rozwiązać równanie wielomianowe maths: Rozwiąż równanie −x³+3x²+x−4=0 Proszę o pomoc.

Godzio: I mam uwierzyć, że to jest dobrze przepisane ?

Piotr: zadanie dla ICSP

maths: tak jest dobrze przepisane. Próbowałem z grupowaniem, z tw. pierwiastków wymiernych i niestety nie mogę tego zrobić...

Piotr: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%92x%5E3%2B3x%5E2%2Bx%E2%88%924%3D0 i kliknij exact forms to zobaczysz co za cudenka z tego wychodza

Godzio: Dzisiaj zrobię mu konkurencję f(x) = − x³ + 3x² + x − 4 = − (x³ − 3x² + 3x − 1) + 4x − 4 − 1 = = − (x − 1)³ + 4(x − 1) − 1 x − 1 = t Rozwiązujemy zatem: − t³ + 4t − 1 = 0 ⇔ t³ − 4t + 1 = 0

	4
Połóżmy: t = y +		wówczas mamy po małych przekształceniach:
	3y

	64
y3 +		+ 1 = 0, przyjmując y3 = z otrzymujemy:
	27y3

	64
z2 + z +		= 0
	27

	64
Δ = 1 − 4 *		< 0 − brak rozwiązań rzeczywistych, jeżeli kolega miał liczby zespolone
	27

to mogę ciągnąć dalej, jeżeli nie, to na tym etapie się kończy zadanie

maths: Dzięki wielkie za pomoc

ICSP: Poprawie to później

Godzio: https://matematykaszkolna.pl/forum/157909.html to też przy okazji możesz

ICSP: ja tutaj widzę błąd − poprawiam to ty tam widzisz błąd − poprawiasz tamto

Godzio: Gdybym znalazł czas to bym poprawił, ale za szybko go nie znajdę

ICSP: rozwiązać równanie : −x³+3x²+x−4=0 ⇒ x³ − 3x² −x + 4 = 0 ⇒ x³ − 3x² + 3x − 1 − 4x + 4 + 1 = 0 ⇒ (x−1)³ − 4(x−1) +1 = 0 ⇒ y³ − 4y + 1 = 0 dla y = x − 1 zatem jeżeli podstawię y = u + v to otrzymam : u³ + v³ = −1

	64
u3*v3 =
	27

są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	64
z2 + z +		= 0
	27

	256		−229
Δ = 1 −		=		(Δ<0 − mamy trzy pierwiastki rzeczywiste)⇒ √Δ =
	27		27

	√229i
	27

	−27 ± √229i
z =
	2 * 27

	1		1
zatem y1 =		3√(−27 + √229)/2 +		3√(−27 − √229)/2
	3		3

	1		1
oraz y2 =		3√(−27 + √229)/2*e2iπ/3 +		3√(−27 − √229)/2*e4iπ/3
	3		3

	1		1
i y3 =		3√(−27 + √229)/2*e4iπ/3 +		3√(−27 − √229)/2*e2iπ/3
	3		3

no i skoro mamy już wszystkie y wracamy do postawienia i liczymy x

	1		1
x1 = 1 +		3√(−27 + √229)/2 +		3√(−27 − √229)/2
	3		3

	1		1
x2 = 1 +		3√(−27 + √229)/2*e2iπ/3 +		3√(−27 − √229)/2*e4iπ/3
	3		3

	1		1
x3 = 1 +		3√(−27 + √229)/2*e4iπ/3 +		3√(−27 − √229)/2*e2iπ/3
	3		3

ICSP: nie ma to jak zgubić 12 razy liczbę i

Piotr: