Indukcja matematyczna azs: Pokaż, że dla każdego naturalnego n≥4, 3ⁿ>n³ Zrobiłam tak: 1. Sprawdzenie dla n=4 3⁴>4³ 81>64 prawda 2. Założenie indukcyjne dla n=k≥4 3^k>k³ 3. Teza indukcyjna dla n=k+1 3^k+1>(k+1)³ 4.Dowód L=3^k+1=3^k*3 P=(k+1)³=k³+3k²+3k+1 Co dalej z tym zrobić?

Basia: 4. tu trzeba udowodnić dwa lematy: (1) 3n² < 3ⁿ (2) 3n+1 = < 3ⁿ też dla n≥4 łato to pokazać P < 3^k+3^k+3^k = 3*3^k = 3^k+1

AC: Spójrz tutaj 151890

yyy: Czy to jest teraz dobrze rozwiązane? 1. Sprawdzenie dla n=4 3⁴>4³ 81>64 prawda 2. Założenie indukcyjne dla n=k≥4 3^k>k³ 3. Teza indukcyjna dla n=k+1 3^k+1>(k+1)³ 4. Dowód L=3^k+1=3^k*3 P=(k+1)³=k³+3k²+3k+1 A) 3n²<3ⁿ dla n≥4 1. sprawdzenie dla n=4 48<243 prawda 2. Zał. ind. dla n=k≥4 3k²<3^k 3. teza ind. dla n=k+1 3(k+1)²<3^k+1 4 . dowód L= 3k²+6k+1 P= 3*3^k=3^k+3^k+3^k z zał. 3k²<3^k 6k<3^k dla k≥4 zawsze prawda 1<3^k dla k≥4 zawsze prawda Z powyższego wynika, że 3n²<3ⁿ B) 3n+1≤3ⁿ dla n≥4 1. sprawdzenie dla n=4 13≤243 prawda 2. Zał.ind. dla n=k≥4 3k+1≤3^k 3. teza ind. dla n=k+1 3k+1+3≤3*3^k 3k+1+3≤3^k+2*3^k 3k+1≤3^k z zał 3<2*3^k zawsze dla k≥4 Z powyższego wynika, że 3n+1≤3ⁿ Z powyższego wynika, że 3ⁿ>n³ dla n≥4

b.: ad A) . sprawdzenie dla n=4 48<243 prawda powinno być 48 < 81 (=3⁴), ale i tak prawda Podobnie sprawdzenie w B) * 6k<3^k dla k≥4 zawsze prawda − skąd to wiadomo? np. stąd: 6k ≤ 6k*(k/4) = 3k²/2 < 3^k/2 < 3^k, w przedostatniej nierówności skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego (jakiś tego typu rachunek trzeba dołączyć) poza tym jest ok, ale można znacznie uprościć, nie trzeba używać indukcji w A i B: w A mamy, dla k≥4: 3k² ≤ 3k² * (k/4) = 3k³/4 < (3/4) * 3^k < 3^k, skorzystaliśmy po drodze z pierwszego założenia indukcyjnego (3^k<k³) podobnie można szacować w B

azs: Dziękuję. Jakoś nie mogłam tego zgryźć, ale już ok.