Pochodne-zadania z trescia pigletek: Suma trzech liczb wynosi 150. Jaka jest najwieksza wartosc ich iloczynu? no to a+b+c=150 Wyznaczajac a,b lub c nic za bardzo nie wychodzi, aby wyszedl punkt stacjonarny, w ktorym moze byc ekstremum. Jak to ugryzc?

pigletek: Policzylem pochodne wszystkie, wyszly mi dwa punkty stacjonarne: a=75 b=0 oraz a=0 b=75. Robiac wyznaczniki poprzez podstawianie obu punktow, wyniki tych wyznacznikow wychodza dla obu przypadkow 0, czyli przypadek nierozstrzygalny. Czyli po prostu max wartosc iloczynu tych 3 licz wynosi 0? abc=0*75*75?

Nienor: Ja trochę inaczej to robiłam, ale też wyszło mi 0.

pigletek: W jaki sposob? Ja to robilem akurat poprzez pochodne dwoch zmiennych.

Nienor: a=150−b−c f=abc f=bc(150−b−c) f=b(cb−c²+150c)

	c−150
Wychodzi funkcja kwadratowa o ekstremum w b=
	2

Wkładam ten punkt za b do funkcji i mam

	c−150		c−150
f=		(150−		−c)
	2		2

	−3
f=		c3+225c2−16875c → i ta funkcja ma max w 0.
	4

Nienor: Ale w zasadzie to taka moja fantazja na temat. Jako takie pochodne to sobie przerabiałam sama w czasie wolnym, więc wiesz...

pigletek: Ok, dzieki

konrad: to jest raczej źle, bo przecież np.150=50+50+50, a 3*50>0

PAT: https://matematykaszkolna.pl/forum/156408.html pomóżcie!

pigletek: No nie wiem, wg pochodnych tak wychodzi i chyba nie zawsze musi byc logika w tej matematyce ; D

pigletek: Dzieki Konrad, jeszcze raz pomyslalem i wyszlo 50³ max iloczyn. Juz mialem zostawic to zadanie Rozbilem pochodne do nawiasow i wyszlo...

PW: Dla nieujemnych a, b, c prawdziwa jest nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną:

a+b+c
	≥ 3√abc,
3

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a=b=c. U nas a+b+c = 150, a więc 50³ ≥ abc, przy czym maksimum abc = 50³ i jest ono osiągnięte w jednym punkcie: (a,b,c) = (50,50,50). Tak to rozwiąże licealista pamiętający związek między średnimi. A wy tak te pochodne, bo akurat w tym siedzicie?

Jack: Dla dowolnych a,b,c: a=−100000... b=|a| c=150 P=abc ≈ ∞ Jesli a,b,c≥0, to P=ab(150−a−b)

⎧	P'a=150b−2ab−b2=0
⎩	P'b=150a−2ab−a2=0	⇒ a=b=50 ⋁ a=−b (a=b=0)

Dla a=b=50: P'_aa=−2b P'_bb=−2a P'_ab=150−2a−2b Wyznacznik macierzy Hessego dla (50,50): W_(50,50)=4*50*50−(150−2*50−2*50)>0 oraz P'_aa(50,50)=−100<0 Stąd funkcja osiąga maximum lokalne.

pigletek: Tak, dokladnie mi tak samo wyszlo Jack.