Liczby rzeczywiste Mariusz: Wykaż, że liczba ³√√5+2 − ³√√5−5 jest całkowita.

ZKS: Liczbę którą podałeś nie jest całkowita.

Eta:

Ajtek: Cześć Niewidzialny .

Ajtek: Dobry wieczór Eta =gruszka .

ZKS: Witam Ajtek.

Eta: Myślę,że ma być taka: ³√√5+2−³√√5−2

Ajtek: Mi również taka by pasowała, jak Twoja Eta .

Niepełnosprytna.: Eta, pomogłaś mi już dziś, mogłabym Cię wykorzystać raz jeszcze? Proszę.... https://matematykaszkolna.pl/forum/170683.html

Eta: Witam

Niepełnosprytna.: łaś/łeś

Eta: W epoce feudalizmu wykorzystywano innych

ZKS: I wynik 1 więc całkowita lub dwa rozwiązania zespolone.

Niepełnosprytna.: To mogę nadużyć Twojej wiedzy?

Eta: łaś, łaś

Eta:

	√5+1
(		)3= √5+2
	2

Mariusz: Wybaczcie. Eta masz racje. ³√√5+2 − ³√√5−2

Mariusz: Prosze jeszcze w języku zrozumiałym dla licealisty. Prooooszę.

Mariusz: Pomooooocy! Błagam

ZKS:

	√5 + 1
Przecież Eta napisała że √5 + 2 = (		)3.
	2

Mariusz: A mógłbyś mi to przybliżyć? W jaki sposób do tego doszła? Proszę.

ZKS: Sokole oko inaczej Ci tego nie mogę wytłumaczyć. Poprostu

	√5 + 1		(√5 + 1)3
(		)3 =		=
	2		23

√53 + 3 * √52 * 1 + 3 * √5 * 12 + 13
	=
8

5√5 + 15 + 3√5 + 1		8√5 + 16
	=		= √5 + 2
8		8

Eta:

Mariusz: Tylko mam ją wykazać, że jest całkowitą... I nie mogę się we wszystkim połapać. Widzę, żę używasz wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy ale tak to nic poza tym.

Mariusz: Cholera... Wy matematycy.

Eta:

ZKS: Można to zrobić w jeszcze inny sposób ale jestem naprawdę zmęczony i zaraz idę spaciulki.

Mariusz: Zacznę ogarniać z tej drugiej mańki. Zobaczę co z tego wyjdzie, ale za wszystko dzięki wielkie. Mam u Was spory dług.

ZKS: Ech dobra napisze drugi sposób ale po tym idę na wieczny odpoczynek.

Eta: Co? na "wieczny" ? chyba wieczorny ?

Mariusz: Spokojnie nie trzeba. Ewentualnie jutro zawitam. Będę siedział cała noc. Także lepiej jak się położysz.

Mariusz: Zrobimy coś z tym jutro. Ja jednak się położe. Dobranoc.

ICSP: ³√√5 + 2 − ³√√5 − 2 = x − jeżeli uda mi się pokazać ze x jest całkowite to zadania z głowy wykorzystam tutaj własność (a−b)³ = a³ − b³ + 3(b−a)*ab i mam : √5 + 2 − p5 + 2 + 3(³√√5 + 2 − ³√√5 − 2) = x³ 4 − 3x = x³ x³ + 3x − 4 = 0 w(1) = 0 ⇒ −1 jest liczbą całkowitą. Wystarczy pokazać ze nie ma innych rozwiązań całkowitych ale to już zostawiam tobie.

Eta:

ICSP: zapomniałem napisać − przed 3

ZKS: Oznaczmy naszą liczbę (√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃ jako x. x = (√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃ Po podniesieniu do sześcianu obustronnie i wykorzystaniu wzoru skórconego mnożenia na sześcian różnicy: (³√a − ³√b)³ = a − b − 3³√ab(³√a − ³√b) gdzie a = √5 + 2 oraz b = √5 − 2 wstawiając nasze a oraz b otrzymujemy x³ = √5 + 2 − √5 + 2 − 3³√(√5 + 2)(√5 − 2)((√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃) x³ = 4 − 3³√√5² − 2²((√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃) x³ = 4 − 3³√5 − 4((√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃) x³ = 4 − 3((√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃) zauważamy że czerwony nawias to nic innego jak nasz x za którego podstawiliśmy naszą liczbę ((√5 + 2)^1/₃ − (√5 − 2)^1/₃) więc możemy wstawić w miejsce tej liczby x x³ = 4 − 3x x³ + 3x − 4 = 0 x³ − 1 + 3x − 3 = 0 (x − 1)(x² + x + 1) + 3(x − 1) = 0 (x − 1)(x² + x + 4) = 0 ⇒ x = 1 ∨ Δ < 0 (brak pierwiastków) Tak więc otrzymaliśmy że x = 1 a jak wiemy 1 jest liczbą całkowitą.

ZKS: Nie widziałem wpisu ICSP bo to pisałem aaa wszystko poszło na marne.

ICSP: ZKS o wiele lepiej wytłumaczyłeś ode mnie Ja dzisiaj pisałem najdłuższy wpis w życiu na forum = 1 godzinę

ZKS: Niestety ale nie miałem okazji widzieć tego wpisu i niestety nie widziałem.

PW: @Mariusz: Zdradzę Ci tajemnicę "jak ona do tego doszła" Badana różnica ma postać

	1
x−		.
	x

Łatwo to zauważyć (druga liczba jest odwrotnością pierwszej, co jest oczywiste dla kogoś, kto parę razy w życiu np. usuwał niewymierność a mianownika). Widać również, że x= ³√√5+2 jest liczbą dodatnią, ale mniejszą od 2. Mamy więc odpowiedzieć na pytanie, czy istnieje w przedziale (0,2) rozwiązanie równania

	1
(1) x−		= n, n∊N.
	x

Jest to proste równanie, jak ktoś się uprze, to może je rozwiązać nawet nie wiedząc co to Δ. Dochodzimy do wniosku, że rozwiązanie dodatnie ma postać

	n+√n2+4
x =		.
	2

Widać łatwo, że jedyną liczbą n, dla której to rozwiązanie jest mniejsze od 2, jest n=1. Jedynym rozwiązaniem równania (1) spełniającym podane założenia jest więc

	1+√12+4		1+√5
x =		=		.
	2		2

Ale tu ... ups! Przecież to nie jest nasza liczba ³√√5+2. Na wszelki wypadek sprawdźmy, mówi Eta, i okazuje się, że tak, ta liczba tylko wyszła za mąż i inaczej się nazywa, ale jak ją przepytać, to podniesiona do potęgi trzeciej daje √5 +2, czyli jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z √5 +2. Prawda, że proste? Nie załamuj się, nikt nie jest taki mądry, żeby od razu powiedzieć, że widzi rozwiązanie. Polecam ten sposób, jest skuteczny w wielu takich zadaniach.

Mariusz: Nieproste. Aż tak jestem głupi, że dalej nic nie wiem. Sposób pana bez nicka obczaiłem. I jest git.

Mariusz: Na co zwracacie uwagę przed przedstawionym przeze mnie równaniem?

	√5+1
Jaka jest zależność między 3√2√5+2, a		?
	2