Techniki wykonywania działań i obliczeń Bogdan: Matura tuż, tuż. Warto więc poćwiczyć i może poznać techniki wykonywania działań i obliczeń, które upraszczają, ułatwiają i oszczędzają czas rozwiązywania zadań. Proponuję więc w tym wątku zamieszczać takie matematyczne "myki", "hokusy−pokusy", "czary−mary". Pewne sposoby znane są od dawna, inne są mniej znane. Na początek trzy sposoby podnoszenia niektórych liczb do kwadratu. 1. Podnoszenie do kwadratu liczb zakończonych cyfrą 5. Np.: a = 75², 35², 195². Mnożymy liczbę stojącą przed cyfrą na ostatnim miejscu, czyli przed 5 przez liczbę o 1 większą, zapisujemy wynik mnożenia i dopisujemy 25. a: 75² = 5625, 7 * 8 = 56; b: 35² = 1225, 3 * 4 = 12; c: 195² = 38025, 19 * 20 = 380. 2. Podnoszenie do kwadratu liczb naturalnych n od 40 do 60. Np.: a = 57², 53², 48², 42². Obliczamy w pamięci różnicę: n − 50 i dodajemy ją do 25, wynik zapisujemy i dopisujemy do niego na dwóch miejscach kwadrat tej różnicy. a = 57² = 3249, 57 − 50 = 7, 7 + 25 = 32, 7² = 49; b = 53² = 2809, 53 − 50 = 3, 3 + 25 = 28, 3² = 09; c = 48² = 2304, 48 − 50 = −2, −2 + 25 = 23, (−2)² = 04; d = 42² = 1764, 42 − 50 = −8, −8 + 25 = 17, (−8)² = 64. Można w ten sposób obliczać kwadraty liczb poniżej 40 i powyżej 60, ale wymaga to już pewnej wprawy. 3. Podnoszenie do kwadratu liczb naturalnych n od 90 do 110. Np.: a = 108², b = 103², c = 91², d = 98². Obliczamy w pamięci różnicę n − 100 i dodajemy ją do liczby n, wynik zapisujemy i dopisujemy do niego na dwóch miejscach kwadrat tej różnicy. a = 108² = 11664, 108 − 100 = 8, 8 + 108 = 116, 8² = 64; b = 103² = 10609, 103 − 100 = 3, 3 + 103 = 106, 3² = 09; c = 91² = 8281, 91 − 100 = −9, −9 + 91 = 82, (−9)² = 81; d = 98² = 9604, 98 − 100 = −2, −2 + 98 = 96, (−2)² = 04. Można w ten sposób obliczać kwadraty liczb poniżej 90 i powyżej 110, ale wymaga to już pewnej wprawy.

kaczor: dobre nie znałem tych metod A matura naprawde tuż tuż 13 już troszke dygam bo rozszerzoną pisze

Lisowczyk: sprytne

Michał Szczotka: Dobre dobrze że cię mamy Bogdanie

radek: extra bede tu zagladac

Bogdan: To teraz ćwiczenie. Proszę w najlepszy możliwy sposób uprościć ułamek:

a   c   + b   d
	=
b   d   + a   c

Michał Szczotka:

a   c   + b   d		ad+cb   bd		1   bd
	=		=		=
b   d   + a   c		bc+ad   ac		1   ac

ac
bd

anies: =(^a_b+^c_d)² ? ? ?

Bogdan: A jak to zrobić prościej?

Michał Szczotka: jestem po gilu to muszę się zastanowić

Damian: Ja znam sposób np. (1,8)² ze jest to (20 −2)² i dzielimy przez 100 albo 32² = (30+2)² proste wzory skróconego mnożenia Stosować je można do wszystkich liczb 18² = (20 −2)² ipt. itd.

Bogdan: To jeszcze jedno ćwiczenie, po którym przedstawię pewien zgrabny sposób na zwijanie ułamków piętrowych.

	3   5   + 4   6
Obliczyć:
	3   + 2 2

Proszę pokazać wszystkie działania, aż do końcowego wyniku.

Tomek: Dwumian Newtona potęga 1 |⁰ 1 1 |¹ 1 2 1 |² 1 3 3 1 |³ 1 4 6 4 1 |⁴ itd. w każdej linii zaczynamy i kończymy jedynką. Pozostałe liczby to suma dwóch powyżej. Są to współczynniki, a wykładniki potęg wiecie chyba jak wpisywać: np.: (x+y)³= 1x³y⁰+3x²y¹+3x¹y²+1x⁰y³

Bogdan: Ułamki piętrowe zwijamy poprzez ich rozszerzanie. Pokazuję na przykładach.

	2   7		2   * 7 * 5 7		10
1.		=		=
	3   5		3   * 7 * 5 5		21

	3   5   ( + ) * 12   4   6		9 + 10		19
2.		=		=
	3   ( + 2) * 12   2		18 + 24		42

	a   c   ( + )*abcd   b   d		a2cd + abc2
3.		=		=
	b   d   ( + )*abcd   a   c		b2cd + abd2

	ac (ad + bc)		ac
=		=
	bd (bc + ad)		bd

Mnożymy licznik i mianownik ułamka piętrowego przez wspólny mianownik wszystkich występujących w działaniu mianowników. Już w pierwszym kroku mamy ułamek, który już nie jest piętrowy.

Klara: Mnożenie liczb dwucyfrowych mniejszych od 20 12*13= (12 +3)*10 + 2*3= 153 14*16=( 14+6)*10 +4*6= 224 17*18 = (17+8)*10 + 7*8= 306 13 *19 = ...... 18*16=..... 12*19= ........

Klara: Chochlik w pierwszym .... oczywiście 156

Bogdan: Przy obliczaniu Δ i w innych sytuacjach trzeba obliczać kwadraty liczb. Podam teraz sposób na kwadraty liczb naturalnych od 11 do 19, chociaż najlepiej byłoby je po prostu pamiętać. 11² = 121, 11 + 1 = 12, za 12 dopisujemy 1, bo 1² = 1. 12² = 144, 12 + 2 = 14, za 14 dopisujemy 4, bo 2² = 4. 13² = 169, 13 + 3 = 16, za 16 dopisujemy 9, bo 3² = 9. 14² = 196, 14 + 4 = 18, za 18 dopisujemy 6 i zwiększamy o 1 ósemkę, bo 4² = 16. 17² = 289, 17 + 7 = 24, za 24 dopisujemy 9 i zwiększamy o 4 czwórkę, bo 7² = 49. 18² = 324, 18 + 8 = 26, za 26 dopisujemy 4 i zwiększamy o 6 szóstkę, bo 8² = 64.

Klara: Bogdanie, mozna i moim sposobem: 11*11= (11+1)*10 = 1*1= 121 18*18 = ( 18+8)*10 + 8*8 = 260 + 64 = 324

Klara: Właściwie to jest ten sam sposób

Klara: sposób obliczania : kwadratów liczb dwucyfrowych zakończonych cyfrą 5 25² =625 bo (2² +2) = 6 i dopisujemy 25( jako dwie ostatnie cyfry 45² = 2025 bo ( 4² +4) = 20 i dopisujemy 25 75² = 5625 bo ( 7² +7) = 56 i " " 25

ANETA: jak rozwiązać coś takiego 3 ósme + jedna szósta w liczniku a w mianowniku 11 piatych