Oblicz cos kata Andrzej: Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 3:2. Oblicz cosinus kąta ostrego przy podstawie trapezu.

Jakub: Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Dlatego jego dolna podstawa dzieli się na dwa jednakowe odcinki o długości x i odcinek o długości "b". Cosinus kąta przy podstawie można wyliczyć na dwa sposoby. 1) Z trójkąta, którego kąt prosty oznaczyłem zieloną kropką: cosα = ^c_a. Ten trójkąt jest prostokątny, bo kąt zaznaczony zieloną kropką jest oparty na średnicy (zobacz 465). 2) Z trójkąta prostokątnego utworzonego z wysokości, ramienia i odcinka o dł. x: cosα = ^x_c W zadaniu mam, że

a+b+2c		3
	=
a+b		2

a+b		2c		3
	+		=
a+b		a+b		2

	c		3
1 + 2		=
	a+b		2

	c		1
2		=
	a+b		2

c		1
	=
a+b		4

a+b
	= 4
c

a+a−2x
	= 4
c

2a−2x
	= 4 /:2
c

a−x
	= 2
c

a		x
	−		= 2
c		c

1		x
	−		= 2
ca		c

1
	− cosα = 2
cosα

zmienna pomocnicza t = cosα

1
	− t = 2 /*t
t

1 − t² = 2t 0 = t² + 2t −1 t² + 2t −1 = 0 Δ = 2² − 4*1*(−1) = 4+4 = 8 √Δ = √8 = 2√2 t₁ = U{−2−2√2{2} = −1 − √2 t₁ = U{−2+2√2{2} = −1 + √2 = √2 −1 Wartość cosinusa jest dodatnia (bo α to kąt ostry) więc jedyne rozwiązanie to cosα = √2−1 Można zostawić taką odpowiedź lub policzyć przybliżaną wartość i znaleźć na kalkulatorze ile α wynosi (w przybliżeniu)