Geometria analityczna Tabek: Witam bardzo proszę o rozwiązanie poniższych zadań. 1. Znajdź punkt symetryczny do A(3,−4) względem prostej x − 3*y = 5 . Prawidłowa odp: P(1,2) 2.Napisz równanie okręgu o środku na prostej x − 2*y = 0 przechodzącego przez punkty A(5,5), B(−2,4) . Prawidłowa odp: ( x − 2 )² + ( y − 1 )² = 25 3. Napisz równanie prostej stycznej do okręgu ( x + 3 )² + ( y − 1 )² = 5 równoległej do prostej x + 2*y = 0 . Prawidłowa odp: (1) x + 2*y + 6 = 0, (2) x + 2*y − 4 = 0 4. Napisz równanie prostej stycznej do okręgu ( x − 2 )² + ( y + 3 )² = 10 prostopadłej do prostej x + 3*y = 0 . Prawidłowa odp: (1) 3*x − y + 1 = 0, (2) 3*x − y − 19 = 0

zośka: ad 3) szukana styczna ma równanie postaci : y=ax+b

	1
Skoro ma być równoległa do prostej y=−		x, to musi mieć taki sam współczynnik kierunkowy,
	2

	1
czyli musi być a=−
	2

	1
czyli mamy y=−		x+b
	2

Podstawiamy za y do rownania okręgu:

	1
(x+3)2+(−		x+b −1)2=5
	2

5
	x2+(7−b)x+5+b2−2b=0
4

ROwnanie to ma mieć dokładnie jedno rozwiazanie (bo styczna ma dokładnie 1 punkt z okregiem) czyli musi być Δ=0 (7−b)²−5(5+b²−2b)=0 49−14b+b²−25−5b²+10b=0 −4b²−4b+24=0 b²+b−6=0 (b−2)(b+3)=0 b=2 lub b=−3 Zatem mamy 2 styczne:

	1		1
y=−		x+2 lub y=−		x−3
	2		2

co można zapisać w postaci ogólnej : x+2y−4=0 lub x+2y+6=0

Tabek: Super! dzięki wielkie

zośka: ad4) Podobnie do 3) Zaczynamy od równania y=ax+b − równanie stycznej

	1
Skoro ma być prostopadła do prostej y=−		x to iloczyn ich współczynników
	3

kierunkowych musi być równy (−1),

	1
czyli a*(−		)=−1 ⇒ a=3
	3

Zatem styczna ma postać y=3x+b . Wstawiamy to do równania okregu za y: (x−2)²+(3x+b+3)²=10 . Porządkujemy: 10x²+(6b+14)x+b²+6b+3=0 (mam nadzieję ,że nie pomyliłam się w rachunkach , sprawdzaj mnie proszę) To równanie ma mieć dokładnie 1 rozwiązanie, czyli musi być Δ=0 : (6b+14)²−40(b²+6b+3)=0 b²+18b−19=0 (b+19)(b−1)=0 b=−19 lub b=1 Styczne zatem maja postać: y=3x−19 lub y=3x+1 , co można przekształcić do postaci ogólnych: 3x−y−19=0 lub 3x−y+1=0

Tabek: Super a czy potrafiłabyś zrobić zadanie : Znajdź rzut prostopadły punktu A(3,−2) na prostą 2*x + y = 5 . odp: P( 3.4, −1.8 ) Ah no i robiąc zadanie : Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,3) równoodległej od punktów B(1,−2) i C(5,1) . odp: (1) y = −3.5*x + 10, (2) y = 0.75*x + 1.5 w odpowiedzi wychodzi mi tylko ta druga prosta czyli y = 0.75*x + 1.5, nie mam pojecia jak wyliczyć ta pierwsza

zośka: ad2) równanie okręgu: (x−a)²+(y−b)²=r² gdzie S=(a,b) środek , r promień Skoro środek leży na prostej x −2y=0, to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej prostej, czyli : a−2b=0 ⇒ a=2b czyli równanie okręgu możemy zapisać: (x−2b)²+(y−b)²=r² mamy jeszcze podane 2 punkty, które leżą na tym okręgu. Podstawiamy kolejno ich współrzędne do tego równania: (1) A: (5−2b)²+(5−b)²=r² (2) B: (−2−2b)²+(4−b)²=r² Rozwiązujemy ten układ równań

Tabek: Z zadaniem Znajdź rzut prostopadły punktu A(3,−2) na prostą 2*x + y = 5 . odp: P( 3.4, −1.8 ) już sobie poradziłem. Ale bardzo dziękuje za poprzednie !

zośka: Dostaniesz b i r , mając b masz także a i wystarczy podstawić do równania okręgu. Dasz radę ?

Tabek: może lepiej napisz

aniabb: https://matematykaszkolna.pl/forum/167740.html

zośka: ad zad Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,3) równoodległej od punktów B(1,−2) i C(5,1) . odp: (1) y = −3.5*x + 10, (2) y = 0.75*x + 1.5 zaczynamy od równania k:y=ax+b Skoro przechodzi przez A=(2,3) to 3=2a+b ⇒b=3−2a zatem prosta ta ma postać k: ax−y+(3−2a)=0 Ze wzoru na odleglość punktu od prostej:

	|a*1−1*(−2)+3−2a|
d(B,k)=
	√a2+(−1)2

	|a*5−1*1+3−2a|
d(C,k)=
	√a2+(−1)2

Te 2 odległości mają być równe |a*1−1*(−2)+3−2a|=|a*5−1*1+3−2a| |−a+5|=|3a+2| −a+5=3a+2 lub −a+5=−3a−2 4a=3 lub 2a=−7 a=0,75 lub a=−3,5 b=3−1,5=1,5 lub b=3+7=10

zośka: ad2) ciąg dalszy obliczeń: 25−20b+4b²+25−10b+b²=r² 4+4b²+8b+16+b²−8b=r² porównując oba te równania: 25−20b+4b²+25−10b+b²=4+4b²+8b+16+b²−8b 50−30b=20 30b=30 b=1 r²=4+4+8+16+1−8=25 r=5 a=2b ⇒ a=2 równanie okregu (x−2)²+(y−1)²=25

zośka: Coś jeszcze?