całki maniek: Nauka całek Jestem obecnie laikiem z całek dopiero zaczynam swoją przygodę z tym zagadnieniem i mam kilka pytań: a) f(x) = xsin(2x) Jaką metodą obliczyć taką całkę I jaka to jest oznaczona czy nieoznaczona? I jak w ogóle dostrzegać to jaką metodą zrobić .

Mila: Nie miałeś wykładów i ćwiczeń z tego materiału?

Vizer: Po pierwsze nie widzę tu żadnej całki, tylko funkcję, ale całkę z tej funkcji najwygodniej policzyć używając metody całkowania przez części. Całka nieoznaczona to szukanie funkcji pierwotnej do danej funkcji podcałkowej, a całka oznaczona to już inna para kaloszy bo wiąże się ona z dzieleniem danego przedziału i liczeniem sumy. Praktyka, zrobisz trochę przykładów, będzie wyczuwał jaką metodę użyć.

maniek: ale ja nie studiuję , uczę się sam dla siebie. można liczyć na pomoc

Mila: Jeśli sam dla siebie i nie miałeś lekcji, wykładów, to polecam "Analiza matematyczna" Skoczylas. ( jest w internecie) Poczytaj, potem będziesz rozwiązywał zadania.

maniek: moglibyście mi pomóc z tym? jeżeli przez części to: wzór jest taki: ∫f(x) * g'(x)dx = f(x) * g(x) − ∫f'(x) * g(x)dx i dla ∫xsinxdx będzie: ∫xsinxdx = ∫x(−cosx) = x * (−cosx) − ∫(x')(−cosx)dx = −xcosx + ∫1cosxdx = −xcosx + sinx + C ok tylko jak to zrobić gdy jest: ∫xsin2xdx

Vizer: Źle zinterpretowałeś wzór, bo: g'(x) = sinx, a nie że liczysz pochodną z tej funkcji co masz w zadaniu,

maniek: ale ∫xsinxdx dobrze jest wyliczone i jak zrobić ten drugi przykład

maniek: pierwotnie przy liczeniu tego pierwszego wzorowałem się na: 2283

Vizer: Dalej jest dobrze tylko zapis ∫xsinxdx= ∫x(−cosx)dx jest nieprawidłowy W drugim tak samo tylko licząc całkę z sin2x używamy podstawienia za t = 2x

maniek: a mógłbyś wyjaśnić o co dokładnie chodzi z tym podstawieniem: 2286 tutaj jest, ale skąd się

	d
biorą te		i tym podobne zapisy
	dx

Vizer: Idę na obiad, będę później.

maniek: ok postaram sobie przeliczyć to na kartce i wrzucę wynik

Vizer: Tu masz przykład z wyjaśnieniem skąd to się bierze : https://matematykaszkolna.pl/strona/2129.html

maniek: I odnośnie tego co wyżej napisałem, wynik wyszedł dobry zatem: wpierw korzystam z wzór na całki tj.: ∫sinxdx = −cosx + C a potem przy drugim tj.: −∫f'(x)g(x)dx korzystamy już z normalnego wzoru na pochodną? tj.: (x)' = 1

Vizer: Nie rozumiem pytania, ale do wzoru podstawiasz za : f(x) = x g'(x) = sinx f'(x) = 1 g(x) = −cosx i tyle.

maniek: pochodna z g'(x) = sinx pierwotnie wynosi cosx tylko przy całkach jest odwrotnie (chyba) bo patrzę na wzory

PW: Nieoznaczona, czyli szukanie funkcji, której pochodna jest równa xsinx. Oznaczone będą później − stosowane np. do liczenia pól, wtedy będzie to całka "od − do", z podanymi granicami całkowania. Do tego przypadku można zastosować sposób zwany "całkowaniem przez części". Wiadomo, że f'(x))^.g(x) + f(x)^.g'(x) = [f(x)g(x)]', co można odczytać "w języku całek" jako ∫f'(x))^.g(x)dx + ∫f(x)^.g'(x)dx = ∫ [f(x)g(x)]'dx, ∫f'(x))^.g(x)dx + ∫f(x)^.g'(x)dx = f(x)g(x) ∫f(x)^.g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x))^.g(x)dx. Całkę po lewej stronie można więc policzyć łatwiej (jako prawą stronę), jeżeli zobaczymy korzyść w zastąpieniu f(x) pochodną f'(x). Tak jest w tym wypadku, bo f(x) = x, a więc f'(x) = 1.

	1
Jednocześnie trzeba spojrzeć na sin2x jako g'(x), czyli sin2x=(−		cos2x)'
	2

	1		1
∫xsin2xdx = −x		cos2x − ∫1.(−		cos2x)'dx
	2		2

	1		1
∫xsin2xxdx = −		xcos2x +		cos2x,
	2		2

kto nie wierzy niech sprawdzi obliczając pochodną. Oczywiście po zrozumieniu tego i nabraniu wprawy pisze się tylko "stosuję metodę całkowania przez części" i f(x) = x g'(x) = sin2x

	1
f'(x) = 1 g(x) = −		cos2x
	2

i mechanicznie ∫fg' = fg − ∫fg'

Vizer: g'(x) = sinx I teraz chcemy znaleźć wzór funkcji g, więc by to zrobić musimy policzyć całkę z sinx.

PW: O licho, jadłem obiad i nie odświeżałem, a tu cała dyskusja − i moje wypociny na nic.

maniek: ale pochodna z sinx wynosi cosx, a nie −cosx

Godzio: maniek umiesz już pochodne ?

Vizer: Na pewno nie na nic PW

maniek: tak

maniek: 359 tu jest napisane, że pochodna sinx wynosi cosx

maniek: mógłby ktoś wytłumaczyć?

Godzio: maniek, żeby zabierać się do całek wypada po pierwsze nauczyć bardzo dobrze pochodnych, a

	1		√x
potem zaczynać od całek ∫x5dx , ∫(		− 23√x2 +		)dx później wchodzi
	√x		4√x6

	sinx
na coraz trudniejsze, i aż do metody podstawiania: ∫tgxdx = ∫		dx i podstawieniem
	cosx

itd., a potem do metody przez części. Nie zabieraj się do całek od środka

maniek: no ok, ale wciąż nie wyjaśniłeś czemu tak tj.: za sinx podstawiamy −cosx

Godzio: No właśnie dlatego warto zacząć od łatwiejszych całek, żeby później było to oczywiste. sinx = (−cosx)'

maniek: przerobiłem 2112 to, ale wciąż nie wiem dlaczego taka pochodna, mógłbyś jakoś na łatwym przykładzie mi to pokazać

Godzio: No to wiele nie przerobiłeś https://matematykaszkolna.pl/strona/2282.html Zamieniamy sinx na pochodną czegoś, a to już umiemy ! Dlatego żeby liczyć całki MUSISZ przerobić pochodne, bo z tego co widzę to nie przerobiłeś

maniek: przerobiłem wszystkie pochodne ze strony więc źle zakładasz, ale chyba chodzi o to, że ∫xsinxdx = ∫x(−cosx)'dx muszą być równoważne dlatego nie wiem tylko skąd ten minus pochodne przecież umiem liczyć

Godzio: Źle zakładam ? To Ile jest pochodna z −cosx ?

maniek: (−cosx)' = −1 * (cosx)' = −1 * (−sinx) = sinx

Godzio: No właśnie To w czym problem ? (cosx)' = − sinx, a my chcemy samego sinusa, więc minus przerzucamy na drugą stronę (−cosx)' = sinx

maniek: czyli tak jak pisałem − musimy znaleźć równoważną formę

Godzio: Nie tyle równoważne co równe, trzeba jedną funkcję spod całki zamienić na pochodną jakiejś innej funkcji, tyle.

maniek: ok b) ∫xⁿln(x), n∊N

	1
i tutaj mam problem na zamienienie aby te funkcje były równe, wiem że lnx =
	x

Godzio: xⁿ = ( ... )' ?

maniek: ale mamy chyba ln(x) zamienić tę drugą funkcję

	xn + 1
xn = (		)'
	n + 1

Godzio: No właśnie nie Zapisz to już porządnie, i rób przez części, z wykorzystaniem tego co przed chwilą napisałeś.

maniek: ale jak nie, na górze napisałem wzór: ∫f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) − ∫f'(x) * g(x) dx i wychodzi z tego, że druga dlaczego w tym przypadku pierwsza

Godzio: Mnożenie jest przemienne

maniek: to wiemy, ale bardziej chodziło mi bardziej skąd wiedziałeś, że coś takiego (w drugą stronę).

maniek: czy wynik ostateczny to będzie:

	xn		xlnx
∫xnln(x)dx =		* (		− 1) + C
	n + 1		n + 1

Godzio: Bo mam wprawę,

	xnln(x)		xn − 1		xnln(x)		xn
... =		− ∫		dx =		−		+ C
	n + 1		n + 1		n + 1		n(n + 1)

=

	xn		1
=		(lnx −		) + C
	n + 1		n

maniek:

	xn − 1
aby na pewno dobrze czemu tam po całe masz samo
	n + 1

maniek:

	xn + 1
∫xnln(x)dx = ∫(		)' * lnxdx =
	n + 1

	xn + 1		1		xn * x
		* lnx − ∫		*		dx = ...
	n + 1		x		n + 1

Godzio: Zgoda, pomyliłem się

xn+1ln(x)		xn		xn + 1		1
	− ∫		dx =		(lnx −		) + C
n + 1		n + 1		n + 1		n + 1

Teraz jest ok.

maniek: c) ∫x³e^5xdx Z której strony zaczniemy nie ma znaczenia

maniek:

	x4		x4		x4
∫x3e5xdx = ∫(		)' * e5xdx =		* e5x − ∫		* e5x * 5 dx =
	4		4		4

	x4		5		1
=		* e5x −		* x4 * e5x = −4*(		* x4 * e5x) = x4 * e5x + C
	4		4		4

jednak wolfram podaje co innego − niestety gdzie jest błąd

maniek: jakieś pomysły

rupert: całkowanie to nie jest mnozenie i odejmowanie

Maslanek:

	x4		5
5*∫		*e5x dx ≠		x4*e5x
	4		4

rupert: proponuje najpierw zapoznac sie z prostszymi przykladami i zadbac o znak ∫ oraz dx

rupert: ta calka wymaga kilkukrotnego calkowania przez czesci

Maslanek:

	1		1
∫x3e5x dx =		∫x3*5e5x dx =		(x3*e5x − ∫3x2e5x dx) =
	5		5

= ... I jeszcze dwa razy przez części? Pewnie można prościej, ale i tak fajnie

rupert: f'= e^5x g=x³

	1
f=		e5x g'= 3x2
	5

= f*g −∫f*g' dx

rupert: proponuje najpierw policzyc przyklady prostsze jak np ten ∫x²*e^x dx aby zapoznac sie z metoda calkowania przez czesci

maniek: a czemu kilkukrotnie, czy musimy dojść do jakiejś postaci

rupert: tak, do jak najprostszej

rupert:

	3
jak policzysz piersza część to pozniej jest do policzenia calka		∫x2*e5x dx
	5

maniek:

	x2		x2		1
d) ∫x3xdx = ∫(		)'3xdx =		* 3x −		∫x2(3x)' = czyli tutaj trzeba
	2		2		2

nadal liczyć Masz może jakąś wskazówkę kiedy skończyć już całkować

kmn: ∫x³*e^5xdx= ∫x³*(e^5x/5)'dx=(x³*e^5x)/5 − ∫(3/5)(x²*e^5x)dx= x³*e^5x/5 − (3/5)*(∫x²(e^5x/5)dx)=x³*e^5x/5 − (3/5)*(x²e^5x/5−(2/5)*(∫x*e^5xdx))=x³*e^5x/5 − (3/5)*(x²e^5x/5−(2/25)*(x*e^5x−e^5x/5))+C Mam nadzieję że dobrze, ale pewności nie mam! Przepraszam, nie ogarniam zapisu na forum. Ok, to jest takie zadanie w którym poprostu widzisz, że lepiej brać pierwotne e^5x niż x³, bo tak tylko sobie życie utrudniasz. Mimo to rozumiem− zaczynasz dopiero więc ok. Ale mam kilka pytań− w której jesteś klasie, co zrobiłeś z pochodnych? Przepraszam, że tak pytam ale też jestem samoukiem jeśli chodzi o analize (całki ogarnąłem w 2 gim.) i w sumie nie można zaczynać się ich uczyć jeśli nie wiesz i nie masz wyćwiczonych pochodnych (sugeruje się pytaniem: "ale skąd biorę d/dx i tym podobne zapisy"). d/dx to notacja pochodnej Liebniza, f'(x)− Lagrange'a, z taką kropką (nie wiem jak tu zrobić)− Newtona. Poza tym trzeba ogarnąć bardzo dobrze funkcje, algebre, krzywe i dużo więcej (całki to temat rzeka). Jeśli chodzi o źródła to odsyłam Cię do wikipedii (całkiem dobre) i analizy Krysickiego, Włodarskiego− zbiór zadań, stare podręczniki od liceów; różne strony, pdf−y na necie itp.

rupert: nie wiem, nie kumam twojego zapisu, jesli scalkowaleś x to dlaczego przed tym wynikiem stoi symbol ∫ oraz nawias sugerujacy liczenie pochodnej

kmn: Możesz mieć całki pętlące się, to jest ładne.

kmn: ∫x3*(e5x/5)'dx? e^5x=(e^5x/5)' nie ogarnia zapisu na forum

maniek: ale ja już napisałem inny przykład bo tamten zrobiłem i jakbyście rozwiązali taki przykład (przez cześci)

kmn: Weź lepiej, że 3^x = (^3x_ln(3)' → ∫3^xdx = ^3x_ln(3, i obniżaj potęgi przy x

kmn: wiesz co, ide na kolację

maniek: nic nie mogę rozczytać z twojego zapisu

maniek: a tak jak zrobiłem jest źle tak jak zacząłem

maniek:

	x2		1		1		3x
∫x3xdx = ∫(		)'*3xdx =		* x2 * 3x −		∫x2 *		dalej to liczyć
	2		2		2		ln3

czy co

Maslanek:

	1		1		1
∫x*3x dx =		∫x*3x ln3 dx =		(x*3x−∫3x ln3 dx) =		(x*3x−3x)
	ln3		ln 3		ln 3

(3^x)'=3^x*ln3

Maslanek: Brr.. Błąd

1		1		3x
	(x*3x−∫3x dx) =		(x*3x−		)
ln 3		ln 3		ln 3

Teraz dobrze.

maniek:

	3x		1   3x * ln3 * ln3 − * 3x   3
(		)' =		≠ 3x
	ln3		ln3 * ln3

a musi być (z tego co wywnioskowałem z Godziem na górze)

maniek:

ZKS: maniek a wiesz że ln3 to stała?

maniek: zapomniałem <ups> czyli faktycznie otrzymamy 3^x, ale jestem ciekaw czy moim sposobem też by się doszło

ZKS: Jakim Twoim sposobem?

maniek: 21:55

ZKS: A co by Ci to dało dalej byś brnął w całki.

maniek: a wiesz może jak rozróżniać, którą drogę wybrać tak aby było szybko

ZKS: To przyjdzie jak będziesz rozwiązywał sporo całek ale możesz na logikę i chwilę pomyśleć.

	x2
Masz funkcję podcałkową x * 3x więc jeżeli będziesz robił że (		)'3x to ciąglę
	2

	3x
będziesz miał całkowanie ale jeżeli zrobisz że x * (		)' to pozbędziesz się tego x bo
	ln3

x' = 1.

maniek: ok, a jak funkcja jest wielu funkcji? ∫xsin(x)cosxdx też za pomocą części widziałby mi się tam wzór sin2x = 2sinxcosx ale nie wiem czy tak można

ZKS: Jak widzisz to to dobrze bo właśnie takie coś było by najlepszym wyjściem tutaj.

ZKS: Skoro chcesz użyć wzoru 2sin(x)cos(x) = sin(2x) mając sin(x)cos(x) to musisz coś najpierw zrobić aby mieć równowagę.

maniek: możesz podpowiedzieć (jeszcze doświadczenia w tym nie mam) ale chyba trzeba dać:

1
	∫xsin(2x)
2

ZKS: Tak tylko mały szczegół zapomniałeś o dx.

maniek:

	1
czyli wystarczy to co otrzymałem na samym początku przemnożyć przez
	2

ZKS: Tak.

maniek: a w przypadku takiej całki ∫√x² − 1dx jak to w ogóle zacząć

maniek: poprawka: ∫√e^x − 1dx

Godzio:

	2t
√ex − 1 = t ⇒ x = ln(t2 + 1) ⇒ dx =		dt
	t2 + 1

	2t2
∫		dt
	t + 1

Teraz wystarczy podzielić i wynik gotowy.

maniek: jak ta metoda się nazywa jeszcze jej sobie nie przerabiałem

Godzio: Podstawianie.

ZKS: Widzę tutaj podstawienie.

ZKS: Godzio mnie wyręczył.

maniek: moglibyście w skrócie ją opisać − gdzie ją stosować i jak to rozróżniać ?

Godzio: Proponuję "na czuja"

maniek: ok to po przeczytaniu teoretycznym o metodzie podstawiania: t = e^x − 1 / pochodna po x

dt		d
	= (ex − 1)' *
dx		dx

dt		exd
	=
dx		dx

dt		ex
	=
dx		x

jak ty tam otrzymałeś ln mógłbyś bardziej to rozpisać wzorowałem się na 2134

Godzio: Najpierw wyliczyłem x

maniek: a wiesz jak z tego wyliczyć x (z tego co napisałem) bo jakoś brzydko wychodzi

Godzio: Z tego co Ty napisałeś to się już nie wyliczy, bo różniczkowałeś, trzeba to zrobić wcześniej (w tym wypadku)

maniek: t = e^x − 1 t + 1 = e^x / ln ln(t + 1) = x

Godzio: Np. tylko ja dałem cały pierwiastek, żeby było prościej później

maniek: i co z tym dalej robię

Godzio: Różniczkujesz i wyliczasz dx

maniek: czyli to co zrobiłem wyżej

maniek: a mógłby ktoś to rozpisać tak jak zrobił Godzio

maniek:

maniek:

maniek: ∫√e^x − 1dx t = √e^x − 1 t² = e^x − 1 t² − 1 = e^x / * ln ln(t² − 1) = x

dln(t2 − 1)		dx
	=
dx		dx

i tu chyba coś pomyliłem

Maslanek: Co tu rozpisywać? − podnosisz do kwadratu − dodajesz +1 obustronnie − logarytmujesz ln

Maslanek: Nie umiesz dodawać

	d
I różniczkujemy
	dx

maniek: ale: ln(t² + 1) = x to jest dobrze

ln(t2 + 1)d		d
	=		dobrze
dx		dx

Maslanek:

	d
ln(t2+1)=x |
	dx

d(ln(t2+1))		dx
	=
dx		dx

d(ln(t²+1)) = dx

2t
	dt = dx.
t2+1

maniek: nie rozumiem skąd wzięła ci się ostatnia linijka

maniek: skad masz tam ułamek

maniek:

maniek: i ogólnie w jakich przypadkach stosować podstawianie

Maslanek: Kiedy to ma sens najlepiej... Umiesz liczyć pochodne?

maniek: tak

	d
ln(t2 + 1) = x /
	dx

dln(t2 + 1)
	= 1 / * dx
dx

d * ln(t² + 1) = dx ∫√e^x − 1 = t * d * ln(t² + 1) = Robiłem to na podstawie przykładów z 2131

Maslanek: Ale coś z tą pochodną chyba trzeba zrobić nie?...

maniek: z którą pochodną (Jakub robił tak więc myślałem, że jest dobrze)

Maslanek:

d (ln(t2+1)
	tą...
dx

maniek: hmm dziwne bo np.: tutaj 2136 nie liczymy pochodnej po lewej stronie tylko po prawej mógłbyś powiedzieć dlaczego tak

	1		2t
ln(t2 + 1)' =		* 2t =
	t2 + 1		t2 + 1

Godzio: Zawsze liczy się po obu

maniek:

	dt
to pochodna		ile wynosi tyle samo? dla mnie to nowość
	dx

maniek:

Godzio: t = 5x − 2 // różniczkujemy dt = 5dx pochodna po t z t = 1

maniek: no ok, ale: jest tam zapisane:

d		d
	* t =		* (5x − 2)
dx		dx

pochodna po prawej wynosi 5 więc

d
	* t = 5
dx

a po lewej już nie liczymy pochodnej czy jak czemu zostawiamy to t, a nie wpisujemy 1

maniek:

Artur_z_miasta_Neptuna: pochodna z funkcji 't' liczona po zmiennej x to:

d		dt
	t =
dx		dx

pochodna z funkcji '5x−2' liczona po zmiennej x to:

d
	(5x−2) = 5
dx

symbol po lewej oznacza to co napisałem słownie symbol po prawej to już obliczona pochodna w przypadku 't' symbol jest taki sam

maniek: ok chyba załapałem

	1		1
∫exsin2(x)dx = ∫ex *		* (1 − cos2x)dx =		∫ex − excos2x =
	2		2

1		1
	∫ex −		∫excos2x
2		2

	1
korzystałem ze wzoru: cos2x = 1 − sin2x ⇔ sin2x =		* (1 − cos2x)
	2

Dobrze póki co

maniek:

maniek: to jak mam formę:

1		1		1		1
	∫exdx −		∫excos2xdx =		* ex −		∫excos2xdx
2		2		2		2

teraz wykonuję podstawienie:

	d
t = 2x |
	dx

d		d
	t =		* (2x)
dx		dx

dt
	= 2 / * dx
dx

dt = 2dx / : 2

	1
dx =		* dt
	2

	1
x =		* t
	2

1		1		1
	ex −		∫e1/2 * tcost		dt ok
2		2		2

maniek:

maniek: można prosić o sprawdzenie

maniek:

maniek:

maniek:

maniek: wracając jeszcze na chwilę do przykładu: ∫√e^x − 1 t = √e^x − 1 t² = e^x − 1 t² + 1 = e^x x = ln(t² + 1)

dln(t2 + 1)		d
	=		* x
dx		dx

	1
(ln(t2 + 1))' =		* 2t
	t2 + 1

	dt * 2t
dx =
	t2 + 1

	2t2
∫t		* dt
	t2 + 1

Ale jak to dokończyć ?

maniek:

maniek:

maniek: ?

maniek:

maniek:

	1		1
∫2t2 *		* dt = ∫2dt − 2∫		dt = 2t − 2*ln|t2 + 1| + C
	t2 + 1		t2 + 1

tak? (coś mi tylko nie pasuje na końcu)

maniek:

rupert: powiedz mi czemu zabierasz sie za takie przyklady? calka 2t² to ∫2dt? i jak ci sie zrobilo z mnozenia odejmowanie..

maniek: a bo tak chcę , wiesz może jak to dokończyć? byłbym wdzięczny

rupert: jeśli już rozbijasz całkę na dwie to zrób to porządnie:

	2t2		1
∫		dt = 2∫ 1 dt − 2∫		dt
	t2+1		t2+1

maniek: no ok i tam będzie potem: 2 * t − 2 * ln |t² + 1| i teraz podstawiam to za t tak ?

rupert: ile wynosi 2∫1dt?

maniek: ∫1dt = t + C ze wzoru ∫dx = x + C to chyba 2t

rupert:

	1
a calka 2∫		dt?
	t2+1

rupert: nie możesz pchać sie w takie calki jak nie znasz wszystkich wzorow, no chyba ze dla kogos robisz albo na wejsciowke

maniek: przy tej drugiej cale korzystam ze wzoru:

	1
∫		= ln|x| + C
	x

czy nie można tak

rupert: a gdzie tam masz w liczniku pochodną mianownika?

maniek: mógłbyś doprecyzować bo nie rozumiem

rupert:

	1
twierdzisz że ∫		= ln|x| + c czyli 1 w liczniku jest pochodną x w mianowniku
	x

rupert: i slusznie

rupert: ale powiedz mi gdzie masz ta sama sytuacje w poprzedniej calce zeby pisac ze jest to ln?

maniek: w poprzedniej, czyli ? której z której godziny

rupert: no ta co ci zostala czyli z 19.32

maniek: to dobrze zrobione czy źle

rupert: a jest pochodna mianownika w liczniku?

maniek: ale po co pochodna, jaka pochodna. we wzorze nie ma podane, że musimy liczyć pochodną mianownika

rupert:

	1
tak, ale jak widzisz warto to wiedziec bo nie zawsze masz postac ∫
	x

maniek: czyli muszę obliczyć pochodną aby móc zastosować taką formę? czyli ∫√e^x − 1 = 2t − 2|ln2t| + C

rupert:

	3x
np jak obliczysz calke ∫		dx?
	x3−8

maniek: nie mam pomysłu, a jak się powinno

rupert: nie, gdybys mial w liczniku 2t to moglbys zastosowac ln, ale nie ma tam 2t, wiec musisz skorzystac z innego wzoru

rupert: ln|x³−8| +C

maniek: a co podziało się z 3x mógłbyś to rozpisać ?

rupert: ja za niedlugo wychodze na miasto wiec ci troche przyspiesze, musisz skorzystac ze wzoru:

	1		1		x
∫		dx =		arctg		+ C
	k+x2		√k		√k

a później wrocić do starej zmiennej, oczywiscie nie mam tu na mysli dziewczyny czy zony, ale zmienna x

maniek: dopiero teraz doczytałem, że taki wzór istnieje arctgt + C na podstawie wzoru:

	dx
∫		i chyba może być
	x2 + a2

rupert:

	3x
w tamtym przykladzie wprowadzilem cie w blad z tym ∫		ale np w takim to sie
	x3−8

sprawdza:

	2x
∫		dx= ln|x2−7| + c
	x2−7

rupert: tak to ten wzor

maniek: czyli jak zostawie z arctgt + C (oczywiscie podstawie za t to na górze) i wynik będzie ok ?

maniek: a mógłbyś napisać jeszcze jak to się dzieli na części, tj.: na dwie całki

rupert: tak

rupert: moge, ale poznym wieczorem, bo teraz juz wychodze

maniek: ok byłbym wdzięczny

maniek: a jak obliczyć taką całeczkę: ∫x⁵e^x2dx ?

maniek: jakieś wskazówki ?

maniek:

maniek:

maniek:

maniek:

maniek:

Bogdan:

	1		1
x2 = t, 2x dx = dt ⇒ x dx =		dt, x5dx = x4 * xdx = t2 *		dt,
	2		2

	1
.. =		∫ t2 et dt = ... (dalej przez części)
	2

maniek:

1		1		1		1
	∫t2e5dt =		∫t2(et)'dt =		* t2 * et −		∫tetdt =
2		2		2		2

	1		1		1		1
=		* t2 * et −		[t * et − ∫etdt] =		* t2 * et −		ett − et
	2		2		2		2

Dobrze rozpisałem pozostanie teraz wymnożyć

maniek:

maniek:

maniek:

maniek: mógłby tylko ktoś sprawdzić

rupert:

	t2		t2+1		1		1
2∫		dt =2∫(		−		) dt= 2∫(1−		) dt
	t2+1		t2+1		t2+1		t2+1

maniek: a to to z 01:56 dobrze?

maniek:

maniek:

rupert: wyglada na to ze dobrze

rupert: skad bierzesz te zadania?

maniek: szukam po forach

rupert: na forach przeciez sa rozwiazane

maniek: szukam tych nierozwiązanych

	e2x
∫		dx
	4√ex + 1

	d
t = ex + 1 |
	dx

dt
	= ex
dx

dt = e^xdx tylko tam na górze jest e^2x masz może pomysł jak to zneutralizować ?

maniek:

maniek:

maniek:

maniek:

maniek:

maniek: ?

maniek:

maniek:

maniek: mógłby ktoś sprawdzić ?

maniek:

Maslanek: ⁴√e^x+1=t e^x+1=t⁴ e^x=t⁴−1 e^x dx= 4t³ dt

	e2x		(t4−1)*4t3 dt
Czyli		=
	4√ex+1		t

Maslanek: W sumie Twoje też dobrze wygląda