. asdf: Witam. Granica ciągu:

	(n+1)! − n!)		(n+1)n! − n!
lim an =		= lim		=
	(n+1)! + n!		(n+1)n! + n!

	n!(n+1 − 1)		n		1
lim		= lim		=		= 1
	n!(n+1+1)		n+2		1

dobrze?

ja:

	∞
zależy do czego dąży n. jeżeli n−>∞ to źle bo masz		a to jest wyrażenie nieoznaczone.
	∞

ja: a sory ominąłeś wyciąganie przed nawias to jest spoko w takim razie

asdf: Granica ciągu zawsze dąży do ∞. a taki przykład?:

	1		1		1
an =		+		+ ...
	n+1		n+2		n+n

twierdzeniem o trzech ciągach:

1		1		1		1		1		1
	+		+... +		≤ an ≤		+		+ ... +
n+n		n+n		n+n		n+1		n+1		n+1

n		n
	≤ an ≤
n+n		n+1

i chyba źle coś ograniczyłem jak ograniczyć?

asdf: pomoże ktoś?

asdf: ?

aniabb: pierwsze 3000 dążą do 0,693067771

Mila: 1) granice ciągów liczymy dla n→∞ 2) Pierwsze zadanie dobrze, drugie źle. 3) W drugim trzeba skorzystać z tego, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony. Zobacz twierdzenia z wykładu (ćwiczeń) bo wyleciały mi z głowy.

aniabb: a pierwsze 10000 to 0,693122276

aniabb: a o więcej raczej nie będę excelka męczyć, bo chyba wysiądzie

AC: Zobacz mój post z godz 01:14 w temacie 64189

asdf: Aha, czyli to tw. o 3 ciągach się nie da zrobić?

asdf:

	1		1		1
an =		+		+ ...+
	n+1		n+2		2n

	1
a1 =
	1 + 1

	1		1
a2 =		+
	2+1		2+2

	1		1		1
a3 =		+		+
	3+1		3+2		3+3

.... a_n = ...

	1		1		1		1
an+1 =		+		+		+.... +
	n+2		n+3		n+4		2n + 2

a przed 2n + 2 trzeba coś wcisnąć (kropkami), to wciskam:

1
	+ U{n+n+1} + U{n+n+2}
n+n

Postać jest teraz taka:

	1		1		1		1
an+1 =		+		+		+....		+ U{n+n+1} + U{n+n+2}
	n+2		n+3		n+4		n+n

a_n+1 − a_n =

1		1		1		1		1
	+		+		+....		+ U{n+n+1} +		−
n+2		n+3		n+4		n+n		n+n+2

	1		1		1		1
(		+		+		+ ...		) =
	n+1		n+2		n+3		2n

1		1		1		1		1		2
	+		−		=		+		−		=
2n+1		2n+2		n+1		2n+1		2n+2		2n+2

1		1		2n+2 − (2n+1)
	−		=		=
2n+1		2n+2		(2n+1)(2n+2)

1
	> 0
(2n+1)(2n+2)

Skoro jest to większe od zera to jest to ciąg niemalejący czyli ograniczam go z góry:

	1		1		1
an =		+		+ ...+
	n+1		n+2		2n

1		1		1		1		1		1
	+		+ ...+		<		+		+ ... +
n+1		n+2		2n		n		n		n

1		1		1		1
	+		+ ... +		= n*		= 1
n		n		n		n

Ciąg jest ograniczony z góry liczbą 1. Dobrze?

aniabb: ale ta różnica z n staje się coraz mniejsza i 1 to chyba zbyt daleka skoro nawet 0,7 nie przebija

Krzysiek: jeżeli miałeś całki to

	1		1		1
∑i=1n		=		∑i=1n		=
	n+i		n		1+i/n

	1
∫01		dx=ln(1+x)|01=ln2−ln1=ln2
	1+x

asdf: nie miałem całek, pochodnych itd

asdf: Jeżeli ciąg jest nierosnący to zawsze jest ograniczony zerem?

Krzysiek: skoro ciąg jest rosnący i ograniczony z góry to ma granicę z tego co rozpisałeś: a_n+1−a_n możesz wypisać kilka wyrazów ciągu, (jeżeli miałeś rozwinięcia funkcji w szereg powinieneś coś zauważyć)

aniabb: a mogłam nie kasować tego arkusza w excelku..miałam wykres pierwszych 3000 wyrazów ciągu

asdf: nie miałem szeregów Jest jakaś funkcja w excelu, która narysuje taki ciąg? (bardziej to suma ciągu, ale ok ) albo w wolframie?

asdf: Kurde Mam teraz taki ciąg i wyszło mi, że jest on malejący, więc jak jest ograniczony − zerem?

aniabb: jest funkcja jeżeli ($a2<b$1; 1/$a2+b$1; 0) a potem na końcu suma wiersza oczywiście po bokach kolejne naturalne ale to się robi ciągnąc myszą albo +a2+1

asdf: i jeszcze mam takie zadanie: Dany jest ciąg:

	1		2		3		n
an =		+		+		+ ... +
	2n+1		2n+2		2n + 3		2n + n

Wyznacz: a₁, a₂, a₅, a_3n, a_4n+1

	1
a1 =
	2+1

	1		2
a2 =		+
	2*2 + 1		2*2 + 2

	1		2		3		4		5
a5 =		+		+		+		+
	2*5 + 1		2*5+2		2*5 + 3		2*5 + 4		2*5 + 5

	1		2		3		3n
a3n =		+		+		+ ... +
	2*3n + 1		2*3n + 2		2*3n+3		2*3n+3n

	1		2		4n+1
a4n+1 =		+		+ ...
	2*(4n+1) + 1		2*(4n+1) + 2		2*(4n+1) + (4n+1)

dobrze?

asdf: pomoże ktoś?:(

aniabb: dobrze

asdf: Masz może jakąś książkę z zadaniami tego typu? Ja mam, ale już większość przerobiłem, a więcej "pewności" bym nabrał jak zrobię tego więcej. Może być sam tytuł, ściągnę sobie.

aniabb: nie mam

asdf: szkoda

Mila: 21:02 dobrze. Jednak, nie widzę innego sposobu obliczenia granicy z 14:0 niż podał Krzysiek i AC. Wydaje mi się , że trzeba mieć wiadomości z szeregów.

asdf: Na temat szeregów wykładowca powiedział, że właśnie obliczanie takiego czegoś jak g = ln2 (dokładnie) będziemy mieć na drugim semestrze. Teraz mamy się nauczyć czy ciąg jest ograniczony z góry, czy z dołu itd. I tutaj przepraszam, że się powtarzam: jeśli ciąg jest malejący to ograniczony jest zerem?

aniabb: niekoniecznie .. np a_n=8−5n

asdf:

	1   1   1   1 + + + ... +   4   16   4n−1
lim (		) =
	4

	1
q =
	4

	1   1 − ( )n   4		4		4		1		4
Sn = 1*		=		, więc cały wynik to		*		=
	3   4		3		3		4		12

=

1
3

	1
I tutaj mam pytanie: Jeżeli różnicą ciągu jest		to nie patrzę na to, że jest
	4

4ⁿ⁻¹, tylko normalnie rozwiązuję?

	1		1		1
Rozwiązaniem też zmiana na postać		+		+ ...+		. Ale mnie
	4		16		1   4* *4n   4

"dręczy" czy moje rozwiązanie też jest poprawne (wynik ten sam, ale czy rozwiązanie dobre..) ?

Mila: No to skąd wygrzebałeś tę granicę? Ucz się po kolei. Jeśli chodzi o ograniczenie ciągu, to możesz udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n>1 prawdziwa jest nierówność:

1		1		1		13
	+		+........		>
n+1		n+2		2n		24

asdf: @Mila Na google wpisuję "tw. o trzech ciągach" oraz "tw. o monotoniczności ciągów" i robię zadania jakie są..innego wyboru nie mam Mam też 310 rozwiązań krok po kroku z granicami, ale tam jest wszystko na skróty, a nie krok po kroku.

Mila: Liczysz sumę takiej liczby wyrazów, jaka występuje.(trzeba to policzyć)

	1
Iloraz q=
	4

a_n=a₁*qⁿ⁻¹ Zatem masz n wyrazów, wszystko w porządku.

asdf: bo mam taki przykład i nie do końca go rozumiem:

	1		1		1		1		2
yn =		+		+		+ ...		+
	1!		2!		3!		n!		(n+1)!

Do niebieskiego plusa jest to "n składników", a za niebieskim plusem już jest składnik dodawany do każdego y_n, np:

	1		2
y1 =		+
	1!		(1+1)!

	1		1		2
y2 =		+		+
	1!		2!		(2+1)!

...

1

1

1

1

1

2

yn+1 =

+

+

+..+

+

+

1!

2!

3!

n!

(n+1)!

[(n+1) + 1]!

1

1

1

1

1

2

yn+1 =

+

+

+..+

+

+

1!

2!

3!

n!

(n+1)!

[(n + 2]!

Sprawdzam monotoniczność ciagu: y_n+1 − y_n =

1

1

1

1

1

2

yn+1 =

+

+

+..+

+

+

1!

2!

3!

n!

(n+1)!

[(n + 2]!

	1		1		1		1		2
yn =		+		+		+ ...		+
	1!		2!		3!		n!		(n+1)!

jak rozpisać y_n+1, abym mógł określić dokładnie różnicę? Jeżeli ktoś może to niech mi chociaż podpowie (a dobrze by było wytłumaczyć), Tutaj jest kod źródłowy tego postu (ułamki itd są gotowe, tylko wstawić liczby wystarczy): http://etxt.pl/69c

Mila:

	1
Do wyrazu:		sumy są jednakowe:
	n!

	1		2		2		2		1
yn+1 − yn=		+		−		=		−
	(n+1)!		(n+2)!		(n+1)!		(n+2)!		(n+1)!

asdf: ok, spróbuję to zrozumieć po kolei:

1

1

1

1

1

2

yn+1 =

+

+

+..+

+

+

1!

2!

3!

n!

(n+1)!

(n+2)!

	1		1		1		1		2
yn =		+		+		+ ...		+
	1!		2!		3!		n!		(n+1)!

i teraz się odejmuję y_n+1 − y_n tak? To co jest przed niebieskimi plusami jest to same, czyli się zredukuje.

Mila: Zgadza się, asdf.

asdf: aby sprowadzić do wspólnego mianownika:

	2		2		1
U{2]{(n+2)!} + U{1]{(n+1)!} −		=		−		=
	(n+1)!		(n+2)!		(n+1)!

2		1		2		1*(n+2)
	−		=		−		=
(n+2)(n+1)!		(n+1)!		(n+2)(n+1)!		(n+2)(n+1)!

2 − n − 2		−n		−n
	=		=		. Ciąg jest malejący. Ale jak
(n+2)(n+1)!		(n+2)(n+1)!		(n+2)!

ograniczony?

Mila: y_n przyjmuje wartości dodatnie i jest malejący z góry ograniczony przez wartość a₁. Granicy nie policzysz, podobna sytuacja jak przedtem.

asdf: To mogę go ograniczyć z dołu zerem? Ale to już na logikę biorę: skoro wszystkie są dodatnie, a ciąg jest nierosnący (f(n₁) > f(n₂)) to ograniczenie go zerem z dołu jest poprawne?

aniabb: jeśli wszystkie dodatnie to możesz

asdf: Ok, dzięki.

asdf:

	n2 + 2
lim (		)n2 jak to rozwiązać? (prosiłbym o wskazówkę − wiem, że trzeba
	2n2 + 1

skorzystać z liczby e, ale nie wiem jak w ogóle udowodnić, że jest to [1^∞]

	n2 + 2		2   n2(1 + )   n2
lim (		)n2 = lim (		)n2 =
	2n2 + 1		1   n2(2 + )   n2

	2   1 +   n2		1∞
lim (		)n2 = [(		] ...i wychodzi mi, że jest to
	1   2 +   n2		2∞

granica 0. Gdzie jest bład?

aniabb: będzie 0 http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim++%28%28n%5E2%2B2%29%2F%282n%5E2%2B1%29%29%5E%28n%5E2%29

asdf: √n+√n − √n −√n =

(√n+√n − √n −√n)(√n+√n + √n −√n)
	=
(√n+√n + √n −√n)

(n+√n−(n−√n))
	=
(√n+√n+√n−√n)

2√n
	= wyciągam największe potęgi przed nawias w pierwiastkach:
(√n+√n+√n−√n)

2√n		2√n
	=		= 1
(√n(1+1/√n)+√n(1 1/−√n)		2√n

	√2
w odpowiedziach jest		...gdzie mam błąd?
	2

asdf: Sorry, cofam...nie wyraźnie widać te numery odpowiedzi − dobrze mam.

aniabb: wolframa też mówi że 1 http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim++sqrt%28n%2B%E2%88%9An%29+%E2%88%92+sqrt%28n+%E2%88%92%E2%88%9An%29+

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28n%2Bsqrt%28n%29%29-sqrt%28n-sqrt%28n%29%29+as+n+to+inf

asdf: Udowodnić, że ciąg jest ograniczony z góry:

	1		1		1
an =		+		+ ... +
	2 + 5		2+ 52		2 + 5n

	1		1		1
an+1 =		+ U{1]{2+52} + ...		+
	2 + 5		2 + 5n		2+5n+1

	1
dobrze wyznaczony an+1? chodzi mi o to, czy tym również znajduje się		.
	2+ 5n

Mila: asdf− Dobranoc

asdf: Dlaczego?

aniabb: tak

Mila: Zasypiam i nie myślę.Teraz pasjans i do spania.

asdf: @Mila, dobranoc Ja myślałem, że jestem tak głupi, że nie już straciłaś cierpliwość dla mnie.. Ok, to lecę dalej:

	1
an+1 − an =		> 0, rosnący
	2+5n+1

teraz go ograniczę z góry:

1		1		1		1		1		1
	+		+ ... +		<		+		+ .. +
2+5		2+52		2+5n		5n		5n		5n

	1		1   1 − ( )n   5		1
Sn ( ograniczenia z góry) =		*		=
	5		4   5		4

	1
ciąg jest ograniczony z góry		, dobrze?
	4

asdf: ale to mnie trochę zastanawia:

	1		1
an+1 = U{1]{2+5} + ...		+
	2+5n		2+5n+1

Dlaczego nagle taki przeskok do tego po niebieskim nawiasie? wyraz ciągu a_n+1 mówi, że dodajemy jeszcze jedno wyrażenie do poprzedniego zamiast n to n+1? P.S. Jestem już trochę zmęczony i mogę głupoty pisać − wybaczcie..

aniabb: coś nie tak ale nie kontaktuję już .. ale ograniczenie górne to nie suma ciągu tylko n/5ⁿ

asdf: Otworzę zeszyt i sprawdzę na przykładzie. Przepiszę go całego:

	1		1		1		1
zn =		+		+		+ ...
	1*21		2*22		3*23		n*2n

	1
z1 =
	2

	1		1
z2 =		+
	2		8

	1		1		1		1
zn+1 =		+		+		+ ...		+
	1*21		2*22		3*23		n*2n

	1
	(n+1)*2n+1

(właśnie tej linijki nie jestem pewien, czy powinno być to czerwone)

	1
zn+1 − zn =		> 0
	(n+1)*2n+1

dalej:

	1		1		1		1
zn =		+		+		+ ...
	1*21		2*22		3*23		n*2n

przypomnienie:

1		1
	<
n*2n		2n

	1		1		1		1		1		1
zn =		+		+		+ ...		<		+		+
	1*21		2*22		3*23		n*2n		2		22

	1
	2n

	1 − qn
Po znaku nie równości liczyliśmy Sn= U{a1 *
	1−q

	1		1   (1 − ( )n   2
Sn =		*		= 1
	2		1   2

Wniosek: Z_n < 1 Ciąg jest zbieżny.

asdf: masz jakiś pomysł?

Godzio:

	n
Suma którą policzyłeś to suma ciągu geometrycznego, a Ty masz wyrażenie		, a to już nie
	5n

jest ciąg geometryczny

Godzio: Możesz zrobić tak jak w przykładzie:

	1		1		1		1		1
an =		+ ... +		<		+		+ ... +		=
	2 + 5		2 + 5n		5		52		5n

	1		1   1 − ( )n   5		1		1		1
=		*		=		(1 −		) →
	5		1   1 −   5		4		5n		4

asdf: Nie bardzo rozumiem, pierw piszesz, że źle, a pozniej obliczyłeś to tym sposobem. To jak to w końcu jest?

Godzio: Popatrz na swoją sumę

asdf: A no racja