równanie Kamcio :) : Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania 4cos²x=3 należących do przedziału (−8π ; 10π) Jest to zadanie z olimpiady agh z 2007 roku 2 etap moje rozwiązanie:

	√3		√3
cosx=		⋁ cosx = −
	4		4

	5		1		1		5
(x=−7		π+2kπ ⋁ x=−6		π+2kπ ⋁ x=−7		π+2kπ ⋁ x=−6		π+2kπ) ⋀ k∊C
	6		6		6		6

zauważam że 1 i 4 oraz 2 i 3 rozwiązanie można "połączyć" i mam rozwiązania postaci

	5		1
x=−7		π+kπ ⋁ x=−7		π+kπ , k∊C
	6		6

I teraz szukam takiego k, że x∊(−8π,10π) , a więc k∊<0,18> i k∊C Suma pierwiastków tego równania będzie sumą 18 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o

	5		1
pierwszym wyrazie a1=−7		π−7		π=−15π i różnicy r=2π
	6		6

	a1+a1+18r		−30π+36π
S=		*18=		*18=3π*18=54π
	2		2

https://matematykaszkolna.pl/forum/123651.html znalazłem to, ale uważam że jest błędne. Tzn na pewno jest błędne, ale moglibyście potwierdzić? sprawdzić moje? dzięki

Kamcio :) : ppp

lila: w mianowniku zamiast 4 powinno być 2

Kamcio :) : no tak, machnąłem się przy przepisywaniu

Kamcio :) : a reszta dobrze?

lila: raczej nie, cos jest funkcją parzystą, więc rozwiązania są liczbami przeciwnymi a u Ciebie tak nie jest

Kamcio :) :

	5
ale cos też jest okresowy, zapisuje się np x=−7		π+kπ , gdybyśmy wybrali k=8 wówczas
	6

	π		1		π
x=		, wówczas drugie rozwiązanie x=−7		π+kπ dla k=7 mamy x=−		czyli
	6		6		6

rozwiązania są parzyste, po prostu zapisałem to tak jak mi było wygodniej w zadaniu

lila: wszystkie rozwiązania nie utworzą też ciągu arytmetycznego, bo nie leżą w jednakowych odstępach na osi, proponuje narysować i zobaczysz, że przeciwne pierwiastki przy dodawaniu ich będa się zerować

Kamcio :) : pojedyncze pierwiastki nie utworzą, jednak suma każdych dwóch tworzy już ciąg arytmetyczny. Sumy wszystkich pierwiastków w jednym okresie funkcji stworzy ciąg arytmetyczny, w moim wypadku można przyjąć że rozpatrujemy funkcję |cosx| więc okres się zmniejsza dwukrotnie, a więc jak już mówiłem gdy dodamy dwa pierwiastki z jednego okresu funkcji, taka suma razem będzie w każdym okresie powiększona o wartość okresu czyli π

lila: ale po co Ci tworzyć sumy dwóch skoro pierwiastki przeciwne będą się zerować?

Kamcio :) : w zasadzie masz rację, jednak wpadłem na to w trakcie przepisywania , a i tak jakoś to trzeba policzyć (przedział dany nie jest symetryczny względem zera, więc pierwiastki x∊<8π,10π) i tak trzeba będzie dodać. Mogłoby to ułątwić obliczenia, ale już zrobiłem tym sposobem, nei chciałem drugi raz robić