pomoc student: Oblicz √8+6i

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/176173.html

student: Nie wiem skąd sie to wzięło

Mila: Napisz od którego miejsca nie rozumiesz.

student: x²−y²=8 i 2xy=6⇔xy=3 Jest na to jakiś wzór?

Trivial: Można łatwo wyprowadzić wzór na pierwiastek: z = a + ib,

	1
√z = ±		(√|z|+a + i*sgn(b)√|z|−a)
	√2

|4+3i| = √16+9 = √25 = 5.

	1
√8+6i = √2*√4+3i = ±√2*		(√5+4 + i*sgn(3)√5−4) = ±(3+i).
	√2

TOmek: Trivial i ten jego wzór

student: No dobra, a jak ten przykład? √−3−4i

Mila: z definicji pierwiastka kwadratowego √16=4 bo 4²=16 √8+6i=x+iy⇔ (x+iy)²=8+6i [ i²=−1] x²+2xyi−y²=8+6i Porządkuję lewą stronę: (x²−y²)+2xyi=8+6i Porównujesz część rzeczywistą i część urojoną liczby. (do postu z 16:39.) x²−y²=8 2xy=6 I trzeba rozwiązać ten układ równań.(umiesz to zrobić?)

student: √−3−4i √−3−4i = x= iy (x+iy)² = −3−4i x² − y² + 2xyi = −3−4i x² − y² = −3 2xy = −4 Tak?

Mila: √−3−4i możesz zrobić korzystając z wzoru Triviala, albo tak samo jak poprzednio √−3−4i =x+iy gdzie x,y∊R⇔ (x+iy)²=−3−4i x²+2xyi−y²=−3−4i (x²−y²)+2xyi=−3−4i Dokończ, powodzenia. Możesz też odgadnąć wynik, tu łatwo.

Mila: 17:14 dobrze.

student: Ok, dziękować Jak będę miał jeszcze problem to napiszę w tym temacie.

Mila: Proszę, będę po 20. Ćwicz.

Trivial: TOmek, co Ci nie pasuje w moim wzorze? <:

student: (1+i)¹0 − tutaj możemy wyliczyć ze wzoru |z| = √a² + b² i potem sin i cos? Mamy sprowadzić do funkcji trygonometrycznej?

student: sorry, tam jest do kwartatu a nie 1

Trivial: Podnoszenie (1+i) albo (1−i) do dowolnie dużej potęgi parzystej (2n) można szybko załatwić sposobem: (1+i)²ⁿ = ((1+i)²)ⁿ = (1+2i+i²)ⁿ = (2i)ⁿ = 2ⁿ*iⁿ (1−i)²ⁿ = ((1−i)²)ⁿ = (1−2i+i²)ⁿ = (−2i)ⁿ = (−2)ⁿ*iⁿ iⁿ = 1, gdy n jest podzielne przez 4. iⁿ = i, gdy n:4 daje resztę 1 iⁿ = −1, gdy n:4 daje resztę 2 iⁿ = −i, gdy n:4 daje resztę 3 Ogólnie: iⁿ = i^{(reszta z dzielenia n przez 4)} Twój przykład: (1+i)¹⁰ = (1+2i−1)⁵ = 2⁵i.