Relacja Gość: W zbiorze X wszystkich prostych (na płaszczyźnie) określona jest relacja: proste l,k∊X pozostają w relacji, jeśli l ∥ k lub l ⊥ k. Sprawdzić, czy relacja ta jest relacją zwrotną, symetryczną, przechodnią i antysymetryczną. Czyli, np. w zwrotności: 1)dla l ∥ k : Jest zwrotna, bo każda prosta l jest równoległa do samej siebie. 2)dla l ⊥ k: Nie jest zwrotna,bo prosta l nie jest prostopadła do siebie samej. Tylko co teraz, bo w tej zwrotności wyszło, że jedna jest zwrotna, a druga nie

irena_1: Relacja jest zwrotna, bo każda prosta jest do siebie równoległa. W opisie masz słowo "lub" − wystarczy, że jeden z warunków jest spełniony, żeby proste były ze sobą w relacji. Tu jest spełniony warunek równoległości.

Gość: To samo myślałem, ale wczoraj zostałem zbity z tego tropu. Mogłabyś zobaczyć na ten wątek? https://matematykaszkolna.pl/forum/186299.html

Gość: I napisać co o tym myślisz?

irena_1: Relacja jest również symetryczna, bo jeśli l jest równoległa do k, to k jest równoległa do l (podobnie z prostopadłością. Relacja jest przechodnia, bo − jeśli l i k są równoległe oraz k i m są równoległe, to l i m są równoległe. − jeśli l i k są równoległe i k jest prostopadła do m, to l jest prostopadła do m − jeśli l i k są prostopadłe i k jest równoległe do m, to l jest prostopadłe do m − jeśli l i k są prostopadłe i k jest prostopadłe do m, to l jest równoległa do m.

irena_1: Ta relacja jest relacją równoważności. Jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Do klasy wyznaczonej przez prostą l na płaszczyźnie należą wszystkie proste równoległe do l oraz wszystkie proste prostopadłe do l.

Gość: A w przechodniości nie wystarczy napisać: Jest przechodnia, bo jeżeli prosta l jest równoległa do prostej k, a prosta k jest równoległa do prostej x, to prosta l jest również równoległa do prostej x?

irena_1: Jeśli l jest równoległa do k i k jest równoległa do x, to l jest równoległa do x. Opisałam wszystkie możliwe przypadki dla przechodniości.

Gość: Ale wystarczy tylko ten 1?

irena_1: Nie bardzo rozumiem, o co Ci chodzi. Prosta l jest w relacji z k, jeśli l i k są równoległe lub l i k są prostopadłe. Prosta k jest w relacji z prostą m, jeśli k i m są równoległe lub jeśli k i m są prostopadłe. Trzeba więc rozpatrzeć 4 przypadki: − l równoległa do k i k równoległa do m − l równoległa do k i k prostopadła do m − l prostopadła do k i k równoległa do m − l prostopadła do k i k prostopadła do m I to opisałam wcześniej

Artur_z_miasta_Neptuna: irena₁ o to samo poszło wczoraj. po prostu autor chce napisać przypadek ((l || k ⋀ k || m) => l || m ) => relacja jest przechodnia czyli na podstawie tylko jednego przypadku ocenić przechodniość relacji

irena_1: − w pierwszym przypadku l jest równoległa do m, więc l jest w relacji z m − w drugim przypadku l jest prostopadła do m, więc l jest w relacji z m − w trzecim przypadku l jest prostopadła do m, więc l jest w relacji z m − w czwartym przypadku l jest równoległa do m, więc l jest w relacji z m Relacja jest więc przechodnia.

irena_1: Na podstawie jednego przypadku− szczególnego w tej relacji− nie można twierdzić, że relacja jest przechodnia. Trzeba omówić wszystkie 4 możliwości.