lim n→∞ U{n!}{n^n} apsik:

	n!
lim n→∞
	nn

aniabb: https://matematykaszkolna.pl/forum/165672.html

Artur_z_miasta_Neptuna: https://matematykaszkolna.pl/forum/165672.html po co nowy temat założyłeś wystarczyło tam napisać że chodzi o granicę

apsik: robisz mi na złosc?

Artur_z_miasta_Neptuna: lim u_n = 0 jak

	n!		1		k
zauważ, że: 0 < n! < nn .... czyli		<		... ponieważ 0 <		< 1 ;gdzie
	nn		n		n

k<n ;k∊N

apsik: nie rozumiem

Krzysiek: Też tego nie rozumiem Artur. Oczywiście granica to zero

	n!		nn
ale skoro n! <nn to :		<		=1
	nn		nn

zamiast tyle tematów zakładać, zacząłbyś je czytać... https://matematykaszkolna.pl/forum/164461.html

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1
potrafisz obliczyć granice
	n

n! = 1*2*3*...*(n−1)*n nⁿ = n*n*...*n*n

n!		1		2		3		n−1		n
	=		*		*		*...*		*
nn		n		n		n		n		n

zauważasz, że:

	2
0<		≤1
	n

	3
0<		≤1
	n

.........

	n−1
0<		≤1
	n

	n
0<		≤1
	n

1

2

3

n−1

n

1

czyli

*

*

*...*

*

≤

n

n

n

n

n

n

jeżeli masz ciąg a_n ≥ u_n ≥ 0 oraz lim a_n = 0 ... to lim u_n = 0 (to jest małe przerobienie tw. o 3 ciągach ale bezpośrednio z niego wynika)

Artur_z_miasta_Neptuna: ewentualnie można to pokazać w taki sposób: n! = 1*2*3*...*(n−1)*n < 1*n*n*...*n*n < 1*nⁿ⁻¹ = nⁿ⁻¹

	1
nn−1 / nn =
	n

apsik: dalej nie rozumiem

Artur_z_miasta_Neptuna: ale czego nie rozumiesz oszacowania tw. o 3 ciągach

	1
tego że lim		= 0
	n

czego nie rozumiesz

apsik: tego o tym 1/n≥1/n*2/n....

Artur_z_miasta_Neptuna: n ... jakaś liczba większa od 2

	2
to		≤ 1 tak
	n

1

2

1

1

2

1

to

*

≤

* 1 ... czyli

*

≤

n

n

n

n

n

n

Artur_z_miasta_Neptuna: i analogicznie 'dorzuca się do kotła' następne wyrażenia MNIEJSZE od 1

apsik: no ale dlaczego tam jest na koncu 1/n a nie np 2/n

Artur_z_miasta_Neptuna:

	2		1
może być		... po prostu sobie wybrałem		bo to jest pierwszy wyraz
	n		n

apsik: aaaaa no i teraz wiem, czyli mogę wybrać n!?

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1		2
skoro coś jest mniejsze od		... to tym bardziej jest mniejsze od		a tym
	n		n

	5
bardziej jest mniejsze od		... itd.
	n

Artur_z_miasta_Neptuna: czyli nie rozumiesz

Artur_z_miasta_Neptuna: zobacz co napisałem o 21:59 ... przeanalizuj

apsik:

	n!
no ale dlaczego 0 jest większe niż
	nn

Artur z miasta Neptuna: 0 jest MNIEJSZE od tego ulamka