przymiarki do granic zombi: Korzystając z definicji granicy ciągu, wykaż, że liczba:

	3
0 jest granica ciągu o wyrazie ogólnym an=		, czyli
	n

mam pokazać, że zachodzi nierówność: |a_n−0|<ε i ma pewien problemik, bo ε to dowolnie mała liczba (co to znaczy) + wiem, że

	1
ε>
	n

	1
przyjmę za ε=, bo ε>		a najmniejsze n to 1.
	n

i wystarczy, że pokażę, iż ta nierówność zachodzi dla każdego n∊N₊?

zombi: Halo? Chce się tylko wiedzieć co to znaczy "dowolnie mała liczba"

Artur_z_miasta_Neptuna: ε to dowolnie mala liczba ... to znaczy, że NIEZALEŻNIE jak małą liczbę byś wygrał za ε ... to znajdzie się taki wyraz ciągu ... że wszystkie następujące po nim wyrazy będa spełniać tą nierówność

Artur_z_miasta_Neptuna: wykazanie że ciąg posiada granice (z definicji Cauchy'ego) polega na wykazaniu, że: dla dowolnie wybranego ε istnieje takie N (które masz wyznaczyć) że wszystkie wyrazy ciągu następujące po a_N spełniają tą nierówność sugestia −−− N będzie zależne od ε

zombi: Musiałem poczytać wiki, jak coś to poprawiaj mnie okej?

	3
|		|<ε
	n

3
	<ε
n

	3
n>
	ε

"że "dla dowolnej dodatniej liczby \varepsilon istnieje taki wskaźnik N, że dla wszystkich wskaźników n większych od N wyrazy a_n leżą w kole o środku g i promieniu " z tego biore, że

	3
n>N, czyli N≥		?
	ε

Artur_z_miasta_Neptuna: tak ... ale N nie może być zapisana jako nierówność musi być N = ... ileś (zależne od ε) pamiętaj, ze N∊N₊ (do naturalnych)

	3
więc zapis N=		będzie błędny ... bo to nie jest/nie musi być liczba naturalna
	ε

zombi: Czyli naleźć takie N∊N+, po którym a_n mają granicę 0?

Artur_z_miasta_Neptuna: nie nie nie miałes dobrze ale ... (poczekaj na kolejny wpis)

Artur_z_miasta_Neptuna: dowód (prawidłowo zapisany) powinien wyglądać tak Wybieram ε>0

	3
Niech N = [		] + 1 <−−− to jest wartość, która jest najważniejsza i o nią tak naprawdę
	ε

chodzi w dowodzie

	3		3		3		3		3
|an − g|=|an − 0|=|an|=|		|<|		|=		=		<		= ε
	n		N		N		3   [ ]+1   ε		3   ε

c.n.w.

Artur_z_miasta_Neptuna:

	3
jak widzisz ... gdybyś napisał N =
	ε

	3		3
to rozumowanie byłoby identyczne ... z ta różnicą, że N = [		] + 1 >		⋀ N∊N+
	ε		ε

zombi:

	3
aha, czyli jak napisałeś wcześniej, że N=		może być sprzeczne, bo ε to może być dowolna
	ε

	3
dodatnia, dlatego biore sufit z		bo sama część całkowita, mogłaby być 0, czyli miałbym
	ε

wtedy kolejną sprzeczność.

Artur_z_miasta_Neptuna:

	3
tak ... poza tym ... biorąc podłogę z		miałbys problem przy szacowaniu ... bo:
	ε

	3		3
[		] <
	ε		ε

czyli:

3		3
	>		= ε
3   [ ]   ε		3   ε

zombi: a ten zapis można jakoś zwinąć do ostatecznej formy? tzn. |a_n−g|<|a_N−g|<ε czy to występuje tylko w tym przypadku?

Artur_z_miasta_Neptuna: oczywiście tak to się zwija ... na chłopski rozum |a_n−g| <−−− 'odległość' pomiędzy wyrazem ciągu a granicą wyznaczasz takie a_N ... aby |a_N−g| ≤ε ... wtedy wykazujesz |a_n−g| < |a_N − g|≤ε

zombi: Aha, no taki uproszony zapis od razu widać, a mógłbyś spojrzeć na ten przykład?

	n+1
1 jest granicą ciągu an=
	n+3

	n+1
|		−1|<ε
	n+3

−2
	<ε
n+3

	−2
n>		−3
	ε

	n+1
zatem |		−1|
	n+3

	−2
N=[		−3]+1
	ε

	n+1		N+1		−2
|		−1|< |		−1|= i mam tutaj za N podstawić [		−3]+1?
	n+3		N+3		ε

Artur_z_miasta_Neptuna: zacznijmy od tego:

n+1		n+3 − 2		2
	=		= 1 −
n+3		n+3		n+3

w takiej łatwiej podstawiać za N

Artur_z_miasta_Neptuna: tylko taka mala uwaga

	2		2
|−		| = +
	n+3		n+3

zombi: no tak, łatwiej czyli tak

	−2		−2		−2		−2
|		<|		|=|		≥		−3 ?
	n+3		N+3		−2   [ −3]+1   ε		ε

Artur_z_miasta_Neptuna: zauwaz, że dla tak (przez Ciebie wyznaczonego) wyznaczonego N ... N < 0

zombi: Coś pokićkałem chyba...

zombi:

	−2
No tak ujemne N dostaje, a mógłbym sobie np. tak zrobić, żeby na [		−3]+1 nałożyć moduł?
	ε

Artur_z_miasta_Neptuna: ale Ty tam miałes moduł ... opuściles go nie zmieniając znaku patrz wpis 13:41

zosia: pomoze ktos https://matematykaszkolna.pl/forum/170399.html

zombi:

−2

2

−2

2

2

−2

|an−g|=|

|=

<|

|=

=

≥

−3 ?

n+3

n+3

N+3

N+3

−2   |[ −3]+1|   ε

ε

Artur_z_miasta_Neptuna:

	−2
no ale juz bez tego |		| ... po co Ci to
	N+3

zombi: |a_n−g|<|a_N−g| i dalej tak?

Artur_z_miasta_Neptuna:

	+2
N = [		−3]+1
	ε

	−2		2		2		2		2
|an−g| = |		| =		<		=		<		=
	n+3		n+3		N+3		2   [ −3]+1 + 3   ε		2   −3+3 ε

	2
=		= ε
	2   ε

zombi: dobra nie zawracam ci już głowy później postaram się zrobić jakieś przykłady to najwyżej poproszę kogoś o sprawdzenie