Calki oznaczone - bryły Tiamat: Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół OX podanej lini; sporządź rysunek. y= lnx dla x ∊ [1;e] Co z tym zrobić? Mam tylko wzór, ale nie wiem jak go użyć − czy najpierw liczyć cłkę nieoznaczoną czy liczyć z samego wzoru? V = π ∫ (f(x))² i oczywiście granice we wzorze, ale nie wiem jak zapisać. Pomożecie?: )

Vizer: Tylko do wzoru, bo jest to wzór, który liczy objętość bryły poprzez obrót funkcji f(x) wokół OX, w zadaniu swoim masz f(x) = lnx i to ten wykres ma się obracać więc już wiesz, że f(x) we wzorze to nasz lnx, a pod granice całkowania podstawiasz również to co amsz podane w treści. Czyli do policzenia masz coś takiego: V = π∫^e₁ln²xdx

Tiamat: A mam wcześniej obliczać samą ∫ln^x dx czy od razu podstawiać? Może po prostu to zadanie powinno zostać rozwiązane jako przykład całe? Bo nie mam kompletnie pojęcia jak i co robić przy tym zadaniu

Vizer: To masz do policzenia taką całkę: ∫^e₁ln²xdx Liczymy teraz pomocniczo całkę nieoznaczoną: ∫ln²xdx = *

	1
u = lnx u' =
	x

v ' = lnx v = ** ** = ∫lnxdx =

	1
u = lnx u' =
	x

v ' = 1 v = x = xlnx − ∫1dx = xlnx − x +C v = xlnx − x * = lnx(xlnx − x) − ∫(lnx − 1)dx = xln²x − xlnx − xlnx + x + x = xln²x − 2xlnx + 2x + C Wracamy do naszej całki oznaczonej: V = π∫^e₁ln²xdx = π[xln²x − 2xlnx + 2x]^e₁ = π(e * 1 − 2e * 1 + 2e − 0 + 0 − 2) = π(e − 2) = πe − 2e koniec

loitzl9006: malutka literówka na końcu: π(e − 2) = πe − 2π

Vizer: No masz na samym końcu się musiałem rypnąć, dzięki za korektę i czujne oko

loitzl9006: no tak ale ja z kolei musiałem walnąć się w tabelce https://matematykaszkolna.pl/forum/155553.html także jest remis 1:1

Vizer:

Tiamat: Dzięki wielkie, mam nadzieję, że to ogarnę Wpadnę jutro z zadaniami to się sprawdzę: D

Tiamat: Jestem! Wyszło mi tak, ale znalazłam inny, trochę chyba prostrzy dla mnie sposób obliczenia tej całki: ) ∫1ln²x dx = xln²x − 2∫ lnx . ¹_x . x dx = xln²x − 2∫lnx dx = xln²x − xlnx −x Dobrze, poza tym zrobiłam kolejny przykład, i proszę o sprawdzenie: y= 2x³ dla x∊[−2;2] ∫(2x³)² dx = ∫2x⁶ dx = ²₇x⁷ V= π[²₇ 2⁷ − ²₇ (−2)⁷] = π[²₇ 128 + ²₇ 128] = π[¹³⁰₇ +¹³⁰₇] = π ²⁶⁰₇ Czy to jest dobrze, czy się gdzieś walnęłam?: )

Vizer: Po pierwsze ta całka na samej górze coś nie tak wyszła, zobacz na mój wynik, a teraz na swój. Po drugie w drugiej walnęłaś się już na początku podnosząc do kwadratu.

Tiamat: tak: co do pierwszego − zapomniałam zapisać 2, która jest jeszcze równanie wcześniej mój bład, powinno być: xln² − 2xlnx −2x a to drugie faktycznie już widzę gdzie jest bład, już poprawiam: ⁴₇ 128 + ⁴₇128 =π[⁵¹²₇ +⁵¹²₇] = π ¹⁰²⁴₇

Vizer: Jeszcze powinien być '+' przy 2x. Drugie już dobrze.

Tiamat: Ok, faktycznie Dobrze mam kolejny dylemat (jakby ich było w ogóle mało): y=cosx x∊[e;e²] ∫cos²x dx = ¹₂cosxsinx +¹₂x V = π( [¹₂cos(e²)sin(e²) +¹₂e²] − [¹₂cose sine + ¹₂ e]) I nie wiem co dalej, zacięłam się...

Vizer:

	1		1
Nic tu za dużo nie zrobisz, najwyżej zamień		sin(e2)cos(e2) =		sin(2e2) to samo
	2		4

z drugim i wyłączać przed nawias co się da i taki będzie to wynik.

Tiamat: Czyli lepiej może zostawić tak jak jest? Robię następne: )

Vizer: No ostatecznie można, bo jedynym ruchem jaki tu widzę to właśnie jeszcze użycie wzoru na podwójny sinus i ładne uporządkowanie wyrazów.

Tiamat: Podejrzanie szybko mi poszło: y = ¹_x dla x∊[e;e^] ∫ (¹_x)² dx = ∫x⁻² dx = −x⁻¹ = − ¹_x V = π[− ¹_e²] − [− ¹_e] = π[− ¹_e² + ¹_e] Jest ok? I jest sens robić coś z tym dalej? Chyba nie...

Tiamat: dla x∊[e;e² ]