Rozwiąż nierówność kinkykikki: x⁴+x²≥2x

Patryk: https://matematykaszkolna.pl/strona/3397.html

PW: Zgadza się, tyle że można to rozwiązać sprytniej. Zauważamy łatwo, że nierówność jest prawdziwa dla x=0 i dla wszystkich x ujemnych (lewa strona jest dodatnia jako suma kwadratów, a prawa ujemna. Część rozwiązania mamy bez żadnych rachunków: nierówność jest spełniona dla x∊(−∞,0>. Dalej będziemy więc szukać rozwiązań dla x>0. Dla takich x można podzielić nierówność stronami przez x (nie zmieniając nierówności na przeciwną): (1) x³+x ≥ 2, x∊(0,∞). Tu widać znowu bez żadnych rachunków, że dla wszystkich x≥1 nierówność staje się zdaniem prawdziwym (po lewej stronie mamy sumę dwóch liczb większych lub równych 1). Mamy więc drugi "kawałek" rozwiązania: nierówność jest spełniona dla x∊<1,∞). Pozostaje zbadać, czy istnieją x∊(0 , 1) spełniające nierówność (1). Zauważmy, że dla 0<x<1 po pomnożeniu stronami przez x dostajemy 0<x²<x , x∊(0 , 1) i po pomnożeniu jeszcze raz przez x: 0<x³<x²., x∊(0 , 1) Dodanie stronami dwóch ostatnich nierówności daje 0<x³+x²<x²+1, x∊(0 , 1). Prawa strona ostatniej nierówności jest mniejsza od 2, widać zatem że x³+x²<2 dla x∊(0 , 1). Żadna x∊(0 , 1) nie spełnia nierówności (1). Pozbieranie wyników daje Odpowiedź: Nierówność jest spełniona dla x∊(−∞,0>∪<1 , ∞). Czasem dobrze jest chwilę pomyśleć − czy nie mamy do czynienia z czymś oczywistym − zanim rzucimy się na stosowanie utartych schematów. To jest jedno z zadań maturalnych z ubiegłych lat. W niektórych wypadkach zadania dają właśnie taką możliwość rozwiązania szybszego, bez wielkich rachunków, a na egzaminie bardzo walczymy o czas (tylko 180 minut!).