Nierówność jednorodna. Timmy: Często w zadaniach na dowodzenie nierówności jest coś takiego "nierówność jest jednorodna, więc możemy przyjąć, że a+b+c = 1" Mógłby mi ktoś prosto wytłumaczyć dlaczego tak jest i co za tym idzie, kiedy można to stosować?

Timmy: up

b.: w ogólnym przypadku mamy a+b+c = A, które jest zwykle dodatnie lub rzeczywiste (≠0) (*) podstawiamy w nierówności a=a' / A, b=b'/A, c=c'/A, i dostajemy do udowodnienia nierówność taką jak wyjściowa, ale z a', b', c' zamiast a,b,c −− czyli z sumą zmiennych równą 1 (*) ewentualny przypadek a+b+c=0 trzeba rozważyć osobno

Vax: Przykładowo nierówność: a+b+c ≥ 3³√abc Jest jednorodna, czyli możemy założyć dowolną symetryczną równość, tj, że a+b+c=1 albo, że abc=1, albo ab+ac+bc=1 albo a²+b²+c²=10 etc. Skąd to wynika i kiedy nierówność jest jednorodna ? Jest jednorodna, jeżeli podstawiając w naszej nierówności a = ka' , b = kb' , c = kc' dla dowolnej stałej k dostajemy tą samą nierówność dla trójki (a',b',c'). Przykładowo nasza nierówność jest symetryczna, gdyż podstawiając jak wyżej dostajemy: ka'+kb'+kc' ≥ 3³√a'b'c'k³ = 3k³√a'b'c'/:k ⇔ a'+b'+c' ≥ 3³√a'b'c' Widzimy zatem, że prawdziwość tezy dla trójki (a,b,c) jest równoważna prawdziwości tezy dla trójki (ka' , kb' , kc') gdzie k jest dowolnie dobrane. Połóżmy więc na przykład k =

	1
		, czyli jak wcześniej zauważyliśmy prawdziwość tezy dla trójki (a,b,c) jest
	a'b'c'

	a'		b'		c'
równoważna prawdziwości tezy dla trójki (		,		,		), ale ta
	a'b'c'		a'b'c'		a'b'c'

trójka spełnia założenie abc=1, czyli możemy założyć w naszej nierówności, że abc=1. Podobnie

	2
wstawiając np k =		dostajemy, że możemy założyć, że abc=2, albo wstawiając k =
	a'b'c

	1
		dostajemy, że a+b+c=1 Po przerobieniu kilku przykładów od razu będziesz
	a'+b'+c'

widział, czy dana nierówność jest jednorodna czy nie, bez potrzeby podstawiania jak wyżej. Po prostu patrzysz na każdy składnik po lewej i prawej stronie i każdy z nich ma być tego samego stopnia, przykładowo my mamy a+b+c ≥ 3³√abc, po lewej stronie każdy składnik jest stopnia 1 (a = a¹), więc cała lewa strona jest stopnia 1, prawa strona jest również stopnia 1, gdyż abc

	1
jest stopnia 3, więc 3√abc jest stopnia 1 Podobnie		jest stopnia −1,
	a+b

	√a		1
		jest stopnia −		itd
	√b2+c2		2

Pozdrawiam.

Timmy: Super wyjaśnione, już rozumiem : P Bardzo dziękuję Vax