacji: Symultaniczne liczenie całek to jest to ale mamy lepsze metody https://mathdf.com/int/pl/

Mariusz: Takie lepsze że np całki z https://matematykaszkolna.pl/forum/373011.html nie policzy