___ Minaj: Prosze pomóżcie mi policzyć pierwsza i drugą pochodną funkcji √8x²−x⁴

	4−x2
pierwsza po skróceniu wzytskiego wyszła mi		(nie wiem czy dobrze
	√2−x2

a przy drugiej gmatwam się od pół godziny próbuje na rózne sposoby ale nie moge dojsc do konca..

Minaj:

Artur_z_miasta_Neptuna:

	4−x2   −2x*√2−x2 − *(−2x)   2√2−x2
f'' =
	(2−x2)

Artur_z_miasta_Neptuna: pamietaj o dziedzinie funkcji

Minaj:

	3x3−8x
Wyszło mi coś takiego		dobrze?
	√(√2−x2)3

Minaj: tylko nie wiem czy sie nie rąbnałem w liczniku, chyba powinno być x³−8x

Minaj: Dobrze policzyłem?

Mila: Pierwsza pochodna źle.

	1		16x−4x3		8x−2x3
(√8x2−x4)'=		*(8x2−x4)'=		=
	2√8x2−x4		2√8x2−x4		√8x2−x4

Artur_z_miasta_Neptuna: wygląda dobrze sprawdź sobie w wolframalpha.com

Minaj: Mila, jak pierwsza źle jak to to samo co Ty napisałas...

Mila: Zaraz sprawdzę.

Mila:

2x(4−x2)
√x2(8−x2)

Minaj: no tak dalej wyciągnąłem i skróciłem x i 8 i zostało to co pisałem wyżej

Mila: Mogłeś skrócić przez x.Przez 8 nie!

Minaj: nie, nie x wyciągnąlem przed pierwiastek i skróciłem a potem z 8 zrobiłęm 4*2 i spierwiastkowałem 4 z czego wyszło 2 i skróciłem wtedy, a pod pierwiastkiem została ta 2 z 8

Minaj: skoro zaczelismy jeszcze raz ten temat to mam pytanie

Minaj: licząc pierwiastki z 2 pochodnej wyszło mi x=0 x=2√2 i x=−2√2 jaka będzie w tym wypadku wklęsłość wypukłość i pkt przegięcia?

Minaj:

Minaj: Mila? Artur?

Minaj: anyone?

Minaj: ale dlaczego liczysz maksima z pierwszej pochodnej jak liczy sie z drugiej?

Minaj: Tak wogóle to ja tamto źle zrobiłem (sowim sposobem)?

Minaj: swoim sposobem*

Artur_z_miasta_Neptuna: ekstremum nie liczy się z drugiej pochodnej tylko z pierwszej pierwsza pochodna mówi nam o monotoniczności funkcji ... w tym o tym czy jest punkt podejrzany o ekstremum czy nie. To czy jest tam ekstremum można sprawdzić na dwa sposoby: a) licząc drugą pochodną i sprawdzić czy się zeruje w tych punktach (wtedy to nie jest ekstremum) b) patrząc na szkic wykresu pochodnej określić czy dochodzi do zmiany znaku w otoczeniu badanego punktu (wtedy jest ekstremum) czy nie (wtedy go nie ma)

Minaj: Tu pisałes ze z drugiej.. https://matematykaszkolna.pl/forum/172682.html

Minaj: nie no dobrze tam chdoziło o wklęsłosći wypukłosc sorki

Artur_z_miasta_Neptuna: ekstremum a punkt przegięcia to są DWIE różne rzeczy zarówno ekstremum jak i punkt przegięcia to miejsca w których kolejne pochodne MOGĄ się zerować. Dlatego fakt, że druga pochodna zeruje się dla jakiegoś x₀ nie oznacza, że jest tam punkt przegięcia (przykład: f(x) = x⁴ .... f''(x) = 12x² ... jak widać dla x₀=0 f''=0 ... natomiast tam nie ma punktu przegięcia tylko ekstremum). Tak samo jest z ekstremum lokalnym −−− zerowanie pierwszej pochodnej jest jedynie warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym

Minaj: ja już nie wiem, dobrze tamto liczyłem? tą 2 pochodną i wklęśłość i wypukłość

Minaj: czyli jeśli x₀ z pierswszej pochodnej jest równy 0 i x₀ od drugiej pochodnej jets równy 0 to dopiero wtedy jest pewnosc ze to ekstremum tak?

Minaj: coś pokręciłem

Artur_z_miasta_Neptuna: nieee jeżeli x₀ z pierwszej i z drugiej pochodnej =0 to nadal nie wiesz czy to jest ekstremum czy punkt przegięcia ... 'badasz dalej' dlatego prościej zrobić szkic wykresu pochodnej i na jej podstawie ocenić gdzie są ekstrema

Minaj: ok, a jak z liczeniem tych moich wklęśłosci i wypukłości?

Artur_z_miasta_Neptuna: Ania napisała że dobrze ... więc zapewne dobrze ... nie sprawdzałem

Mila: Pokręciłeś i nie chcesz "słuchać" co się do ciebie mówi. Pierwsza pochodna źle, nie możesz tak upraszczać, jak napisałeś. Wyłączając x z pierwiastka masz √x²=|x| Jutro napiszę Ci po kolei jak liczę pochodną I II. Teraz dobranoc. Ekstremum Pierwsza pochodna 0 i ta pochodna zmienia znak przy przejściu przez x₀.

Minaj: Ale tu Ania sie nie wypowiadała..

Minaj: jutro mam kolokwium Mila

Minaj: jak zdążysz to napisz przed 9 jutr rano to jeszcze mi to pomoże

Mila:

	1
(√8x2−x4)'=		*(8x2−x4)' =
	2√8x2−x4

	1		4(4x−x3)
=		*(16x−4x3)=		=
	2√8x2−x4		2√8x2−x4

	2x(4−x2)
=
	√8x2−x4

II pochodna http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%288x-x^3%29%2Fsqrt%288x^2-x^4%29%29%27

Mila: Ekstrema Ci wyjaśniłam z I pochodnej. Druga pochodna ujemna to znaczy , że wykres jest wypukły, co widać na wykresie.

Mila: Dziedzina funkcji 8x²−x⁴≥0⇔x∊<−2√2;2√2> miejsca zerowe: √8x²−x⁴=0 ⇔x=0 lub x=−2√2 lub x=2√2 f '(x)=0 ⇔2x(4−x²)=0 x=0 lub x=2 lu x=−2 f '(x)>0⇔x(2−x)(2+x)>0 i x∊D x∊(−2√2;−2) lub x∊(0;2) tam funkcja jest rosnąca ekstrema F_minx=0 dla x=0 f_max=4 dla x=−2, f_max =4 dla x= 2 a także na krańcach dziedziny f_min=0 dla x=−2√2 f_min=0 dla x=2√2 x=

Mila: Nie zapomnij o założeniach: f '(x) dziedzina x≠0 i x≠2√2 i x≠−2√2 W zerze pochodna nie istnieje.