Szereg digits: Sprawdź czy szereg jest zbieżny.

	en*n!
∑n=1∞
	nn

	en*n!
an=
	nn

	en+1*(n+1)!
an+1=
	nn+1

an+1		en+1*(n+1)!   nn+1
	=		=
an		en*n!   nn

	en+1*(n+1)!	nn
=			=
	nn+1	en*n!

	en*e1*n!*(n+1)	nn
=			=
	nn*n1	en*n!

	e*(n+1)
=
	n

jak dalej to wyliczyć, bo mi nie wychodzi

Krzysiek:

	en+1 (n+1)!
an+1 =
	(n+1)n+1

digits: kurde taki błąd, czyli z tego wychodzi

an+1		en+1*(n+1)!   (n+1)n+1
	=		=
an		en*n!   nn

	en+1*(n+1)!	nn
=			=
	(n+1)n+1	en*n!

	en*e1*n!*(n+1)	nn
=			=
	(n+1)n*(n+1)1	en*n!

	e*nn
=		=
	(n+1)n

	nn
=e		=
	(n+1)n

	(n+1)n
=e(		)−n=
	nn

	n		1
=e(		+		)−n=
	n		n

	1
=e(1+		)−n=
	n

	e
=
	1   (1+ )n   n

czyli wychodzi, że szereg jest rozbieżny, ponieważ nie jest spełniony warunek konieczny a_n+1>a_n>a₁>1 dobrze mi wyszło

Krzysiek: wyszło ok, ale czy a_n →1 ?

sushi_gg6397228: mianownik −−> e

Krzysiek: w sumie to było pytanie do digits , bo ja o tym wiem więc w sumie granica wyszła e/e =1 czyli nic to nie daje. jednak korzystając z tego, że: (1+1/n)ⁿ →e od dołu (ciąg jest rosnący) to:

e
	>1
(1+1/n)n

digits: wydaje mi się, a_n nie dąży do 1

digits: to wiedziałem, że mianownik =e

Krzysiek:

	an+1
znaczy nie an tylko
	an

	e
chodziło mi o końcową postać granicy		bo korzystając z kryterium d'Alembrerta
	(1+1/n)n

liczy się granicę n→∞

digits: aha dlatego się tak trochę zastanawiałem o co chodzi z tym a_n, a to wiedziałem, że

	1
e=(1+		)n
	n

mógłbym dostać jakiś przykład na kryterium porównawcze,bo dokładnie nie wiem jak się kiedy się go stosuje i za bardzo jak liczy

Trivial: Jeżeli z kryterium d'Alemberta wychodzi 1 to dalej nic nie wiemy o zbieżności szeregu. W tym przykładzie wystarczy sprawdzić warunek konieczny zbieżności szeregu (granica wyrazów = 0).

Krzysiek:

	n5 +sinn +10n3
a)∑
	5n6 +2n

	2n2 +13n
b)∑
	n4 +7n +9

sushi_gg6397228: mozna pokombinowac wtedy z Raabe'go lub Schómlisch'a lub wykorzystac wzor Stirlinga −−> dotyczy n!

Krzysiek: Trivial dlatego napisałem o tym,że ten ciąg jest rosnący http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci_szereg%C3%B3w#Kryterium_d.27Alemberta

Trivial: Rzeczywiście, Krzysiek, nie zauważyłem tego. Mimo wszystko wystarczy policzyć granicę a_n

	en		en		n
lim an = lim		n! = lim		*√2πn(		)n = lim √2πn = ∞
	nn		nn		e

digits: taa, żebym ja znał twierdzenia Raabe'gp lub Schómlisch'a dobra zacznijmy może od przykładu b) bo wydaje mi się łatwiejszy czyli

	2n2+13n
zaczyna że an=
	n4+7n+9

i później robie: ⁿ√a_n tak

Krzysiek: ale Ty chcesz zbadać zbieżność korzystając z kryterium porównawczego a nie Cauchy'ego ... więc musisz ten ciąg ograniczać od góry/dołu

Krzysiek: https://matematykaszkolna.pl/forum/146264.html

digits: aha, czyli

	2n2+13n		1
0≤		≤
	n4+7n+9		n2

1
	=0
n2

czyli szereg jest zbieżny dobrze

Krzysiek: na pewno te nierówności są spełnione? po drugie stąd,że 1/n² →0 to nie oznacza, że szereg jest zbieżny

digits: wedlug tego co w tym linku co mi podałeś to patrzymy tylko na największe potęgi

	2n2		2
czyli		=
	n4		n2

	2
∑		jest zbieżny
	n2

Krzysiek: tak, jest zbieżny ale to musisz pokazać, bo na razie to jest przypuszczenie i to 'przypuszczenie' potrzebne nam jest po to byśmy wiedzieli jak ograniczać ten ciąg gdy myślimy,że jest zbieżny ograniczamy go od góry np. licznik: 2n² +13n ≤2n² +13n² =15n² spróbuj ograniczać mianownik tak by cały ułamek się zwiększał

digits: n⁴+7n+9≤n⁴+7n+9n=n⁴+16n

Krzysiek: ok, ale czy jak coś dodasz do mianownika to ułamek się zwiększy czy zmniejszy?

15n2		15n2		1
	≤		=15
n4 +7n+9		n4		n2

	1
i 15∑		jest zbieżny więc na mocy kryterium porównawczego ∑an jest zbieżny
	n2

digits: ułamek się zmniejszy czyli ten drugi przykład n⁵+sinn+10n³≤n⁵+10n⁵=11n⁵

11n5		11n5		11
	≤		=
5n6+2n		5n6		n

	11
czyli ∑		jest rozbieżny więc na mocy kryterium porównawczego ∑an jest rozbieżny
	n

Krzysiek: niestety ale kryterium porównawcze nie zadziała... aby udowodnić, że szereg jest rozbieżny musisz ograniczać ciąg od dołu

digits: czyli jak jest zbieżny to od góry, a jak rozbieżny to od dołu tak n⁵+sinn+10n³≥n³+10n³=11n³

11n3		11n3		11
	≥		=
5n6+2n		n2		n

Krzysiek: niestety źle... ograniczając od dołu musisz ograniczać przez szereg rozbieżny a te nierówności nie wiem skąd się biorą i ta równość(?) na końcu?

	n5		1
musisz ograniczyć go przez ciąg: A		=A		gdzie A −to jakaś stała
	n6		n

digits: a to stało to obojętnie jaka liczba ma być

Krzysiek: no nie, taka jaka Tobie wyjdzie przy tych ograniczeniach

digits: n⁵+sinn+10n³≥n⁵−10n⁵=−9n⁵

−9n5		−9n5		−9n5		1
	≥		=		=−3
5n6+2n		5n6−2n6		3n6		n

	1
−3∑		rozbierzny
	n

Krzysiek:

n5 +sinn+10n3		n5 −1		1/2 n5
	≥		≥		≥
5n6+2n		5n6 +2n		5n6 +2n

	1/2 n5		1
≥		=
	5n6 +2n6		14n

digits: kurde łatwe to nie jest jak na pierwszy raz murze jeszcze rozwiązać takich zadań. Dałbyś może jeszcze jakiś przykład na ograniczony z dołu i z góry

Krzysiek: tu masz parę przykładów z rozwiązaniami http://www.matematyka.pl/154256.htm

digits: Dzięki