. asdf: Witam Oblicz: √5 − 12i z² = 5 − 12i ukł. r: x² − y² = 5

	6
2xy = −12 ⇒ xy = −6 ⇒ y = −
	x

	36
x2 −		= 5
	x2

x⁴ − 36 = 5x² x⁴ − 5x² − 36 = 0 x² = t ≥ 0 t² − 5t − 36 = 0 Δ = 169 ⇒ √Δ = 13

	5 − 13
t1 =		⇒ t1 < 0
	2

	5 + 13
t2 =		= 9
	2

x² = 9 x = 3 ∪ x= −3 dla x = 3: dla x = −3: y = −2 y = 2 odp: pierwiastki wielomianu to: z = 3 − 2i ∪ z = −3 + 2i Proszę o sprawdzenie

Godzio: Ok

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%285-12i%29

asdf: Wrzucam nawet te proste, bo jak mnie menda weźmie do tablicy i znajdzie błąd to wywala z ćwiczeń

asdf: sprawdzałem z wolframem, ale coś mi nie wychodzi √−11 + 60i ukł. r.: x² − y² = −11

	30
xy = 30 ⇒ y =
	x

	900
x2 −		= −11
	x2

x⁴ − 900 = −11x² x⁴ + 11x² − 900 = 0 x² = t >=0 t² + 11t − 900 = 0 √Δ = 61 t₁ = < 0 t₂ = 36 x = 6 ∪ x = −6 dla x = 6 y = 5 dla x = −6 y = −5 W wolframie jest tylko: z = 5 + 6i, a mi wychodzi: z = 6 + 5i ∪ z = −6 − 5i Jest dobrze, czy źle to odczytuje?

asdf: ?

Krzysiek: t₂ =25

asdf: Ok, dzięki

asdf: φπ

	π		π
(sin		+ icos		)10
	5		5

z = |z|ⁿ(cosφ * n + isinφ * n)

	π		π		π		5π − 2π		3π
sin		= cos(		−		) = cos(		) = cos
	5		2		5		10		10

	π		3π
cos		= sin
	5		10

	3π		3π
(cos		* 10 + isin		*10 = (cos3π + isin3π)10 =
	10		10

(cos(2π + π) + isin(2π + π))¹⁰ = (cosπ + isinπ) = (−1 + 0i) 1. Jaki tutaj jest moduł? Dlaczego potęga: ¹⁰ określa, że n = 10, skoro potęga powinna być przy podule, a nie po wartościach trygonometrycznych? 2. Dlaczego tutaj uciekła ta potęga (chodzi mi o moment zapisany na czerwono)?

Godzio: Moduł jest 1 (jedynka trygonometryczna) Nie zbyt rozumiem resztę pytań ? Ta potęga znika już gdy masz zapisane cos3π + isin3π

Vax: Nie odpisywać, zadanie z olimpiady matematycznej

asdf: a może z tego wynikać to, że mnożenie jest przemienne i wartość modułu = 1? :

	π		π		π		π
(sin		+ icos		)10 = (sin		+ icos		)*110 = ....tak może to też
	5		5		5		5

być interpretowane? Potęga jest za wartościami trygonometrycznymi i nie ma modułu, czyli moduł = 1 tak?

asdf: @Vax Żadne zadanie z olimpiady matematycznej tylko zadanie na jutrzejsza matematyke.

Godzio: Podszywa się, prawdziwy Vax jest zarezerwowany, a kolega zaraz dostanie bana ...

asdf: @Godzio post z 19⁵⁹ jest poprawny? Dobrze to zrozumiałem?

asdf: Tylko jak ty pisałeś swoją odpowiedź to ja pisałem swoje i posty się zdublowały.

Godzio: Moduł tej liczby zespolonej jest po prostu 1 (z = sinx + icosx ⇒ |z| = √sin²x + cos²x = √1 = 1), a czy dasz to z przodu czy z tyłu to też bez różnicy bo mnożenie jest przemienne

asdf: Ok, dzięki. Korzystając ze wzorów Moivre'a i wz. skr. mn. wyprowadź wzór na cos2α i sin2α. sin(α + b) = sinαcosb + sinbcosα = sinαcosα + sinαcosα = 2sinαcosα Tutaj trzeba zacząć od czego? bo mam podobne rozwiązanie dla sin3α oraz cosα: (cosα + isinα)³ = cos3α + isin3α (cosα + isinα)³ = cos³α + 3cos²α* i *sinα + 3cosαsin²αi² + sin³αi³ = cos³α − 3cosαsin²α − sin³α * i + 3cos²α * i * sinα = cos³α − 3cosαsin²α + i(3cos²αsinα − sin³α) To już jest koniec dowodu?

asdf: drugą linijkę proszę zignorować, zapomniałem wymazać

asdf: więc aby udowodnić cos2α i sin2α trzeba to zrobić tak: (cosα + isinα)² = ....tym sposobem?

asdf: już mi wyszło

Godzio: Tak

asdf: wyszło mi: (cosα + isinα)² = cos²α + 2sinα * i * cosα − sin²α (cosα + isinα)² = cos2α + sin2α i nie rozumiem za bardzo, bo wychodzi mi sprzeczność: cos2α + sin2α = cos²α − sin²α + 2sinαcosα Co z tym i A co z tym i?

Godzio: Ale dlaczego i Ci znika ? (cosx + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx)

asdf: w drugiej czy czwartej linijce? skoro w drugiej: sin²α*i² = −sin²α

asdf:

Godzio: I w 2 i w 4

Godzio: Popatrz na wzór i pomyśl,

Mila: (cosα + isinα)² = cos²α + 2sinα * i * cosα − sin²α=cos2α+isin2α albo ze wzorów de M.. (cosα + isinα)² = cos2α + isin2α i wszystko się zgadza.

asdf: czyli treść zadania powinna być taka: Korzystając ze wzorów de Moivre'a wyprowadź wzór na cos2α + isin2α tak?

asdf:

Godzio: Nie, wzory wyprowadzasz przez porównanie części rzeczywistych i części urojonych

asdf: Godzio, mógłbyś mi to bardziej wytłumaczyć? Próbuję to zrozumieć, ale nie bardzo mi wychodzi Jeszcze to: (cosx + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx) tego też nie bardzo rozumiem

Godzio: To jest właśnie wzór Moivre'a

asdf: gdzie moduł = 1?

asdf: ?

Godzio: Tak

Godzio: Takie uproszczony wzór, do tego zadania nic więcej nam nie potrzeba

asdf: A ja się tyle trudziłem...

Godzio: Czasem trzeba

Mila: Nie wiem, jakie miałeś zadanie, jest dużo komentarzy i nie mogę "wyłuskać" Zadanie podobne do zadań w Krysickim. Wyrazić cos3x przez sinα i cosα. Jeśli to zrobisz to zrozumiesz.

asdf: jak obliczyć takie coś? z² − 4z + 13 = 0 x² + 2xyi − y² − 4x − 4yi + 13 = 0 x² − y² − 4x = −13 2xy − 4y = 0 i tu lecieć? bo pisze: zrobić dwoma sposobami. A tu największa potęga to 2, czyli nie trzeba korzystać ze wzorów De Moivre'a bo się idzie pogubić?

asdf: @Mila Jak wyprowadzić wzór cos3x? nie miałem sumy trzech kątów

Godzio: cos3x + isin3x = (cosx + isinx)³ = cos³x + 3i * sinxcos²x − 3sin²xcosx − isin³x = cos³x − 3sin²xcosx + i(3sinxcos²x − sin³x) Zatem: cos3x = cos³x − 3sin²xcosx , sin3x = 3sinxcos²x − sin³x

Mila: Zaraz zrobimy to równanie z 21:09. Zrob teraz z cosinusem. (cosα+isinα)³=cos3α+isin3α ze wzoru Moivrea Lewa ze wzoru skróconego mnożenia: zrób i porównaj części rzeczywiste. L=

Godzio: Jeden sposób to oczywiście delta i pierwiastki. A drugi hmm, czy to byłby drugi sposób ? : z² − 4z + 4 + 9 = 0 (z − 2)² − (3i)² = 0 (z − 2 − 3i)(z − 2 + 3i) = 0 z = 2 + 3i lub z = 2 − 3i

asdf: delte znam, ale nad drugim się zastanawiam − czy potrzebne jest użycie wz. de Moivre'a czy nie..bo nie wiem o co chodzilo wykładowcy. Teraz rozumiem ten z L = P @Mila A jak wygląda cosinus trzech kątów?

Mila: asdf? Rozjaśniło się coś?

Mila: Godzio Ci wyprowadził.21:14 Chciałabym, abyś to sam zrobił.

asdf: @Mila Tak, z tego wynika to, że wcześniej rozumiałem...pogubiłem się..i znowu zrozumiałem

Mila: Tak to jest. No to wyprowadź wzór na sin3α. Godzio nie rozwiązuj. Asdf , czekam.

asdf: Przepraszam, ale posty są tak często dodawane, że dublują się. Od początku.. część urojona = i i = 3sinx = 3sinxcos²x − sin³x mam doprowadzić go do takiej postaci jak jest tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/1543.html ?

asdf:

Mila: fatalny zapis;ale dobrze wyprowadziłeś. ma być tak część urojona i*(sin3α) ze wzoru Moivre'a = i*(3sinxcos²x − sin³x ) ze wzoru skroconego mnożenia stąd sin3α=3sinxcos²x − sin³x

Mila: Vax , gimnazjaliści zrobią innym sposobem, bo nie znają liczb zespolonych.

asdf: Jeżeli wykładowca dał: oblicz dwoma sposobami, to jeden jest to delta, drugi może być ten? (czy o ten mu chodziło) z² − 4z + 13 = 0 x² + 2xyi − y² − 4x − 4yi + 13 = 0 ukł. r.: x² −y² − 4x = −13 −y² − 4y = 0 ⇒ −y(y + 4) = 0 ⇒ y = 0 ∪ y = −4 Dla y = 0: x² − 4x − y² = −13 x² − 4x + 13 = 0 Δ = −36 tutaj już nie liczę delty ujemnej? Dla y = −4 x² − 4x − 16 + 13 = 0 x² − 4x − 3 = 0 √Δ = √28 coś mi nie wychodzi

asdf: Jak mogą być 4 rozwiązania dla pierwiastka 2 stopnia? Jak podstawię dla delty ujemnej to wyjdzie mi to samo co Godzio, ale co z drugim przypadkiem dla y = −4? Wykluczyc go?

asdf: ?

Mila: masz pomyłkę x² + 2xyi − y² − 4x − 4yi + 13 = 0⇔ (x²−y²−4x+13)+i(2xy−4)=0+0i x²−y²−4x+13=0 i część urojona (2xy−4y)i=0⇔2xy−4y=0⇔2y(x−2)=0 y=0 to już rozważyłeś, zostaje x=2 2²−y²−4*2+13=0 −y²+9=0 y²=9 y=3 lub y=−3 z=2+3i lu z=2−3i

asdf: Ok, dzięki z⁴ − 8z² + 15 = 0 zrobiłbym to tak; z⁴ − 8z² + 16 − 1 = 0 (z² − 4)² − 1² = 0 (z² − 5)(z² − 3) = 0 z² = 5 lub z² = 3 z = √5 z = √3 z = −√5 z = −√3 dobrze?

asdf: Przepraszam, błędny zapis: z⁴ + 8z² + 15 = 0

asdf: (z² + 4)² − 1² = 0 (z² + 3)(z² + 5) = 0 z = √−3 = i√3 z = −√−3 = −i√3 z = √−5 = i√5 z = −√−5 = −i√5 tak jest dobrze?

Mila: Tak.

asdf: a w jaki sposób zrobić to sposobem ze wzorami de Moivre'a?

Mila: a co chcesz tak liczyć √−3? i √−5 ?

asdf: nie, to: z⁴ + 8z² + 15 = 0

Mila: Nie. Możesz tylko to, co napisałam wcześniej, ale nie trzeba sobie robić kłopotu w tym przypadku.

asdf: Ok, dzięki: ³√−27i |z| = 27 cosα = 0

	3π
sinα = −1 >>>>>>>>>>> φ =
	2

	3π   2		π
w0 = 3(cos(		) + isin(		)) = 3(0 + 1i) = 3i
	3		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3π   4π   + 2   2		7π
w1 = 3(cos(		) + isin		) =
	3		6

	π		π		√3		1
3(cos(π +		) + isin(π +		) = 3(−		−		i)
	6		6		2		2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3π   8π   + 2   2		11π
w2 = 3(cos(		) + isin(		) =
	3		6

	π		π		π		π
3(cos(2π −		) + isin(2π −		)) = 3(cos		− sin		) =
	6		6		6		6

	√3		1
3(		−		i)
	2		2

dobrze?

Mila: Dobrze.Widzę, że nabrałeś wprawy. Zapisy prawidłowe.

asdf: Dziękuję, tylko jeszcze z tym mam problem. Jakbyś mogła to zobacz: ³√−1 + i |z| = √2

	√2
cosx = −
	2

	√2		π		3π
sinx =		>>>>> 2 ćw, kątx =		−−−> kąt fi = π − π/4 =
	2		4		4

	3π   4		3π
w0 = 21/6(cos		+ isin		) = 21/6(cosπ/4 + isinπ/4) =
	3		12

	√2		√2
21/6(		+ i		)
	2		2

	3π   8π   + 4   4		11π   4
w1 = 21/6(cos		+ isin		) =
	3		3

	π		π
21/6(cos(2π −		) + isin(2π =		) = 21/6(cosπ/12 − sinπ/12)
	12		12

tak już to zostawić czy jest błąd?

Mila:

	√6−√2
sin150=		=cos750
	4

	√6+√2
cos150=		=sin750
	4

ale możesz zostawić tak jak napisłeś Policz trzeci pierwiastek.

asdf: Dziękuję.

	3π   3 * 2 * 4π   + 4   4		27π
w2 = 21/6(cos		+ isin		) =
	3		12

	3π		π		√2		√2
21/6(cos(2π +		) + isin(2π +		) = 21/6(		+		i)
	12		4		2		2

Nie wiem czy dobrze, bo pierwiastek się powtórzył z pierwszym

asdf: ?

asdf:

Mila: wzór dla pierwiastka 3 stopnia

	φ+2kπ		φ+2kπ
3√|z|(cos		+isin		) k=0,1,2
	3		3

	3π   +4π 4		3π   +4π 4
w2=6√2(cos		+isin		)
	3		3

asdf: No to się nie dziwie, czemu mi wyszedł pierwszy pierwiastek, jak ja wstawiłem za k = 3 Dziękuję

Mila: Dobranoc. Powodzenia na ćwiczeniach.

asdf: Dziękuję Dobrej nocy