zadanka Kejt: Kolejna porcja zadanek, tym razem dla mnie

nikt : Możesz to z sinusami wziąć

Saizou : Zadanie (*) dla Saizou, Krzycha i Kejt Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13cm i 15 cm. Pole trapezu jest równe 168 cm2, a kąty przy podstawie są ostre. Oblicz pole trójkąta , którego wierzchołkami są końce dłuższej podstawy trapezu i punkt przecięcia jego przekątnych.

Kejt: chyba zapomniałeś, że już je zrobiłam tak długo mnie z nim męczyłeś

Mila: Zadanie (*) dla Kejt, Saizou, Krzycha Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13cm i 15 cm. Pole trapezu jest równe 168 cm², a kąty przy podstawie są ostre. Oblicz pole trójkąta , którego wierzchołkami są końce dłuższej podstawy trapezu i punkt przecięcia jego przekątnych. Dla Kejt 2) Dany jest ciąg a_n=U{1+3+5+.....(2n+1){n+2}−n − wyznacz a₉₈ − zbadaj monotoniczność ciągu.

Mila:

	1+3+5+.....(2n+1)
Dany jest ciąg an=		−n
	n+2

Saizou : to mi się udało jak na razie ustalić

pigor: ... widzę, że ostatnio "modna" jest geometria i nie wiem, czy tu było, ale może kogoś zainteresuje (mnie spodobało się bardzo ) takie zadanie (klasa kl I−II L.O , a poziom ? cholera wie) .: Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie A. Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w w punktach C i D. Udowodnij, że kąt CAD jest prosty. . ...

Kejt: Saizou −znajdź trójkąty podobne

Saizou : coś takiego

Kejt: P=94,5cm²?

nikt : pigor nie żartuj To zadanie ze stycznymi jest przecież proste

Kejt: Pigor, powiem Ci, że z tym zadankiem wstrzeliłeś się w 10..muszę się wziąć za dowody geometryczne

nikt : oznaczmy : ∡ACD = α oraz ∡ ADC = β mamy zatem że : ∡SCA = 90 − α = ∡ SAC (jako że ΔSCA jest równoramienny ) na tej samej zasadzie : ∡DAG = 90 − β zatem ∡CAD = α+β z ΔACD : 180^o = α + β + α + β ⇒ α + β = 90 zatem ∡CAD jest prosty

Kejt: psuja.

nikt : :( To może dam takie którego nie potrafię zrobić

Kejt: żebym sobie na treść mogła popatrzeć?

nikt : Może ktoś inny rozwiąże Uzasadnić, że promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny o boku a i kącie wewnętrznym α można

	a		α
wyrazić wzorem : r =		*tg
	2		2

pigor: ... tak o to chodzi Saizou , a dla mnie stało się proste przez co piękne − to do ciebie nikt − dopiero jak wpadłem na pomysł skorzystania z tw. o dwóch kątach (. ...jakich), bardzo rzadko stosowane, takie jest moje odczucie. ...

nikt : Dobra nie było zadania xD Idiota ze mnie i zamiast promień czytam pole XD

pigor: nikt bardzo ładnie to rozwaliłeś , ale ja − przyznaję − tak szybko na to nie wpadłem niestety . ...

nikt : Po prostu miałem szczęście i od razu poszedłem dobrą drogą

Kejt:

	1
Mila a98=		?
	100

Saizou : ja idę spać dokończę to jutro bo na razie mam mały zastój mózgowy dobranoc wszystkim

pigor: . . dopiero jak skorzystałem z tw. o tzw. kącie dopisanym , czyli kącie między styczną a cięciwą (ty o tym nic nie wspomniałeś, ale to się sprowadza do tego samego − tak sie dowodzi to tw.) i tak kąt np. α jest połową kąta środkowego opartego na cięciwie (podstawie Δ równoramiennego) , analogicznie β . ...

Mila: Kejt, obydwa wyniki zgadzają się. Dobranoc, do jutra. Saizou, nie martw się, zadanie jest z(*) z poziomu rozszerzonego. Jutro zrobisz.

Kejt: tak! mam tylko drobny problem z monotonicznością..ale to do jutra Kobranocka

Mila: a_n>0 dla każdego n∊N₊ to zbadaj

an+1
an

nikt : Mila ja zbadałem różnice i też mi ładnie wyszło

Kejt: no właśnie ja też zaczęłam robić przez różnicę..ale nie wiem jak wyjść z:

1+3+5...+n		1+3+5...(2n−1)
	−
n+3		n+2

nikt : Kejt Znasz wzór na sumę ciągu arytmetycznego?

Kejt: no znam..tylko nie do końca wiem w czym ma mi to pomóc..

nikt : to że sumę 1 + 3 + ... + (2n−1) możesz zapisać w bardziej przystępnej formie

Kejt: ach. ok.

Artur_z_miasta_Neptuna: to może na rozluźnienie −−− ile widzisz kwadratów (tylko nie wypisywać ile jakich)

Kejt: hmm..a co mam z tym 2n+1 zrobić?

Kejt: 16?

nikt : a_n = 2n + 1 a₁ = 1 trzeba jeszcze tylko ustalić ile jest wyrazów

Kejt: czyli dobrze myślałam...tylko czy mam wtedy użyć innej niewiadomej? bo tak to mi się n skraca.. wybacz jeśli zadaję głupie pytania..

nikt : Pytanie nigdy nie jest głupie Zawsze możesz uzależnić liczbę wyrazów od n. Weźmy to zadanie : dla n = 1 mamy 2 wyrazy dla n = 2 mamy 3 wyrazy dla n = 3 mamy 4 wyrazy . . . dla n = n mamy

Kejt: n wyrazów..

nikt : żartujesz prawda ?

Kejt: dobra..nie myślę..idę sobie.

nikt : NIE IDZIESZ Do roboty znajdź zależność między n a liczbą wyrazów.

Kejt: ale ja muszę....do babci jadę nie bij, proszę..

nikt : babcia poczeka Teraz masz to skończyć

Kejt: dobra..już widzę błąd.. dla n=n jest n+1 wyrazów..tak?

nikt :

Kejt: na swoje usprawiedliwienie dodam, że nie miałam okularów..

Kejt: dobra..lecę do babci, będę wieczorem, pa

Mila: Ustalenie liczby wyrazów sumy: S=1 +3+5+....(2n+1) kolejne składniki sumy to wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy r=2 a_k=a₁+(k−1)*r (indeks k, aby nie było kolizji oznaczeń) a_k= 1+( k−1)*2=1+2k−2=2k−1 2k−1=2n+1 k=n+1 Jest n+1 wyrazów w sumie S Teraz ustal jak wygląda ogólny wyraz ciągu a_n.

Godzio: Oryginalnie było 1 + ... + (2n − 1), więc jest n wyrazów

Godzio: Można też na chłopski rozum: 1, 2, ..., 2n −− 2n wyrazów, n parzystych i n nieparzystych, dodajemy jedną nieparzystą (lub odejmujemy) i mamy n parzystych i (n + 1) nieparzystych ( (n − 1) nieparzystych )

Vax: To może coś takiego, jakby się ktoś nudził, niech:

|b−a|

b+a

2

|b−a|

b+a

2

f(a,b,c) = |

+

−

|+

+

+

|ab|

ab

c

|ab|

ab

c

	1		1		1
Pokaż, że f(a,b,c) = 4max(		,		,		)
	a		b		c

(Zadanie wbrew temu jak może na początku wyglądać jest całkiem przyjemne )

Godzio:

	|x − y| + x + y
Ponieważ: max(x,y) =		to:
	2

	|b − a|		a + b		2
... = 2max(		+		,		) = ....
	|ab|		ab		c

|b − a|		a + b
	+		= (*)
|ab|		ab

	b − a		a + b		2
(*) =		+		=
	ab		ab		a

	a − b		a + b		2
(*) =		+		=
	ab		ab		b

(tylko takie wartości może przyjąć to wyrażenie), kończąc:

	2		2		2		1		1		1
.... = 2max(		,		,		) = 4max(		,		,		)
	a		b		c		a		b		c

Vax:

	1		1		1
Fajnie, ja to zrobiłem trochę inaczej, podstawiamy a :=		, b :=		, c :=		i
	a		b		c

dostajemy do pokazania: | |a−b|+a+b−2c|+|a−b|+a+b+2c = 4max(a,b,c) (*) Ponieważ a,b są w (*) nierozróżnialne (można by rzec symetryczne), więc możemy bez straty ogólności przyjąć, że a ≥ b, wówczas dostajemy do pokazania:

	|a−c|+a+c
|2a−2c| + 2a+2c = 4max(a,c) ⇔ max(a,c) =
	2

A tutaj wystarczy sprawdzić 2 przypadki, a ≥ c lub a < c

Godzio: Hehe, zrobiłem Vax−owe zadanie Proste, ale liczy się fakt

Vax: To może teraz coś takiego: Wykaż, że jeśli x,y,z są parami różne i spełniają warunek: (x−y)³√1−z³ + (y−z)³√1−x³ + (z−x)³√1−y³ = 0 to (1−x³)(1−y³)(1−z³) = (1−xyz)³ Też fajne

Godzio: Dupa blada, jutro jak wrócę z pracy rano to spróbuje jeszcze pomęczyć Bo teraz nie mam weny

Saizou :

	7*x
P2=
	2

	21(12−x)
P3=
	2

	7*12		84−7x
P1=		−P2=
	2		2

	21(12−x)		7x		84−7x
168=		+		+2*
	2		2		2

336=21(12−x)+7x+2(84−7x) 336=252−21x+7x+168−14x −84=−28x x=3 zatem pole szukanego trójkąta wynosi

	21*9
P=		=94,5 j2
	2

Mila: Saizou, wynik prawidłowy, ale brakuje pośrednich obliczeń, nie dostaniesz za takie rozwiązanie pełnej puli punktów, bo zostawiasz w głowie pewne ważne obliczenia.(wysokość trapezu, podstawy). Kejt podaj wzór ogólny ciągu− wskazówka 15:28. Monotoniczność oblicz tak, jak Nikt i z ilorazu, porównaj te sposoby .

Mila: Nowe zadanie dla Kejt

	1+2+3+.....+2n
Dany jest ciąg an=		, n≥1.
	3n

a) Wykaż, że ciąg a_n jest ciągiem arytmetycznym b) Sprawdź, czy ciąg (a₁, a₇+2,a₄₀+22) jest ciągiem geometrycznym.

Mateusz: To i moze ja coś dorzuce Wykaz ze: 111.....1 − 222....2=333.....3² 2n cyfr n cyfr n cyfr Wskazówka: 111....1=1+10+10²....+10²ⁿ⁻¹ 2n cyfr

Mateusz: Zadanie dla Kejt oczywiscie

Eta:

Mateusz: Witam Eto

Eta: Witam, witam

Saizou : Mila obliczenia mam w zeszycie, ale stwierdziłem że nie będę ich przepisywał, ale jak muszę to: p_t=168 a+b=28 (z warunków wpisanie okręgu w czworobok)

	2*168
r=		=6
	28+28

zauważmy że ΔBCE jest to trójkąt pitagorejski, zatem ma boki 5,12,13, zatem EB=5 następnie ΔADF jest też trójkątem pitagorejskim, zatem ma boki 9,12,15, zatem AF=9 wówczas 28=2a+9+5→a=7 zatem odcinek EF=DC=7 odcinek FB ma długość 12 bo jest sumą odcinka EB i EF oraz DE=12 zatem DB=12√2 (przekątna kwadratu o boku 12) Odcinek AC można obliczyć z tw. pitagorasa dla odcinków AC=?, AE=16, CE=12, zatem lACl²=12²+16²→AC=20 a reszta jak w poście z godziny 19:54

Mila: Teraz za duzo obliczeń. Prezent dla Saizou: Dane są dwa okręgi o promieniach r=10 styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono półprostą k styczną do drugiego okręgu. Oblicz pole obszaru ograniczonego okręgami i pólprostą k.

Saizou : dziękuję Mila za prezent postaram się go rozpakować jak skończę zadanie od Ety

Kejt: ja się już pogubiłam po kolei..

	1+3+5...(2n+1)
an=		−n
	n+2

	1+3+5+...+(2(n+1)+1)		1+3+5+...+(2n+3)
an+1=		−(n+1)=		−n−1
	n+1+2		n+3

S_k=1+3+5+...+(2n+3) r=2 a_k=2n+3 a_k=a₁+(k−1)r => a_k=1+(k−1)2 2n+3=1+(k−1)2 2n+3=1+2k−2 2n+3=2k−1 2k=2n+4 k=n+2 // czyli to jest liczba wyrazów? jeśli tak, to:

	a1+ak
Sk=		*k
	2

	1+2n+3
Sk=		*(n+2)
	2

	2n+4
Sk=		*(n+2)
	2

S_k=(n+2)² czyli, wracając do początku:

	(n+2)2
an+1=		−n−1
	n+3

tak?

Mila:

	1+3+5+.....(2n+1)
an=		−n
	n+2

Ustaliłam, że S=1+3+5+.....(2n+1) to suma (n+1) wyrazów

	1+2n+1
S=		*(n+1)=(n+1)2
	2

	n2+2n+1
an=		−n licz dalej
	n+2

Kejt: czyli a_n+1 się zgadza?

	n2+4n+4		n2+2n+1		1
an+1−an=		−n−1−		−n=...=−
	n+3		n+2		n2+5n+6

to tak ma być, czy się gdzieś walnęłam..?

Mila: Mozna jeszcze prościej, Kejt

	n2+2n+1−n(n+2)		1
an=		=
	n+2		n+2

	1
an+1=
	n+3

a_n>0 dla każdego n∊N₊

an+1		n+2
	=		<1 ciąg malejący
an		n+3

Jutro sprawdzę Twoje obliczenia, w każdym bądź razie też masz ciąg malejący.

Mila: Dobranoc

Kejt: okej, to dobranoc

Saizou : zauważam że trójkąt ABS jest trójkątem prostokątnym o kątach 30,60,90 60 przy kącie ∠ASB zatem

	60		100π
P60=		*100π=
	360		6

	30		100π
P30=		*100π=
	360		12

	10*10√3
PABS=		=50√3
	2

	100π		100π		300π
zatem Pzacieniowane=50√3−		−		=50√3−
	12		6		12

Eta: Widzę Saizou, że nauka nie poszła w las

Saizou : im więcej liczę tym szybciej mi to idzie, ale co do Twojego zadania z kątami w trapezie mi same bzdury wychodzą

Eta: Ejj tam Jutro jak się wyśpisz , to z pewnością dasz radę ( to łatwe zadanko) O tej porze .... myślenie jest spowolnione ( organizm chce spać! Do jutra

Saizou : dobranoc Eto

Mila: No, Saizou liczy niczym komputer.

Saizou : ale ktoś musi program napisać dla komputera

Saizou : ja też mówię wam wszystkim Dobranoc i życzę miłe nocy

Saizou :

Kejt: Zadanie od Mateusza Wykaż, że: 111.....1 − 222....2=333.....3² 2n cyfr n cyfr n cyfr Wskazówka: 111....1=1+10+10²....+10²ⁿ⁻¹ 2n cyfr czyli: 111...1=1+10+10²+...+10ⁿ⁻¹ n cyfr liczę sumę ciągu geometrycznego: S=1+10+10²+...+10²ⁿ⁻¹ q=10

	1−qk
Sk=a1*
	1−q

a_k=a₁*q^k−1 a₁=1 a_k=10²ⁿ⁻¹ 10²ⁿ⁻¹=a₁*q^k−1 10²ⁿ⁻¹=10^k−1 2n−1=k−1 k=2n

	1−102n
Sk=1*
	1−10

	102n−1
Sk=
	9

S=1+10+10²+...+10ⁿ⁻¹ a_k2=10ⁿ⁻¹ 10ⁿ⁻¹=10^k₂−1 n=k₂

	10n−1
Sk2=
	9

czyli równanie ma postać:

102n−1		10n−1		10n−1
	−2*		=9*(		)2
9		9		9

102n−1		102n−2*10n+1		2*10n−2
	=9*		+
9		81		9

102n−1		102n−2*10n+1+2*10n−2
	=
9		9

102n−1		102n−1
	=
9		9

takie rozwiązanie jest poprawne?

Kejt: kurde..błąd w zapisie: wszędzie gdzie jest 10²n powinno być 10²ⁿ

Kejt:

	1+2+3+...+2n
Dany jest ciąg an=		, n≥1
	3n

a) Wykaż, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym b) Sprawdź, czy ciąg (a1, a7+2,a40+22) jest ciągiem geometrycznym. a) jeśli ciąg jest arytmetyczny, to musi spełniać warunek:

	an+1+an−1
an=
	2

	a1+ak
Sk=		*k
	2

a_k=2n a_k=a₁+(k−1)r a_k=1+k−1 a_k=k k=2n

	1+2n		2n+4n62
Sk=		*2n=		=2n2+n
	2		2

	2n2+n		n(2n+1)		2n+1
czyli an=		=		=
	3n		3n		3

	2(n+1)+1		2n+2+1		2n+3
an+1=		=		=
	3		3		3

	2(n−1)+1		2n−2+1		2n−1
an−1=		=		=
	3		3		3

wracając do warunku:

	an+1+an−1
an=
	2

2n+1		2n+3   2n−1   + 3   3
	=
3		2

2n+1		2n+3		2n−1
	=		+
3		6		6

2n+1		4n+2
	=
3		6

2n+1		2n+1
	=
3		3

b)

	2n+1
an=
	3

	2+1
a1=		=1
	3

	14+1
a7+2=		+2=5+2=7
	3

	80+1
a40+22=		+22=27+22=49
	3

jeśli ciąg jest geometryczny to spełni: (a_n)²=a_n−1*a_n+1 czyli: (a₇+2)²=a₁*(a₄₀+22) 7²=1*49 49=49 ciąg jest geometryczny.

b.: taki drobiazg: ja bym napisał zamiast jeśli ciąg jest arytmetyczny, to musi spełniać warunek: np. żeby pokazać że ciąg jest arytmetyczny, wystarczy pokazać, że spełnia warunek: albo nawet jeśli ciąg ma być arytmetyczny, to musi spełniać warunek: zapis ,,jeśli ciąg jest arytmetyczny, to musi spełniać warunek'' może sugerować, że dowodzisz nie tej implikacji co trzeba

Kejt: okej, dziękuję

Mateusz: yhm tak jeszcze dla formalizmu...

1		1
	(10n−1)2= (		(10n−1))2= 333....32
9		3

n cyfr

Mila: Dodając do b a) wystarczyło wykazać, że a_n+1−a_n=const Wtedy znasz różnicę ciągu i jest mniej liczenia. Zaraz dodam dwa zadania.

Mila: zadania dla Kejt 1) Rozwiąż układ równań: x²+y²−2x−4y+1=0 |x−1|−y=0 i oblicz pole jednego z obszarów ograniczonego wykresami tych równań. 2) W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 2, a iloczyn czwartego i pierwszego wyrazu wynosi 1. Wyznacz ten ciąg i oblicz ile wystarczy wziąć początkowych wyrazów tego ciągu, aby ich suma przekroczyła 100.

Mateusz: Jak rozumiem dział nie ma tu znaczenia to i ja coś znów dodam dla Kejt 1) Funkcja kwadratowa f ma różne dodatnie miejsca zerowe a oraz b zatem:

	a+b
a) f(		)<0
	2

b) f(a+b)>0 c) f(−a)<0 d) f(−b)>0 2) Oblicz pole figury opisanej nierównościami: y≤642x, y≥643(x−1), y≥0 3) Parabola o równaniu y= x²−(p−2)x+1 p−dowolna liczba ∊R ma: a) wierzchołek leżący poniżej prostej y=−3 b) miejsca zerowe dla p nienależących do przedziału (0,4)

	p(4−p)
c( oś symetrii x=
	2

	1
d) pierwiastki 2 oraz		dla pewnego p
	2

Kejt:

⎧	x2+y2−2x−4y+1=0
⎩	|x−1|=y

x²+y²−2x−4y+1=0 x²+y²−2x−4y+1+4−4=0 (x−1)²+(y−2)²−4=0 (x−1)²+(y−2)²=4 i mam równanie okręgu o środku w punkcie (1;2) i promieniu r=2 y=|x−1| y=x−1 v y=1−x rozwiązania odczytuję z wykresu:

⎧	x=−1
⎩	y=2	v k{x=1 &y=0}

liczę pole jednego z obszarów ograniczonego wykresami tych równań (zakreskowany na pomarańczowo) korzystając z linii pomocniczych(trójkąt narysowany linią przerywaną, ograniczany przez funkcję y=x−1)

	1		1
Pwycinka koła=		*πr2=		*π*4=π
	4		4

	1
Ptrójkąta=2*2*		=2
	2

P_zakreskowane=π−2

Kejt: poprawka: rozwiązania:

⎧	x=−1
⎩	y=2

v

⎧	x=1
⎩	y=0

v

⎧	x=3
⎩	y=2

Mila: Rysunek − dobrze, pole − dobrze Rozwiąż też algebraicznie, rozwiązania widać na pięknym rysunku.

Eta: Hej ..Kejt jaki ładny rysunek .........

Kejt: dziękuję za jabłuszko również.

Mila: Kejt, jeszcze jedna uwaga: wykres y=|x−1| tylko nad osią OX. Przeoczyłam wcześniej.

Saizou : Mila mogę prosić zadanko za złoty medal Polaków na Igrzyskach w Londynie?

Godzio: Saizou nie jestem zbytnio w temacie, napisz z czego chcesz, coś Ci wrzucę

Saizou : cała kl. pierwsza poziom rozszerzony LO

Godzio: A gdybyś tak bardziej tematycznie, bo już trochę mi się zapomniało co tam się przerabia w pierwszej klasie

Godzio: Dla jakich wartości parametru m układ równań:

⎧	mx − y + 2 = 0
⎩	x − 2|y| + 2 = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczyć to rozwiązanie w zależności od m. To już chyba miałeś

Saizou : np. funkcje liniową, kwadratową, geometrię, początki trygonometrii, wyrażenia algebraiczne

Saizou : tak miałem to: zadania z parametrem

Godzio: Zad. 2 Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których wykres funkcji y = x² + 4x + 3 leży nad prostą y = px + 1. Zad. 3 Dla jakich wartości parametru m funkcja:

	x3
f(x) =
	mx2 + 6x + m

jest określona i rosnąca na całej prostej rzeczywistej. Na razie tyle.

Mila: No,chyba drugi złoty medal będzie. Już piszę

Saizou : to od zadanie nr 1

⎧	y=mx+2
⎩	y=x+22

	2−x
tu wyjdzie że m=
	−2x

lub

⎧	y=mx+2
⎩	y=−x−22

	6+x
a tu m=
	−2m

Godzio: No na razie nic z polecenia nie jest zrobione

Mila: Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległościach 6 i 8 jednostek od końców dłuższego ramienia. Oblicz pole tego trapezu.

Mila: Zadanie2. Parabolę o równaniu y=2x²+3x+1 przecina prosta o równaniu y=x+5 w punktach A i B.

	1		1
Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie C=(−		;−4		)
	2		2

Saizou : to z metody wyznaczników: dla mx−y=−2 x−2y=−2 W=−2m−1 W_x=6 W_y=−2m−2

	6
x=
	−2m−1

	−2m−2
y=
	−2m−1

oraz dla mx−y=−2 x+2y=−2 W=2m−1 W_x=−2 W_y=−2m−2

	−2
x=
	2m−1

	−2m−2
y=
	2m−1

Godzio: To pozostaje pytanie, dla jakiego m mamy jedno rozwiązanie ?

Saizou : wiesz Godzio że trafiłeś na dział przeze mnie znienawidzony

Godzio: No to tym bardziej trzeba robić Ja znienawidziłem prawdopodobieństwo i co ? I na maturze na nim straciłem punkty, trzeba ćwiczyć

Saizou :

−2		6
	=		→m=1
2m−1		−2m−1

−2m−2		−2m−2
	=		→m=0
−2m−1		2m−1

Mila: Błażej, to jest ważny dział i na rozszerzonej maturze zawsze są zadania z parametrami. W Twoim układzie nie napisałeś, że rozważasz dwa przypadki 1) y≥0 2) y<0 to trzeba napisać. Wyznacznik ? oblicz jeszcze raz.

Mila: Ponadto, proponuję, abyś wyznaczył x i y również metodą podstawiania.

Godzio: Popieram Mile

Saizou : dla y≥0 mx−y+2=0→y=mx+2 x−2y+2=0→x=2y−2 x=2(mx+2)−2 x−2mx=4−2 x(1−2m)=2

	2
x=
	1−2m

	2m
y=		+2
	1−2m

	2m+2−4m
y=
	1−2m

	2−2m
y=
	1−2m

dla y<0 mx+y+2=0→y=−mx−2 x+2y+2=0→x=−2y−2 y=−m(−2y−2)−2 y=2my+2m−2 y−2my=2m−2 y(1−2m)=2m−2

	2m−2
y=
	1−2m

	−4m+4
x=		−2
	1−2m

	−4m+4−2+4m
x=
	1−2m

	2
x=
	1−2m

Godzio:

⎧	mx − y + 2 = 0
⎩	x − 2|y| + 2 = 0

Z pierwszego równania: y = mx + 2, wstawiamy do drugiego: x − 2|mx + 2| + 2 = 0

	x + 2		x + 2
|mx + 2| =		, równość ma sens gdy:		≥ 0 ⇒ x ≥ − 2
	2		2

Z definicji wartości bezwzględnej mamy:

	x + 2		x + 2
mx + 2 =		lub mx + 2 = −
	2		2

2mx + 4 = x + 2 lub 2mx + 4 = − x − 2

	2		6
x = −		lub x = −		, przy naszym założeniu musi zachodzić:
	2m − 1		2m + 1

	1		1
m ∊ (−∞,		) U <1,∞) oraz m ∊ (−∞,−		) U <1,∞)
	2		2

A to już widać rozwiązanie, bo w tych przedziałach (a dokładnie części wspólnej) mamy dwa rozwiązania, a tego nie chcemy.

	1
Dla pierwszego: m ∊ <		,1) − w tym przedziale pierwsze rozwiązanie nie istnieje
	2

	1
Dla drugiego: m ∊ <−		,1) − analogicznie, drugie nie istnieje,
	2

	1
W przedziale: <		,1) nie ma żadnych rozwiązań, zatem naszą odpowiedzią jest:
	2

	1		1
m∊<−		,		), pozostaje sprawdzić kiedy te rozwiązania są dokładnie takie same:
	2		2

	2		6
−		= −
	2m − 1		2m + 1

6m − 3 = 2m + 1 4m = 4 m = 1

	1		1
Końcowa odpowiedź: m ∊ <−		,		) U {1}, oczywiście podajemy jeszcze x i y w zależności
	2		2

od m Mam nadzieję, że w miarę wszystko jasne, jak nie to pytaj, starałem się jak najbardziej szczegółowo.

Saizou : dla mnie parametry to zmora, no nic ja już dzisiaj nic nie ruszę bo za późna godzina jak na mnie i dzięki Godzio

Godzio: Dobranoc Jak coś będę jutro wieczorem to zobaczę co tam porobiłeś, przeanalizuj to zadanie, ta wartość bezwzględna mocno je utrudnia

Saizou : zad. 2 x²+4x+3>px+1 x²+x(4−p)+2>0 Δ=(4−p)²−4*2*1<0 Δ=p²−8p+8<0 √Δ=4√2 p₁=4−2√2 p₂=4+2√2 zatem p∊(4−2√2:4+2√2) a czy zadanie 3 nie trąca o funkcje wymierną

Mila: Saizou, przez szacunek dla Godzia nie wtrącam się do zadań, które Ci podał. Zrób teraz te które wczoraj ja Ci przedstawiłam. Przyjdzie Godzio, to wyjaśnicie zadania.

rumpek: Korzystając z rysunku i własności podanych na nim, wykaż, że a + b = x, czyli: |BC| = |AC| = |AB| = |AE| + |AD|

Godzio: Zad. 2 − ok, Zad. 3 − odpuść sobie, dużo wiedzy z wymiernej nie trzeba, ale jest trochę za trudne, a wyglądało na proste

Maslanek: W zadaniu 3 przy końcu trzeba by rozważyć parę przypadków?

Saizou : a+c=b+d

	2P
r=
	2(a+c)

P=r(a+c) P=r(2r+c) wiedząc że c jest przeciwprostokątną trójkąta 6,8,c to c=10 (trójkąt pitagorejski)

	6*8
Ptrójkąta=		=24
	2

	r*10
24=		→r=4,8
	2

P_trapezu=4,8(2*4,8+10)=94,08

Eta:

Mila: Dzięki Eta, za sprawdzenie zadania Saizou..Nie mogłam wcześniej wejść na forum.

Eta: Witaj Mila

Mila: Witam ciepło.

Saizou : najpierw obliczę punkty przecięcia się prostej y=x+5 z parabolą y=2x²+3x+1 x+5=2x²+3x+1 0=x²+x−2 Δ=1+8=9 √Δ=3 x₁=−2 x₂=1 dla x₁=−2 y₁=−2+5=3 dla x₂=1 y₁=1+5=6 IABI jest to przekątna kwadratu o boku 3 więc ma długość 3√3 h√2=9 (z zależności w trójkącie 45,45,90) h=4,5√2, albo z funkcji trygonometrycznej

	h
sin45=
	9

√2		h
	=
2		9

4,5√2=h

	4,5√2*3√2
zatem pole trójkąta ABC=		=13,5 j2
	2

Mila: OK− z parabolą, prostą.

Kejt: zadanie 2 od Mili:

	1		1
a1=1 i r=0 v a1=		v r=
	2		2

wystarczy 100 v 19 wyrazów (w zależności od poprzedniego rozwiązania). zadania od Mateusza: 1) nie byłam w stanie tego określić. 3) b. pełne rozwiązania wrzucę jutro..

Kejt: 2.

⎧	a1+a3=2
⎩	a4 * a1=1

a₂=a₁+r a₃=a₁+2r a₄=a₁+3r

⎧	a1+a1+2r=2
⎩	a1(a1+3r)=1

k{2a₁+2r=2 /:2 &(a₁)²+3a₁r=1 a₁+r=1 => a₁=1−r (1−r)²+3(1−r)*r=1 1−2r+r²+3r−3r²=1 −2r²+r+1=1 r(−2r+1)=0 r=0 v −2r+1=0 2r=1

	1
r=
	2

	1
a1=1−r => a1=1 v a1=
	2

1^o

⎧	r=0
⎩	a1=1

v 2^o

⎧	r=1/2
⎩	a1=1/2

założenie: n≥1

	a1+an
Sn=		*n
	2

a_n=a₁+(n−1)r 1^o

	1+1+(n−1)0
Sn=		*n
	2

S_n=100 n=100 2^o

	1   1   1   + +(n−1)* 2   2   2
Sn=		*n
	2

	1   1   1+ n−   2   2
100=		*n
	2

	1		1
100=U{		+		n}{2*n
	2		2

	1		1
100=(		+		n)n
	4		4

	1		1
100=		n+		n2
	4		4

n²+n−400=0 Δ=1601

	1
n1=		(−1−√1601) −−> nie spełnia założenia
	2

	1		1
n2=		(p{1601−1)≈		*38=19
	2		2

dobrze?

banan:

	98
a w tym ciagu z początku, to nie powinno być przypadkiem a98=−		?
	100

Mila: Kejt, zadanie 2 (z ciągiem) dobrze, ale należy wziąć 20 wyrazów

	1
Banan, jeśli chodzi o moje zadanie z ciągiem to an=
	n+2

	1
a98=
	100

sara: w tabeli podano wartości ergetyczne 100−gramowej porcji śmietany 22% i śmietany 12% oraz masy niektórych ich skladnikow śmietana 22%: wartość energetyczna 921 kJ (220 kcal) białko 2,2 g węglowodany 3,4g tłuszcz 22g śietana 12% wart. energetyczna 568 kJ (136kcal) białko 2,9g węglowodany 4g tłuszcz 12g a) jaka jest wartość energetyczna 75g śmietany 22% i 50g śmie+tany 12% b) jaka jest zawartość procentowa białka oraz węglowodanów w 200g każdej smietany?

sara: mógłby mi to ktoś wytłumaczyć i pomógł zrobić proszę

Kronos: Witam. Bardzo proszę o rozwiązania do tych zadań, bo muszę się nauczyć do poprawy, a mam nie ciekawą sytuację z matematyki. Dobrze by było gdyby wszystkie było rozwiązane, ale będę się czieszył nawet z jednego. http://scr.hu/0k3o/t07n3

aniabb: https://matematykaszkolna.pl/forum/205076.html

matipio: Witam. Bardzo prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tych zadanek. http://img7.imageshack.us/img7/544/20130305221520matma.jpg Na prawdę bardzo ich potrzebuję.

5-latek : KOlego. Miej szacunek dla innych i dawaj te zadania po kolei na forum przepisane . Nikt tego nie bedzie tyle razy otwieral i przewijal.

Janek191: Np. z.2 A) x² − 4 x + 4 = ( x − 2)²

x2 + 2x + 1		1
	=		x ≠ 2
x2 − 4 x + 4		4

Mnożymy na krzyż 4*( x² + 2 x + 1) = 1*( x² − 4 x + 4) 4 x² + 8 x +4 = x² − 4 x + 4 3 x² + 12 x = 0 3x *( x + 4) = 0 x = 0 ∨ x + 4 = 0 Odp. x = 0 ∨ x = − 4 ====================

matipio: 1.Doprowadź do najprostszej postaci:

	5		1		20 − 10a		25
(		−		*		) /
	a2 − 2a − ax + 2x		8 − 8a +2a2		x − 2		x3 − 8

matipio: 2. Rozwiąż równania i nierówności

	x2 + 2x +1		1
A)		=
	x2 −4x +4		4

matipio: 2. Rozwiąż równania i nierówności

	X		1
B)		>
	x + 5		3

6-latek: wstaw to w nowym temacie a nie robisz syf w temacie maturalnym...

matipio: 2. Rozwiąż równania i nierówności

	x2 − 10x +25
C)		>= 0
	4x +5

6-latek: nie rozumiesz

matipio: Ok. Przepraszam, ale to forum jest niezbyt czytelne, jeśli chodzi o tematy. Nawet nie wiedziałem, że są tutaj tematy.... Zaraz postaram się to wpisać w opcji "dodaj nowe zadanie".

matipio: Mam je dodawać wszystkie osobno, czy wszystkie razem? Przepraszam, że w tym miejscu się o to pytam, ale nie ogarniam tego forum, ma jakąś dziwną konstrukcję...