Monotoniczność funkcji szybka pomoc Kamil: Zbadaj monotoniczność funkcji okresl dziedziny funkcji i zbiory wartości −y=x²−2x+1 Chodzi mi o to aby udowodnić to za pomoca definicji tylko nie wiem czy jest to mozliwe bez przedziału Df bo wiadomo że funkcja kwadratowa jest parabola a wiec w pewnym momencie maleje a w pewnym rosnie proszę o pomoc jesli ktos wie jak to inaczej zrobic bo wiem że można prosciej liczac wierzchołek W(p,q) i zbadac czy a>0 a<0 tyle ze jestem na studiach i to raczej byłoby za proste aby wykazac to w ten sposób z gory dziekuje za pomoc

aniab: może już miałeś pochodne

Kamil: dopiero wczoraj na wykładzie było cos o tym wspominane ale wątpie żeby akurat w tym przykładzie to zawrzeć tym bardziej że cwiczenia z tego mielismy tydzien temu koles podał nam tylko te definicje kiedy rosnie [ (x1≥ x2)⇒f(x1)≥f(x2)) rośnie itd kiedy maleje parzysta i okresowa

aniab: no to trzeba się pobawić i rozpisać

aniab: https://matematykaszkolna.pl/forum/159119.html

Kamil: rozpisywaliśmy założenie −y=x2−2x+1 zamieniam y=−x²−5 Df xeR x∊Df i −x∊Df Teza f(x)+f(−x) dowod f(x)=−x²−5 f(−x)=−(−x²)−5=−x²−5 f(x)=f(−x) f jest parzysta w ten sposób czy zrobiłem coś źle ?

Kamil: zaraz nie ten przykład

Kamil: to jest parzystosc

Basia: −y = x²−2x+1 = (x−1)² y = −(x−1)² skoro ma być z definicji to tradycyjnie wyznaczasz wierzchołek W(1;0) i z definicji dowodzisz, że x∊(−∞;1> funkcja rośnie x∊<1;+∞) funkcja maleje z tego już prawie wynika, że D⁻¹ = (−∞;0> prawie bo formalnie należałoby pokazać, że lim_x→±∞f(x) = −∞ więc jeżeli znasz granice to to pokaż jeżeli już były pochodne, to można inaczej (ale wtedy to nie jest z definicji)

Kamil: df x∊R f(x1)=−x₁²+2x₁−1 f(x2)=−x₂²+2x₂−1 −x₁²+2x₁−1+x₂²−2x₂+1=(−x₁²+x₂²)2(x₁−x₂) i co dalej

aniab: z definicji to nie z wierzchołka(bo to to tylko do funkcji kwadratowej) a rozpisywanka z [ (x1≥ x2)⇒f(x1)≥f(x2)) i to pisałam https://matematykaszkolna.pl/forum/159119.html można przeanalizować

aniab: −(x₁²−x₂²)2(x₁−x₂)=−(x₁−x₂)(x₁+x₂)2(x₁−x₂) ten nawias z minusem z założenia dodatni ten z plusem zależy od przedziału ..dla ujemnych ujemny więc −(x₁−x₂)(x₁+x₂)2(x₁−x₂)>0 funkcja rośnie dla dodatnich dodatni <0 funkcja maleje

aniab: zjadłeś plusa i dlatego zginęło 1

aniab: = −(x₁+x₂)(x₁−x₂)+2(x₁−x₂)=(x₁−x₂)(x₁+x₂+2) i pierwszy nawias z zał. dodatni a drugi sprawdzasz znak ...

Kamil: czyli musze napisac te dwa przypadki bo przedziału określonego nie mam ?

Kamil: chwileczke bo się gubie to z jakiego przedziału mam brac x₁ i x₂ ?

Kamil: mają byc to liczby Rzeczywiste ?

Basia: f(x) = −(x²−2x+1) = −(x−1)² x₁ < x₂ ≤1 ⇒ x₁−1 < x₂−1 ≤ 0 ⇒ (x₁−1)² > (x₂−1)² ⇒ −(x₁−1)² < −(x₂−1)² ⇒ x∊(−∞;1> funkcja rośnie 1 ≤ x₁ < x₂ ⇒ 0 ≤ x₁−1 < x₂−2 ⇒ (x₁−1)² < (x₂−1)² ⇒ −(x₁−1)² > −(x₂−1)² ⇒ x∊<1;+∞) funkcja maleje nie zawsze trzeba badać różnicę, czasem można szybciej i prościej

aniab: = −(x1+x2)(x1−x2)+2(x1−x2)= −(x1−x2)(x1+x2 −2) pierwszy zawsze dodatni sprawdzasz drugi funkcja rośnie jak x1+x2−2<0 czyli dla x <1 funkcja maleje jak x1+x2−2>0 czyli dla x <1

aniab: ale miał polecenie z definicji

Kamil: własnie mamy takiego postrzelonego wykładowce że nie wiem w koncu czy on chciał to z definicji cz nie przed zadaniem tego zadania podal nam własnie te definicje

aniab: to pewnie tak chciał

Basia: Def: Funkcja f jest rosnąca w D₁ ⇔ ∀_x,x1∊D1 [x₁<x₂ ⇒ f(x₁)<f(x₂)] Funkcja f jest malejąca w D₂ ⇔ ∀_x,x1∊D2 [x₁<x₂ ⇒ f(x₁)>f(x₂)] tyle mówi definicja; badanie różnicy to już wniosek z definicji w większości przypadków bardzo pomocny, ale akurat z każdą funkcją kwadratową można sobie poradzić szybciej sprowadzając ją do postaci kanonicznej i używając wyłącznie definicji

Kamil: rozumiem czyli dwa te sposoby co mi pomogłyście są dobre i dskąd pojawił sie ten zapis x1 < x2 ≤1 skad ≤1

Kamil: to jest wspołrzedna wierzchołka ?

aniab: tylko zazwyczaj nie chodzi o rozwiązanie tego akurat zadania a o udowodnienie że umiesz rozwiązywać tego typu zadania więc im bardziej ogólnie tym lepiej ;> bo jak kazdy większy od 1 to ich suma większa od 2 ..traktujesz je jak różne ale jakby takie same

Kamil: x1 < x2 ≤1 ⇒ x1−1 < x2−1 ≤ 0 ⇒ (x1−1)2 > (x2−1)2 ⇒ −(x1−1)2 < −(x2−1)2 moze zapytam wprost skąd sie wziął ten zapis, dlaczego wszystko zostalo podniesione do kwadratu i dlaczego znaki sie odwrociły ?Już czuje że zaczynam was męczyć tym zadaniem ale przez te trzy miesiące wiekszośc mi się z glowy ulotniła

Basia: stąd, że z postaci kanonicznej widzę, że inne będzie zachowanie funkcji dla x∊(−∞;1> a inne dla x∊<1;+∞) y = −(x−1)² x−1 ≤ 0 ⇔ x≤1 x−1 ≥ 0 ⇔ x≥1 a kwadrat inaczej działa dla niedodatnich i inaczej dla nieujemnych dlatego tak

Basia: a<b≤0 ⇒ a² > b² 0<a<b ⇒ a²<b² to już z wiedzy o liczbach po prostu potem mnożę przez −1

Kamil: dobrze to tak podsumowujac dla tego przykładu jak to powinno wszystko wyglądać −y=x³

Basia: f(x)= −x³ tu bym akurat badała sobie różnicę x₁ < x₂ ⇒ x₁−x₂<0 ⇒ f(x₂) − f(x₁) = −x₂³−(−x₁³) = x₁³ − x₂³ = (x₁−x₂)(x₁²+x₁*x₂+x₂²) < 0

	x2		3x22
bo x12+x1*x2+x22 = (x1+		)2+		>0 dla dowolnych x1,x2∊R
	2		4

jeżeli chociaż jedno z nich ≠0, a tak być musi skoro x₁<x₂ stąd f(x₂)<f(x₁) czyli f(x₁)>f(x₂) czyli funkcja jest malejąca w R

Kamil: dobrze dziękuje Ci bardzo i Pani która udzielała się wcześniej także dziękuje Jeszcze mam jedno zadanko a nie chcę zakladac nowego watku Sprawdź czy jest to funkcja okresowa y=(x−k)² x∊<k−1,k+1> k∊Z df∊r

Basia: teraz już muszę kończyć; może aniab pomoże tyle, że coś mi tu nie gra dla np. k=0 mam y = f(x) = x² dla x∊<−1;1> dla k=1 mam y = f(x) = (x−1)² dla x∊<0;2> to jak ta funkcja jest w punkcie x=1 ? 1 należy do oby z tych przedziałów z (1) f(1) = 1 z (2) f(1) = 0 a to jest niemożliwe, bo sprzeczne z definicją funkcji albo czegoś nie rozumiem, albo coś tu jest nie tak

Kamil: dobrze w takim razie bardzo Ci dziekuję że mi chociaż troche rozjaśniłaś w głowie pozdrawiam serdecznie

aniab: okresowość kojarzy mi się tylko z trygonometrycznymi .. ale tu zrobiło jakiś ładny obrazek http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D%28x%E2%88%92k%29%5E2++++from+k%E2%88%921+to+k%2B1

Kamil: obrazek ciekawy tylko niewiele mi to ułatwia tu mam definicje na okresowość ∀_T że dla każdego x∊Df ((x+T)∊Df i f(x)=f(x+T))

aniab: fakt ona chyba będzie okresowa bo to po prostu poprzesuwane parabolki, ale trudno to nazwać funkcją ;>

aniab: T=1

aniab: (x−k+T)² =(x−k1)² ⇔ T∊Z minT=1

Kamil: to już jest sprawdzenie tak ?

aniab: coś w tym stylu.. nie mam pomysłu na bardziej profesjonalne

Kamil: jakoś w średniej szkole sprawniej mi to szlo a teraz normalnie jakbym dostal zaćmy mózgu

aniab: bo mówią proste rzeczy ale takim językiem że kołkiem staje ;>

Kamil: w sumie to prawda jak siedze na tych wykładach to jak na jakims kazaniu dopiero jak w domu na spokojnie posiedze pomyslę to zaczynam cos rozumiec tym bardziej że u nas w szkole sredniej nie przykladano wiekszej wagi do ozanczania symbolami definicji twierdzen posługiwano sie bardziej przykładami aby to szybko zrozumieć bo na maturze raczej nie ma zadań aby udowodnic prawo de Morgana

aniab: to norma..ja po olimpiadzie matematycznej w technikum na studiach czułam się tak samo ;>

Kamil: ktory okres jest najgorszy pierwszy semestr czy rok ? u nas bedą robic pewnie przesiew bo za dużo osób jest

aniab: chyba tylko semestr..potem się człowiek aklimatyzuje ;>

Kamil: dobrze by było to przetrwać