PROblem TOmek:

	x+b
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=
	x−5

b)wyznacz te wartości współczynnika b, dla których funkcja f ma miejsce zerowe większe od 2.

Godzio: TOmek ...

TOmek: nie wiem x≠5 x+b=0 x=−b? b>2

Godzio: −b > 2 ⇒ b < 2

Godzio: i wywalasz b = −5

TOmek: rzeczywiscie łatwe zadanko, moglem troche dluzej sie nad nim poglowić dzieki

Godzio: Możesz podrzucić jakieś zadanko bo nudy są (byle trudniejsze od tego )

TOmek: jaki dział Waść sobie zyczysz ?

Godzio: Każdy prócz prawdopodobieństwa i kombinatoryki

TOmek:

	1
1.Rozwiąż równanie 2cosx=logy+
	logy

odp: (x=2kπ i y=10) lub (x=π+2kπ i y=0,1), gdzie k ∊ C 2. Znajdź wzór na sumę S_n(x)=1+2x+3x²+4x³+...+nxⁿ⁻¹ odp: S_n(x)=U{nx^x+1−(n+2)xⁿ+1}{(1−x)² Zwłaszcza te drugie jest fajne

TOmek:

	nxx+1−(n+2)xn+1
odp: Sn(x)=
	(1−x)2

Vax:

	nxn+1−(n+1)xn+1
Na pewno dobrze przepisałeś? Mi wyszło Sn(x) =
	(1−x)2

TOmek: tak jest przepraszam Vax, oczywisice Twój wynik jest dobry Wybaczcie.

Godzio: Widzę, że się trochę namęczę

TOmek: Daje Wam zadania najbardziej czerwone i ostatnie z najwiekszą liczbą gwiazdek z Kiełbasy

Godzio:

	1
2cosx = logy +		logy = t ≠ 0, y ≠ 1
	logy

	t2 + 1
cosx =
	2t

t2 + 1
	≤ 1
2t

t2 − 2t + 1
	≤ 0
2t

(t − 1)² * t ≤ 0 ⇔ t ∊ (−∞,0> U {1}

t2 + 1
	≥ − 1
2t

(t + 1)² * t ≥ 1 ⇔ t ∊ <0,∞) U {−1} ⇒ t = {−1,1} ( t ≠ 0 )

	1
logy = −1 ⇒ y =		⇒ cosx = − 1 ⇒ x = π + 2kπ
	10

logy = 1 ⇒ y = 10 ⇒ cosx = 1 ⇒ x = 2kπ k ∊ C

TOmek:

Godzio: Nie wiem jakim cudem, ale wyszło Tak w ogóle kiedyś robiłem już to zadanie, jakieś pół roku temu S_n(x) = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... nx^{n − 1} = = 1 + x + ... + x^{n − 1} + x + x² + ... + x^{n − 1} + x² + ... + x^{n − 1} + ... + x^{n − 1}

1 − xn		1 − xn − 1		1 − xn − 2
	+ x *		+ x2 *		+ ...
1 − x		1 − x		1 − x

1
	(1 − xn + x − xn + x2 − xn + ...) =
1 − x

1
	(1 + x + x2 + ... + xn − 1 − n * xn) =
1 − x

1		1 − xn
	(		− nxn) =
1 − x		1 − x

1		1 − xn − nxn + nxn + 1
	*		=
1 − x		1 − x

nxn + 1 − (n + 1)xn + 1
(1 − x)2

TOmek: dla mnie na razie to czarna magia

Trivial: Stanowczo za dużo kropek.

Godzio:

Vax: Ja to zrobiłem 2 innymi sposobami, 1: S(x) 1+2x+3x²+..+nxⁿ⁻¹ Całkujemy obustronnie:

	x(xn−1)
∫ S(x)dx = ∫(1+2x+..+nxn−1)dx = x+x2+x3+..+xn =		+ C
	x−1

Różniczkujemy obustronnie:

	xn+1−x		nxn+1−(n+1)xn+1
S(x) = (		)' =
	x−1		(x−1)2

Można też 2 sposobem: S(x) = 1+2x+3x²+..+nxⁿ⁻¹ = ∑_i=0ⁿ⁻¹ (i+1)xⁱ = ∑_i=0ⁿ⁻¹ixⁱ + ∑_i=0ⁿ⁻¹ xⁱ =

	xn−1
∑i=0n−1ixi +
	x−1

Teraz zostaje zaburzyć sumę: ∑_i=0ⁿ⁻¹ixⁱ + nxⁿ = ∑_i=0ⁿixⁱ = 0 + ∑_i=0ⁿ⁻¹(i+1)xⁱ⁺¹ =

	xn+1−x
∑i=0n−1ixi+1 + ∑i=0n−1xi+1 = x∑i=0n−1ixi +		⇔
	x−1

	xn+1−x		xn+1−x−(x−1)nxn
(1−x)∑i=0n−1ixi =		−nxn =		=
	x−1		x−1

	xn+1−x−nxn+1+nxn		(1−n)xn+1+nxn−x		(n−1)xn+1−nxn+x
		=		=		⇔
	x−1		x−1		1−x

	(n−1)xn+1−nxn+x
∑i=0n−1ixi =
	(1−x)2

Czyli:

	xn−1		(n−1)xn+1−nxn+x
S(x) = ∑i=0n−1ixi +		=		+
	x−1		(1−x)2

	(1−x)(1−xn)		(n−1)xn+1−nxn+x+1−xn−x+xn+1
		=		=
	(1−x)2		(1−x)2

	nxn+1−(n+1)xn+1
	(1−x)2

Pozdrawiam

tomq: Godzio, a umiałbyś wytłumaczyć swój sposób?

Godzio: Rozdzieliłem wszystkie x na pojedyncze i utworzyłem ciągi geometryczne: 1 + x + ... + x^{n − 1} x + x² + ... + x^{n − 1} x² + x³ + ... + x^{n − 1} .... Zsumowałem je ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego, przemnożyłem pierwszy wyraz każdego z

	1
ciągów (otrzymałem z tego wszędzie czynnik xn), wyłączyłem wspólny czynnik		i
	1 − x

został mi ponownie ciąg geometryczny 1 + x + ... + x^{n − 1} i n − wyrazów xⁿ, ciąg zsumowałem i dodałem do niego nxⁿ (sprowadziłem do wspólnego mianownika) i tyle