Liczby rzeczywiste Koral: Niech a,b > 0. Wykaż, że jeśli x<1, to a^x + b^x > (a+b)^x Nie daje rady z tym zadaniem

Koral: Artur z miasta Neptuna wytłumacz mi bo nie rozumiem

AC: Ponieważ nierówność jest jednorodna to możemy przyjąć, że a+b=1 i wtedy a^x + b^x > 1 przy warunkach 0< a,b < 1 wiemy, że funkcja wykładnicza dla takiej podstawy a<1 jest malejąca czyli dla x < 1 ⇒ a^x > a¹ i dla x < 1 ⇒ b^x > b¹ dodając stronami a^x + b^x > a + b = 1 c.n.w.

anmario: Nie rozumiem wynikającego ponoć z jednorodności tej nierówności założenia, że a+b = 1 Poza tym zwyczajnie − a nie może być równe 2 natomiast b powiedzmy 3 dla przykładu? Wtedy a+b = 5 przecież. Dowód należy przeprowadzić dzieląc obie strony przez a^x co sprowadzi tą nierówność do:

	b
1 + tx > (1+t)x gdzie t =
	a

czego już łatwo dowieść korzystając z twierdzenia Bernoulliego

AC: Wyjaśnienie dlaczego można takie przyjąć założenie masz tutaj: 153437

AC: a z twierdzenia Bernoulliego tego się nie wykaże.

anmario: Świetne, dzięki. Człowiek uczy się całe życie Z twierdzenia Bernoulliego da się to też wykazać. Dowód, prawie w całości, jest powyżej. Jeżeli Cię nie przekonuje zajrzyj tutaj: http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/analizaB/skrypt.pdf str 7 tw 1.15 Wprawdzie dowodzona jest zależność nieco inna, ale identycznym, jak tam pokazany, sposobem można udowodnić tą powyżej