Rozkład na czynniki - znajdź postać ostateczną 9009: Wiem, że było tu już zadanko typu a⁴ + b⁴ (rozkład na czynniki). Wychodzi mi, tak jak na forum: (a² + b² − √2ab)(a² + b² + √2ab). Pytanie: skąd mam wiedzieć, czy nie mogę rozłożyć wyrażenia jeszcze bardziej, na więcej czynników?

Basia: 1 sposób: a⁴+b⁴ ≥ 0 dla każdych a,b∊R i a⁴+b⁴ i a⁴+b⁴=0 ⇔ a=b=0 stąd wynika, że w rozkładzie na czynniki nie może wystąpić żaden czynnik liniowy postaci np. a−b lub a+2b lub 3a − 2b bo to znaczyłoby, że a⁴ + b⁴ = 0 (1) dla każdego a=b (2) dla każdego a=2b gdzie b dowolne

	2b
(3) dla każdego a =		gdzie b dowolne
	3

itd. 2 sposób: (rachunkowy) f(a) = a² − √2b*a + b² czyli a to zmienna a b parametr (może być odwrotnie, to nie ma znaczenia) Δ = [−√2b]² − 4*1*b² = 2b² − 4b² = −2b² czyli jest stale ujemna czyli a² − √2ab + b² nie da się rozłożyć na czynniki liniowe analogicznie pokazujesz dla g(a) = a² + √2b*a + b²

Basia: P.S. "stale ujemna" oczywiście dla b≠0 ale przypadku b=0 nie ma sensu rozważać, bo dla b=0 a⁴+b⁴ = a⁴ = a*a*a*a i tyle

9009: Myślę, że drugi sposób rozumiem bardziej. Tylko, jak jesteś jeszcze, to powiedz jak (jeśli się da) sprawdzić np. wielomian 3 stopnia w ten sposób? Jest jakaś delta dla takich równań? Chodzi mi np. o sprawdzenie, czy wielomian f(a) = a³ − a² + a¹ ma miejsca zerowe (czy się da rozłożyć). Pierwszy sposób też po chwili namysłu rozumiem, aczkolwiek nie wiem jak przenieść go na inne przykłady (np. właśnie ta 3 potęga w wielomianie). Dzięki, nawet, jak już Cię nie ma

9009: p.s. wiem o własności wielomianów, że rozwiązanie musi być ilorazem wyrazu wolnego i wyrazu z najwyższym stopniem, ale czasem wyraz wolny jest ogromny, ten drugi też i nie idzie znaleźć odpowiedniej liczby. Zresztą nie wiadomo, czy jest...?

9009: * ilorazem dzielników oczywiście.

Basia: każdy wielomian st.≥3 da się rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego Twój przykład jest bardzo łatwy: a³ − a² + a = a(a² − a +1) i koniec bo łatwo sprawdzić, że a²−a+1 jest nierozkładalny (Δ) Nie zawsze będzie tak łatwo. Ogólnie: sprawdzamy czy wielomian ma pierwiastki wymierne (tw.Bezout) jeżeli ma jakiś np. x₀ to dzielimy przez x−x₀ i tak krok po kroku znajdziemy rozkład jeżeli nie ma pozostają wzory Cardano (dla mnie okropne, ale np.ICSP bardzo je lubi) tu jest o nich co nieco http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node127.html

9009: ok. Pierwsze zdanie to jest to, czego potrzebowałem od dłuższego czasu Czyli mimo wszystko, trzeba szukać tych dzielników... Na wzory to bym potrzebował chyba długiego weekendu. Dzięki za wszystko

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/forum/154522.html − tutaj masz fajny sposób rozkładu wielomianu IV stopnia do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych. Co do Δ 2 równaniach III stopnia − można ją bardzo łatwo określić liczbę rozwiązań takiego równania, ale do liczenia pierwiastków to nadaje się już średnio.(przynajmniej dla przeciętnego ucznia liceum)

9009: Do niektórych przykładów przydaje się t = x², to tak nawiasem, ale... W przykładzie zaczynam się gubić w momencie: "wypada oczywiście sprawdzić czy można to spierwiastkować ładnie". Za a+b podstawiamy tam pierwiastek z delty? I podnosimy pierwiastek z delty do kwadratu, z niego wyliczamy deltę delty? Czy np. nie mogę uznać, że jeśli ta pierwsza delta jest dodatnia zawsze (nie ma parametru itd...) to ta druga musi być mniejsza od 0?