Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić następujące nierówności / Tomasz: witam, mam oto takie zadanka: Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnić następujące nierówności / równości: 1. n' ≥ 2ⁿ dla n ≥ 5

	n k		n k+1		n+1 k+1		n k		n!
2.		+		=		gdzie		=
									k!(n−k)!

	2n n
3.		mniejsze 22n dla n ≥ 1

	n 0		n 1		n 2		n n−1		n n
4.		+		+		+ ... +		+		= 2n

Przepisywane z tablicy od wykładowcy a pisał takim maczkiem więc mam nadzieję, że dobrze przepisałem. Bardzo proszę o pomoc.

aniabb: https://matematykaszkolna.pl/strona/940.html

Tomasz: a cos jasniej mozna prosic .... akurat indukcja matematyczna to dla mnie duza gora .... gubie sie na 3 fazie czyli dla k+1

aniabb: to przećwicz najpierw te co tam są rozwiązane, a potem powalcz z własnymi

Artur_z_miasta_Neptuna: a co oznacza zapis n'

Artur_z_miasta_Neptuna: może n!

Tomasz: tez mi sie to nie podobalo ... n' − chyba wlasnie n!

Artur_z_miasta_Neptuna: to może na start 1. 1^o n=5 5! = 5*4*3*2*1 = 120 > 32 = 2⁵ 2^o n=k n! ≥ 2ⁿ 3^o (n+1)! = n!*(n+1) ≥ 2ⁿ * (n+1) > 2ⁿ * 2 = 2ⁿ⁺¹ c.n.w.

Artur_z_miasta_Neptuna: teraz 4. 1^o n=1 1+1 = 2 = 2¹ 2^o n=k 3^o n=(k+1)

n+1 0		n+1 1		n+1 n		n+1 n+1		n+1 1		n+1 n
	+		+ .... +		+		= 1+		+ .... +		+ 1 =

// korzystam z rozpisu symbolu newtona, który będziesz dowodził indukcyjnie w (2) // =

n 0

n 1

n 1

n 2

n n−1

n n

= 1 + (

+

) + (

+

) + .... + (

+

) + 1 =

n 0

n 1

n 2

n n−1

n 1

n 2

= [

+

+

+ .... +

+ 1] + [1 +

+

+ .... +

	n n
		] =

n 0

n 1

n 2

n n−1

n n

n 0

n 1

n 2

n n

=[

+

+

+....+

+

] + [

+

+

+....+

] =

= 2ⁿ + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ c.n.w. a (2) i (3) zostawiam dla Ciebie

Artur_z_miasta_Neptuna: żeby nie było że student może sie obijać cały semestr