ciągi bar80: 1) udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie a,b,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to a+d≥b+c 2)znajdź wzór na sumę S_n(x) = 1+ 2x + 3x² + 4x³ +...+nxⁿ⁻¹

bar80: wie ktoś?

bar80:

bar80: ⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→⇒→

Bogdan: a₁ = a> 0, a₂ = aq>0, a₃ = aq²>0, a₄ = aq³>0, q>0

a1 + a4		a + aq3		a(1 + q3)
	=		=		=
a2 + a3		aq + aq2		aq(1 + q)

	(1 + q)(1 + q + q2)		1 + q + q2		1
=		=		=		+ 1 + q ≥ 1
	q(1 + q)		q		q

	a1 + a4
Stąd		≥ 1 ⇒ a1 + a4 ≥ a2 + a3
	a2 + a3

Skipper: a+aq³≥aq+aq² a(1+q³)≥a(q+q²) skoro liczby a,b,c,d ... a więc i q są dodatnie to: q³+1≥q(q+1) (q+1)(q²−q+1)≥q(q+1) q²−q+1≥q (q−1)²≥0 i wszystko jasne−

bar80: spoko a to 2gie?

bar80: znajdź wzór na sumę S_n(x) = 1+ 2x + 3x² + 4x³ +...+nxⁿ⁻¹

bar80:

bar80: jak się do tego zabrać?

wisia: zaraz ci piotrek rozwiąże, bo już wraca z kosza

bar80: seba już wydzwaniał bym ci nie przeszkadzał − na serio tak źle?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/99548.html

bar80: thx very much

wisia: bo seba jest głupi

bar80: heh spoko

bar80: z deka coś mi padło jedno zadanie wcześniejsze bo nie ogarnąłem: udowodnić, że jeżeli liczby a₁ , a₂ , ..., a_n , gdzie n≥2 tworzą ciag arytmetyczny i żadna

	1		1		1		n−1
z nich nie jest zerem, to		+		+....+		=
	a1a2		a2a3		an−1an		a1an

bar80:

pigor: ... , no to może jeszcze np. tak : niech x≠1, to S_n(x)= 1+2x+3x² + 4x³+...+nxⁿ⁻¹ /*x i xS_n(x)=x+2x²+3x³ + 4x⁴+...+nxⁿ i /−, czyli odejmując stronami (od 2−giej 1−szą) te równości, po redukcji :

	xn−1
⇒ (x−1)Sn(x)= −(1+x+x2+x3+...+xn−1)+nxn ⇔ (x−1)Sn(x)= −		+nxn /:(x−1) ⇒
	x−1

	xn−1		nxn		−xn+1+nxn(x−1)
⇒ Sn= −		+		⇔ Sn=		⇔
	(x−1)2		x−1		(x−1)2

	−xn+1+nxn+1−nxn		nxn+1−(n+1)xn+1
⇔ Sn=		⇔ Sn=		. ...
	(x−1)2		(x−1)2

bar80: oki spoko

Eta:

	1		1		1
Zauważ,że		=		−		, dla n≠0
	n(n+1)		n		n+1

	1		1		1		1		1
to:		=		*		−		*
	a1*a2		r		a1		r		a2

bo:

1

1

1

1

1

a2− a1

=

(

)−

=

*

=

a1*a2

r

a1

a2

r

a1*a2

	1		a1+r−a1		1
=		*		=
	r		a1*a2		a1*a2

i teraz już z górki

1

1

1

1

1

1

1

1

L=

*

−

*

+

*

−

*

+......

r

a1

r

a2

r

a2

r

a3

1

1

1

1

1

1

1

+

*

−

*

=.............

(

−

=

r

an−1

r

an

r

a1

an

	1		a1+(n−1)*r−a1		n−1
=		*		=		= P
	r		a1*an		a1an

pigor: ... ,a więc to ostatnie : z definicji ciągu arytmetycznego (a_n) w którym różnica r , to : r= a₂−a₁= a₃−a₂= ... = a_n−a_n−1 >0 , a więc

1

r

1

a2−a1

1

1

1

1

=

*

=

*

= (

−

)*

,

a1a2

a1a2

r

a1a2

r

a1

a2

r

1

r

1

a3−a2

1

1

1

1

=

*

=

*

= (

−

)*

,

a2a3

a2a3

r

a2a3

r

a2

a3

r

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1		1		1		1
	= ......................... = (		−		)*		,
an−1an		an−1		an		r

i to wszystko /+, czyli dodając stronami po redukcji :

1		1		1		1		1		1
	+		+ ... +		= (		−		)*		=
a1a2		a2a3		an−1an		a1		an		r

	an−a1		1		a1+(n−1)r−a1		1
=		*		=		*		=
	a1an		r		a1an		r

	(n−1)r		1		n−1
=		*		=		c.n.w. . ...
	a1an		r		a1an

Eta:

Mila: Studia czy LO?