Funkcja kwadratowa matt..: Wyznacz te wartości parametru m, dla których nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. a) (m+1)x² − 2(m−1)x +3m−3<0 c) x² − (m+2)x +1 − 8m >0 d) 2x² + (3+m)x + 2 >0 jeśli możenie to wytłumaczcie jak to się liczy ..

Piotr: trzeba pomyslec. np a) to masz wyznaczyc takie m, ze obojetne co podstawisz za x to wyjdzie < 0. dla f kwadratowej : wykres musi byc caly pod osia OX − kiedy tak bedzie ? dla f. liniowej : to np y = −2 , y = −5 itd. czyli co musi zachodzic ?

matt..: nadal nie wiem od czego zaczać w tym zadaniu

Piotr: kiedy parabola jest cala pod osia ? jakie musi byc a i Δ ?

Piotr: https://matematykaszkolna.pl/strona/79.html

Mati_gg9225535: spróbuje na pierwszym przykładzie rozpisać, dalej sam spróbujesz: a) (m+1)x² − 2(m−1)x +3m−3<0 oczywiście na początek dziedzina: x∊R chcemy po lewej stronie otrzymać liczbę ZAWSZE mniejsza od zera żeby każda liczba x∊R spełniała nierówność więc zajmijmy się tym warunkiem Pierwsza opcja jest taka że równanie to będzie kwadratowe, gdy to co stoi przed x² nie będzie zerem, zatem mamy pierwszy warunek: 1) m+1≠0 a teraz: kiedy wykres funkcji kwadratowej (parabola) leży pod wykresem osi OX ? (patrz rys. 1) otóż gdy nie ma miejsc zerowych (nie dotyka osi OX w żadnym punkcie) oraz gdy współczynnik a jest ujemny (ramiona w dół) mamy kolejne warunki: 2) Δ<0 (brak miejsc zerowych) 3) m+1<0 co w części wspólnej z pierwszym warunkiem daje właśnie trzeci warunek, zatem zmieniamy pierwszy warunek do postaci trzeciego, trzeci wówczas jest zbędny otrzymujemy dwa warunki które należy rozwiązać: rozwiązujemy: 1) m+1 < 0 2) Δ < 0 1) m+1 < 0 m < −1 2) b²−4ac<0 [− 2(m−1)]² − 4(m+1)(3m−3) < 0 4(m−1)² −4*3(m+1)(m−1) < 0 (wyciągamy 3 przed nawias) 4(m² − 2m + 1) − 12(m²−1) < 0 (pierwszy nawias podnosimy do kwadratu wg wzoru skróconego mnożenia (a−b)²=a²−2ab+b², drugi z trzecim łączymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a−b)(a+b)=a²−b²) 4m² − 8m + 4 −12m² + 12 < 0 −8m² − 8m + 16 < 0 (dzielimy obustronnie przez (−8) pamiętając o zmianie znaku nierówności) m² + m − 2 > 0 liczymy Δ Δ = 1² − 4*(−2) Δ = 1 + 8 = 9 √Δ = 3

	−1+3		−1−3
m1 =		m2 =
	2		2

m₁ = 1 m₂ = −2 rysujemy wykres dla zmiennej m (patrz rys. 2) i odczytujemy wynik: m ∊ (−∞,−2) ∪ (1,∞) Drugi przypadek mamy gdy współczynnik przed x² (nasze a=(m+1) jest równy 0 − otrzymujemy wtedy nierówność liniową − 2(m−1)x +3m−3<0) DZIEDZINA: x∊R − 2(m−1)x +3m−3<0 mamy do czynienia z nierównością liniową, a więc: kiedy nierówność liniowa jest spełniona? gdy wykresem funkcji liniowej po lewej stronie nierówności jest prosta, równoległa do osi OX (y=const.) ułożona pod osią (patrz rys.3) wtedy na pewno zawsze będzie ona przyjmować wartości mniejsze od 0 czyli gdy −2(m−1) = 0 (znika x, gdyż chcemy uzyskać po lewej stronie postać y= const.) i gdy 3m−3 < 0 1) −2(m−1) = 0 2) 3m − 3 < 0 rozwiązujemy: 1) m−1 = 0 (po podzieleniu przez (−2) m = 1 2) 3m−3 < 0 3m < 3 (dzielimy przez 3) m < 1 w części wspólnej 1) i 2) otrzymujemy zbiór pusty zatem m ∊ ∅ odpowiedzią do zadania jest wynik z pierwszego przypadku: m ∊ (−∞,−2) ∪ (1,∞)

Piotr: @Mati skoro a ma byc <0 to jest jasne ze nie moze byc =0

Mati_gg9225535: no tak ale to zaznaczylem jako a≠0 zeby bylo równanie kwadratowe, potem wiadomo że się warunek pokrywa z kolejnym przyda mu się to gdy w zadaniu będzie miał inne polecenie