równania logarytmiczne Karolina: Rozwiąż równanie: log₂ [1 − log₃ (x+4) =1

Dominik: dziedzina: x + 4 > 0 ⇒ x > −4 1 − log₃(x + 4) > 0 ⇒ log₃(x + 4) < 1 ⇒ x + 4 < 3 ⇒ x < −1 D = (−4, −1) log₂[1 − log₃(x + 4)] = 1 1 − log₃(x + 4) = 2 log₃(x + 4) = −1

	1
x + 4 =
	3

3x + 12 = 1 3x = −11

	11
x = −
	3

x∊D

Dominik: nalezy posluzyc sie definicja logarytmu

Karolina: ok zrozumiałam o co chodzi... mam jeszcze problem z takim równaniem: log_x+1 (4x+1)=2

Dominik: nie bede tobie wszystkiego liczyl. to rownanie jest latwiejsze od tamtego. zapisz dziedzine i posluz sie definicja logarytmu. w razie problemow zamiesc tu swoje obliczenia, a wspomoge.

Karolina: spokojnie.. już liczę

Karolina: D: 4x+1>0 => x> −1/4

Karolina: log_x+1 (4x+1)=2 (x+1)²= 4x+1 x²+2x+1=4x+1 x²+2x−4x=1−1 x²−2x=0 i co dalej?

Dominik: dziedzina zle policzona. zauwaz ze podstawa logarytmu musi byc rozna od 1 i wieksza od 0, o czym zapomnialas. reszta jest ok. x² − 2x = 0 to zwykle rownanie kwadratowe. mozesz liczyc Δ i standardowo pierwiastki, ale to jest bez sensu, bo lepiej zauwazyc, ze x² − 2x = x(x − 2) i pierwiastki masz podane jak na tacy.

Karolina: wiem, że to bez sensu, ale lepiej mi wychodzi liczenie delty− przynajmniej sie nie pomyle (nad tą dziedziną za chwilę się zastanowię, bo nie rozumie tego)

Karolina: jaki był wzór na m0 jeśli delta=0?

Karolina: ok już znalazłam. x=1 ?

Dominik: log_ab = c a > 0 ∧ a ≠ 1 ∧ b > 0 tak sie liczy dziedzine funkcji logarytmicznej. i nie ma sensu liczyc Δ, uwierz mi. z biegiem czasu nauczysz sie takie rzeczy zauwazac od razu. grunt to regularne cwiczenia.

Dominik: f(x) = ax² + bx + c, Δ = b² − 4ac funkcja wyglada tak: x² − 2x. czyli a = 1, b = −2, c = 0. podstaw do wzoru. tylko ze to bez sensu, bo podalem ci ze x² − 2x = x(x − 2) <− odczytaj miejsca zerowe z postaci iloczynowej.

Dominik: x na pewno nie jest rowne 1

Karolina: kurde faktycznie pomnożyłam przez 0, dlatego źle wyszło −₋ delta= 4, x1=0 x2= 2

Dominik: wypadaloby jeszcze dziedzine poprawnie policzyc, bo tak sie sklada, ze jeden z tych pierwiastkow sie w niej nie znajduje.

Karolina: a>0 => x>−1 a ≠ 1 => x≠ 2 b>0 => x> − 1/4 czyoli w dziedzinie nie znajduje się x2=2

Dominik: blisko, ale x + 1 ≠ 1 ⇒ x = 0. czyli odpada x = 0. wszystko rozumiesz?

Karolina: no wreszcie wyszło... dzięki wielkie ((: teraz jeszcze zostało mi tylko ogarnięcie rysowania funkcji logarytmicznej

Karolina: ajj.. masz rację.. z tego zadania wszystko

Dominik: rysowanie jest proste https://matematykaszkolna.pl/strona/219.html

Karolina: z pewnością nie dla humanisty... Na tej stronce są proste przykłady, które rozumiem, ale na lekcji i sprawdzianie są dużo trudniejsze, których niestety nie ogarniam

Dominik: bzdura! humanista, czyli czlowiek oswiecony, potrafi rysowac funkcje logarytmiczne. pod warunkiem, ze duzo cwiczy − no bo jak to humanista ceni sobie rozwoj.

Dominik: inaczej nie zasluguje na miano humanisty.

Karolina: to mi teraz pojechałeś po ambicji... przez 2,5 roku nic nie ćwiczyłam z matmy, tylko bazowałam na wiedzy z gimnazjum (wtedy miałam dobrego nauczyciela), a teraz obudziłam się, gdy się dowiedziałam, że mam zagrożenie z matmy a o maturze już nie wspomnę −₋

Karolina: masz rację− nie zasługuje

Dominik: porozmawiaj z nauczycielem nt tego co powinnas pocwiczyc (ogarniety nauczyciel powinien to widziec). i cwicz! masz kupe czasu do konca roku, a do matury to juz w ogole. tylko tego czasu nie zmarnuj. masz bez problemu szanse na 100% z matematyki, pod warunkiem regularnych cwiczen. matematyke da sie lubic.

Dominik: i po pierwsze nie zalamuj sie, bo na wykresach funkcji logarytmicznych swiat sie nie konczy.

Karolina: wierzę Ci, bo kiedyś lubiłam matematykę (wstyd się przyznać teraz, jak już zobaczyłeś moje umiejętności, ale nawet brałam udział w konkursach). No właśnie nie mam za wiele tego czasu, bo muszę się uczyć dodatkowych przedmiotów, które zdaję na maturze i które będą mi się liczyć na studia, a z matmy nie potrzebne jest mi 100%, bo na kierunek na który się wybieram, nikt nie będzie patrzył na to ile mam % z matematyki...

Dominik: mimo wszystko, zeby zaliczyc matematyke trzeba sie jej uczyc − tak samo jak z przedmiotami, ktore cie obecnie pasjonuja. ja np ide bardziej w scisle przedmioty, ale z tym polskim tez musze sie przemeczyc nota bene jestem tegorocznym maturzysta.

Karolina: W takim razie Ci zazdroszczę ścisłego umysłu− czeka Cię lepsza przyszłość Miło się rozmawia, ale czas ucieka, a ja muszę się tego nauczyć dzisiaj. Jeśli wrzuciłabym na forum zadanie, które miałam na sprawdzianie, to chciałbyś mi jeszcze pomóc?

Karolina: Mam jeszcze pytanie do Ciebie dotyczące dziedziny− w tym pierwszym przykładzie obliczyłeś ją inaczej niż w tym drugim, dlaczego?

Dominik: dziedzina funkcji logarytmicznej zawsze jest taka sama. log_ab = c a > 0 ∧ a ≠ 1 ∧ b > 0 dla pierwszego rownania log₂[1 − log₃(x + 4)] = 1 rozpatruje warunki: 2 > 0 ⇒ x∊ℛ 2 ≠ 1 ⇒ x∊ℛ te dwa warunki, dlatego ze 'a' pierwszego logarytmu jest rowne 2, a ono musi byc wieksze od 0 i rozne od 1 1 − log₃(x + 4) > 0 ⇒ log₃(x + 4) < 1 ⇒ x + 4 < 3 ⇒ x < −1 dlatego ze to wyrazenie jest zmienna b pierwszego logarytmu (jest liczba logarytmowana), a ona musi byc wieksza od 0 3 > 0 ⇒ x∊ℛ 3 ≠ 1 ⇒ x∊ℛ x + 4 > 0 ⇒ x > −4 powyzsze 3 warunki dokladnie tak samo jak 3 poprzednie.

Dominik: roznica bierze sie stad, ze w pierwszym rownaniu nie bylo zmiennej w podstawie logarytmu wiec pominalem takie oczywistosci jak 2 ≠ 1. w drugim rownaniu natomiast musialem zapisac wiecej warunkow.

Karolina: jejku... jednak są jeszcze dobrzy ludzie na tym świecie DZIĘKUJĘ