granice
kamil: Nauka Granic Mógłby ktoś ze mną przerobić przykłady granic?
| | 7n + (3√n6√n)5 * √9n + 1 | |
a) an = |
| |
| | 11n3 + 7n + 3 | |
(
3√n6√n)
5 = n
(1/3 + 1/6) * 5 = n
5/2 =
√n5
| | 7n +n5/2 * √9n + 1 | |
an = |
| |
| | 11n3 + 7n + 3 | |
I co teraz wyciągnąć? Co jest tutaj największym elementem i skąd to wiemy.
22 paź 16:23
kamil: 
22 paź 16:34
kamil:
22 paź 16:55
Krzysiek: 5/2 <3
zatem granica to zero
podziel licznik i mianownik przez n3
22 paź 17:09
kamil: czyli całość dzielimy przez n
3 ponieważ 3 jest największe?
| | 7 | | 7 | | 3 | |
an = U{ |
| + √n * √9n + 1}{11 + |
| + |
| |
| | n2 | | n2 | | n3 | |
a co z tym
√9n + 1?
22 paź 17:28
Krzysiek: a właśnie teraz zauważyłem, że tam jest mnożenie i wtedy: 5/2 +1/2 =3
w każdym razie i tak dzielisz przez n3 , bo dzielisz zawsze przez największą potęgę
występującą w mianowniku,
jednak granica nie będzie wynosić 0
22 paź 17:32
kamil: | | 5 | | 1 | | 1 | |
a dlaczego |
| + |
| skąd wziąłeś tę |
| ? |
| | 2 | | 2 | | 2 | |
22 paź 17:37
Krzysiek: wyciągasz 'n' z pierwiastka i masz: √n √9+1/n
√n =n1/2
22 paź 17:42
kamil: zawsze wyciągamy największy element w pierwiastku?
dobrze?
22 paź 17:45
Krzysiek: ok, tylko te równości nie zachodzą−brakuje limesów lub " → " zamiast równości
jak masz wielomiany w licznikach i mianownikach zawsze patrzysz na największe potęgi
22 paź 17:50
kamil: | | (√n2 + n − n)(√n2 + n + n) | |
b) an = √n2 + n − n = |
| = |
| | √n2 + n | |
| | n2 + n − n2 | | n | | n | |
= |
| = |
| = |
| = |
| | √n2 + n + n | | √n2 + n + n | | | |
dobrze póki co?
22 paź 17:59
Krzysiek: na samym końcu zamiast n4 jest 'n'
22 paź 18:05
kamil: | | 1 | | 1 | |
bo √n2 + n = √n2 * √1 + |
| = n√1 + |
| ? |
| | n | | n | |
| | 1 | | 1 | | 1 | |
czyli |
| = |
| = |
| ? |
| | | | 1 + 1 | | 2 | |
22 paź 18:10
Krzysiek: czyli po podzieleniu przez 'n' mamy:
nie możesz pisać znaków równości bo przecież one nie zachodzą...
piszesz lim lub →
22 paź 18:13
kamil: a jak zrobić to:
c) a
n = r
n, r > 1 bo na poprzednie jakiś pomysł miałem a na te w ogóle
22 paź 18:15
Krzysiek: 'r' jest stała więc wybierz np. r=2 podstaw kilka wartości za 'n' i zobacz do czego dąży ten
ciąg
22 paź 18:17
kamil: a jest może jakiś wzór na to? czy odp: ∞?
22 paź 18:25
Krzysiek: tak, granica to ∞
22 paź 18:34
kamil: a czy istnieje sposób ładnie to opisujący? czy tylko jedno zdanie wystarczy?
22 paź 18:36
Krzysiek: biorąc wartości rzeczywiste jest to funkcja wykładnicza, r>1 czyli funkcja jest rosnąca i dla
n→∞ ciąg zmierza do ∞
22 paź 18:38
kamil: ok, czyli d) a
n =
n√r; 0 < r < 1
| | 1 | |
an = n√r → r1/n ( |
| → 0) czyli zmierza do 1? |
| | n | |
22 paź 18:45
kamil:
22 paź 18:53
Krzysiek: tak, zmierza do 1,
jest takie tw. limn→∞ n√a =1 ,dla a>0
i drugie tw. limn→∞ n√n =1
22 paź 18:58
kamil: a takie:
| | 1 | |
e) an = 2n − |
| bo tutaj chyba nic nie da się wyciągnąć |
| | n | |
22 paź 18:59
Krzysiek: skorzystaj z tw. o dwóch ciągach lub policz różnicę granic
22 paź 19:03
kamil: nie miałem takiego twierdzenia, mógłbyś je pokazać na tym przykładzie?
22 paź 19:05
kamil:
22 paź 19:17
22 paź 19:18
kamil: nie rozumiem twojego zapisu, z tego co jest napisane na wiki wynika, że:
2
n →
∞
| | 1 | |
2n ≥ |
| zatem jest prawdą więc z twierdzenia o 2 ciągach mamy: → ∞ ? |
| | n | |
22 paź 19:23
Krzysiek: ale u nas ciag bn =2n −1/n
an =2n−1
22 paź 19:24
kamil: a dlaczego tak? dlaczego znalazłeś ciąg an = 2n − 1 od tego to zależy?
22 paź 19:27
Krzysiek: korzystam z tego twierdzenia
mamy znaleźć granicę bn =2n −1/n
(u Ciebie na początku był to ciąg an , ale w tym linku jest inne oznaczenie więc je zmieniłem
)
i wiemy, że an =2n−1 →∞
22 paź 19:29
kamil: an − to ciąg wymyślony mniejszy od tego naszego stworzony na potrzeby liczenia?
a mogłoby być: an = 2n − 2?
22 paź 19:36
Krzysiek: na pierwsze pytanie tak, na drugie również tak, przecież:
2n−1 ≥2n−2
22 paź 19:37
kamil: tylko chyba u Ciebie w zapisie się coś pomyliło? ponieważ jest 2n − 1 a potem 1/2 * 2n
22 paź 19:40
Krzysiek: i te nierówności nie zachodzą?
22 paź 19:41
kamil: niby zachodzą ale to jest zbyt oczywiste i nie wiem czy to jest dobre? to działa dla każdego
takiego przykładu?
22 paź 19:43
Krzysiek: dobierasz taki ciąg by te nierówności zachodziły i tak żebyś wiedział, że ten ciąg zmierzał ∞
22 paź 19:45
kamil: a taki przykład:
| | 3√n2 + n | | 1 | |
f) an = |
| → U{3√n2(1 + |
| ){n + 2} → |
| | n + 2 | | n | |
| |
| dzielimy teraz przez n? bo jest największe? |
| n + 2 | |
22 paź 19:52
kamil:
22 paź 19:57
kamil:
22 paź 20:07
22 paź 20:14
kamil: proszę o pomoc
22 paź 20:21
kamil:
22 paź 20:57
kamil:
22 paź 21:01
Krzysiek: w mianowniku największa potęga to '1' w liczniku to 2/3 zatem granica to zero
tak jak napisałeś podziel licznik i mianownik przez 'n'
22 paź 21:02
Godzio: Tutaj cały czas są równości, a nie " → "
Kończ dalej i dziel przez to n
22 paź 21:02
22 paź 21:09
kamil: 
22 paź 21:13
Krzysiek: prawie, nie ma 'lim' albo '→'
22 paź 21:15
kamil: | | 1 + 2 + 4 + ... + 2n | |
g) an = |
| |
| | 1 + 3 + 9 + .. + 3n | |
to wpierw widzę, że trzeba tutaj zastosować wzór z ciągów; tylko jaki
22 paź 21:20
22 paź 21:24
kamil: (i) 1 + 2 + 4 + ... + 2n = 1 * (1 − 2n) / (−1) = −(1 − 2n)
(ii) 1 + 3 + 9 + ... + 3n = 1 * (1 − 3n) / −2 = (1 − 3*n) / −2
ok?
22 paź 21:33
kamil:
22 paź 21:49
kamil:
22 paź 21:55
kamil:
22 paź 22:05
kamil:
22 paź 22:32
kamil:
22 paź 22:47
kamil:
22 paź 22:56
kamil: pomocy
22 paź 23:19
kamil: mógłby ktoś odpowiedzieć czy dobrze wyznaczyłem tę sumę?
23 paź 14:22
kamil:
23 paź 17:04
Krzysiek: zamiast 'n' powinno być 'n+1' bo jest 'n+1' wyrazów
23 paź 17:08
kamil: czyli:
(i) = 2
n + 1 − 1
(ii) = 1 − 3
n − 1 / −2
23 paź 17:37
Krzysiek: (ii) 3n+1 zamaist 3n−1
23 paź 17:41
kamil: a to że jest n + 1 wyrazów a nie n to skąd wiadomo?
23 paź 17:45
Krzysiek: np. dla n=2
mamy: 1+2+22
czyli 3 wyrazy,
bo liczymy od zera (20 =1)
23 paź 17:51
kamil: czyli będzie:
| 2 − 2n + 1 | |
| dobrze? |
| 1 − 3n + 1 | |
23 paź 18:05
Krzysiek: w liczniku 2n+2 zamiast 2n+1
granica to 0
23 paź 18:07
kamil: hmm tam będzie, że 2n + 2 → ∞ tak samo 3n + 1 zgadza się?
23 paź 18:08
kamil:
23 paź 18:24
Krzysiek: podziel licznik i mianownik przez 3n+1, napisałem już, że granica to 0
23 paź 18:26
kamil: | | 0 + ∞ | |
| → |
| dobrze? chodzi |
| | 0 + 1 | |
o samo rozpisanie
23 paź 18:46
Krzysiek: zamiast (4/3)n+1 powinno być 2 (2/3)n+1 →0
23 paź 18:49
kamil: ok już rozumiem
a taki przykład:
| | 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... − 2n | |
an = |
| |
| | √n2 + 2 | |
23 paź 18:58
kamil: chodzi tylko o to co jest w liczniku jak to rozpisać
23 paź 19:04
kamil:
23 paź 19:30
kamil: 
23 paź 19:45
Krzysiek: policz dwie sumy arytmetyczne w liczniku
1+3+5+...
2+4+6+..
i odejmij od siebie
23 paź 19:52
kamil: 1 + 3 + 5 + ... + 2n + 1= ...
2 + 4 + 6 + ... + 2n = ... dobrze?
23 paź 20:41
kamil:
23 paź 21:29
kamil:
23 paź 21:51
kamil:
23 paź 22:27