Wyznacz reszte z dzielenia klasa3: Wielomian W(x)=x³−(k+m)x²−(k−m)x+3 jest podzielny przez dwumiany: (x−1) i (x−3). c) suma wszystkich współczynników wielomiani Pn(x) jest równa limn−>nieskoń. (1+1/2+1/4+...+1/2n) a suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa jest sumie współczynników przy jej parzystych potęgach. Wyznacz resztę R(x) powstałą z dzielenia wielomianu Pn(x) przez dwumian x²−1

ZKS: Skoro jest podzielny przez (x − 1) oraz (x − 3) to W(1) = 0 i W(3) = 0 wykorzystaj ten fakt.

klasa3: czyli mam postać P(x)=x³−3x²−x+3 jak rozwiazać że 1−3−1+3=limn→+∞(1+1/2+1/4+..+1/2ⁿ)

klasa3: muszę to w ogole liczyć? czy starczy że to P(x) podziele przez (x−1))x+1)?

ZKS: Według mnie c) to oddzielny przykład.

klasa3: Wyszło mi, że reszty nie ma po dzieleniu mam postać W(x)=(x−1)(x+1)(x−3)

klasa3: to jak mam to zrobić?

ZKS: Przepisz tutaj całe zdanie jeszcze raz jak ono brzmi.

klasa3: W(x)=x³−(k+m)x²−(k−m)x+3 jest podzielny przez (x−1) i (x−3) a) oblicz wspolczynniki k i m b) dla jakich wartośći s spełniona jest nierówność W(x)≤0? c) suma wszystkich wspolczynnikow wielomianu Pn(x) jest rowna lim n→+∞(1+1/2+1/4+..+1/2ⁿ), a suma wspolczynnikow przy nieparzystych potegach zmiennej rowna jest sumie wspolczynnikow przy jej parzystych potegach. Wyznacz resztę R(x) powstała z dzielenia wielomianu Pn(x) przez dwumian x²−1 a i b mam zrobione.

ZKS:

	1		1		1
limn → ∞ (1 +		+		+ ... +		)
	2		4		2n

	1		1		1		1
1 +		+		+ ... +		=		= 2
	2		4		2n		1   1 −   2

lim_{n → ∞} 2 = 2

klasa3: i z tego wychodzi, że k=1?

klasa3: a m=−1?

ZKS: Nie rozumiesz zadania Pn(x) nie wiadomo jakiego jest stopnia wiadomo tylko że suma wszystkich współczynników wynosi 2 (zostało obliczone) więc Pn(1) = 2. Następnie mamy informację że suma współczynników przy nieparzystych potęgach jest równa sumie współczynników przy parzystych potęgach więc Pn(−1) = 0 wykorzystaj to zapisz co Ci wyszło.

ZKS: Pytanie do Ciebie skąd masz takie fajne zadania?

ZKS: Pn(x) = axⁿ + bx^{n − 1} + cx^{n − 2} + ... + wx² + px + q Aby wyznaczyć sumę współczynników należy policzyć Pn(1) ponieważ Pn(1) = a * 1ⁿ + b * 1^{n − 1} + c * 1^{n − 2} + ... + w * 1² + p * 1 + q Pn(1) = a + b + c + ... + w + p + q skoro obliczyliśmy ile wynosi suma wszystkich współczynników możemy to wstawić a + b + c + ... + w + p + q = 2 tak więc Pn(1) = 2.

ZKS: Teraz pomyśl dlaczego wykorzystałem Pn(−1) i dlaczego to wynosi 0.

klasa3: Nie mam pojęcia. / zadania do przygotowania do matury od mojej P.Prof.

klasa3: gdy x bedzie liczba ujemna to wspolczynniki przy potegach parzystych beda dodatnie a przy nieparzystych pozostana ujemne, w rezultacie ich suma bedzie rowna zeru

ZKS: Przyjmy że n jest liczbą parzystą zatem z warunków zadania wiemy że "Suma współczynników przy nieparzystych potęgach jest równa sumie współczynników przy parzystych potęgach" tak więc a + c + ... + w + q = b + ... + p ⇒ a − b + c + ... + w − p + q = 0 a tylko Pn(−1) da nam taką sytuację. Pn(−1) = a * (−1)ⁿ + b * (−1)^{n − 1} + c * (−1)^{n − 2} + ... + w * (−1)² + p * (−1) + q Pn(−1) = a − b + c + ... + w − p + q a wiemy że a − b + c + ... + w − p + q = 0 czyli Pn(−1) = 0. Rozumiesz?

klasa3: oczywiscie przy x=(−1)

klasa3: tak

ZKS: To teraz do pracy wykorzystaj podane wskazówki i dokończ zadanie. Jeżeli będziesz chciał/a sprawdzić wynik podaj otrzymaną odpowiedź.

klasa3: Nie do końca wiem, co mam teraz zrobić. Mam wyznaczyż resztę z dzielenia przez x²−1, a jest (x−1)(x+1) czyli muszyę liczyć Pn(1) i Pn(−1). Pn(−1)=0 czyli tutaj nei ma reszty, a Pn(1)=2, czyli reszta z całości to 2?

ZKS: Dzielisz przez trójmian więc należy spodziewać się reszty w postaci dwumianu R(x) = ax + b.

klasa3: dziele przez dwumian (x²−1)

ZKS: Możemy zapisać następująco Pn(x). Oznaczam trójmian x² − 1 jako Q(x) Pn(x) = G(x) * Q(x) + R(x) skoro wiemy że Pn(1) = 2 oraz Pn(−1) = 0 to wykorzystajmy to. {Pn(1) = G(1) * Q(1) + R(1) {Pn(−1) = G(−1) * Q(−1) + R(−1)

klasa3: i jak to wykorzystać

ZKS: Rzeczywiście przepraszam za wprowadzenie w błąd chodziło mi o to że dzielisz przez wielomian stopnia drugiego i należy się spodziewać reszty o stopień mniejszy.

ZKS: Ile wynosi Pn(1) następnie Q(1) i R(1) napisz.

klasa3: czyli moje rozumowanie, że reszta z całości to 2 jest dobre?

ZKS: Dać Ci przykład że się mylisz?

klasa3: Pn(1)=2 Q(1)=0 czyli 2=0 *G(x)+R(x) czyli R(x)=2

ZKS: Przecież jasno i wyraźnie napisałem tam R(1) a nie R(x) ile wynosi R(1) napisz.

ZKS: Mamy F(x) = x³ + 4x² + x − 6 oraz Q(x) = x² − 1 F(1) = Q(1) i F(−1) = −4 Q(−1) = 0 i według Ciebie ta reszta wynosi −4 jeżeli F(x) podzielimy przez Q(x)?

klasa3: to tego nie wiem

ZKS: Napisałem R(x) = ax + b więc ile wynosi R(1)?

klasa3: a+b

ZKS: W porządku czyli napisz jak wygląda pierwsze równanie w układzie nierówności.

ZKS: Oczywiście układzie równań.

klasa3: Pn(1)=G(1)*Q(1)+a+b 2=0+a+b 2=a+b ? Gubię się teraz.

ZKS: Tak teraz identycznie zapisz drugie równanie.

klasa3: Pn(−1)=G(−1)*Q(−1)+R(−1) 0=G(−1)*0−a+b 0=b−a a=b 2=2b b=1 a=1 R(x)=x+1 ?

ZKS: Wszystko w porządku. I jak wyszła Ci ta Twoja reszta równa 2?

klasa3: Dziękuję bardzo za pomoc. Teraz widzę, że moje rozumowanie było złe

ZKS: Proszę bardzo nie ma za co. Mam nadzieję że wyjaśniłem wszystko zrozumiale i nie ma już żadnych wątpliwości.

klasa3: Teraz rozumiem wszystko jasno

klasa3: Nie chcę nadużywać Twojej pomocy, ale gdybyś miał jeszcze chwile spojrzeć tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/157881.html