zadania Saizou : to może jakieś zadanko na późne przedpołudnie

Saizou : poziom rozszerzony kl I LO

Artur_z_miasta_Neptuna: Saizou −−− Ty jesteś chyba jakiś niewyżyty

Artur_z_miasta_Neptuna: Krzysiek zaraz wrzuci swoje zadania (patrz jego temat) ... to będziesz miał

Saizou : trochę, trzeba się dokształcić żeby dobrze napisać maturę za 2 lata im wcześniej się zacznie naukę tym więcej zadań się przeliczy i będzie się miało większą wiedzę

Mila: Sześcian o krawędzi 10 cm pomalowano na czerwono a następnie rozcięto na sześcianiki jednostkowe. Oblicz ile sześcianików ma pomalowane na czerwono: a) 3 scianki b) 2 ścianki c) jedną ściankę.

AS: 1. Rozwiązać układ równań

x*y		12		y*z		18		z*x		36
	=		,		=		,		=
x + y		5		y + z		5		z + x		13

2. Uprość wyrażenie (a + b − c)³ + (b + c − a)³ + (c + a − b)³ − (a + b + c)³ 3. Zbudować konstrukcyjnie trójkąt, mając dane jego obwód i dwa kąty wewnętrzne.

Saizou : yyy co to jest sześcian jednostkowy

picia: mysle ze 1x1x1

Mila: Sześcian o krawędzi 1cm.

Patryk: a) 8 ?

Saizou : wszystkich sześcianów jednostkowych jest v=10*10*10=1000 zauważmy, że dwie ściany pomalowane będzie miał sześcian który jest stworzony ze styku ścian: zatem −na przedniej ścianie jest ich:32 − na ścianie z tyłu : 32 − na prawej 16 − na lewej 16 −na górnej 0 na dolnej 0 , wówczas sześcianów pomalowanych na dwóch stron jest 96 pomalowanych z jednej strony będzie: 8*8*6=384 a pomalowanych z trzech stron będzie 8

Mila: a) 8 (wierzchołkowe sześcianiki) b) 12*8=96 ( na każdej krawędzi 8) c) 6*(8*8)=384 Bardzo ładnie, Błażej(?) jesteś myślącym licealistą.

Saizou : o widzę że się po troszku sławny staję na tym forum zadanie było proste jak ktoś ma dobre wyobrażenie przestrzenne

Saizou : układ równań ma rozwiązanie: x=4 y=6 z=9

Saizou : a uproszczenie to: −24abc

Saizou : to co ciąg dalszy zmagań

AS: 1. Wykazać,że jeśli a,b,c są miarami boków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c, to równanie x² − 2*(a² + b²) + c⁴ = 0 ma tylko jeden pierwiastek podwójny. 2. Wykazać,że jeżeli a,b,c są miarami boków trójkąta rozwartokątnego w którym c leży naprzeciw kąta rozwartego,to równanie x² − 2*c*x + a² + b² = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie. 3. Ile wynosi iloczyn pierwiastków równania dwukwadratowego a*x⁴ + b*x² + c = 0 w którym b² − 4*a*c > 0.

Saizou : w tym pierwszym dochodzę do momentu x²−c²(2+c²)=0 i dalej nie wiem co mam zrobić, może jakaś podpowiedź

Saizou : x²=c²(2+x²) lxl=c√2+x² zatem równanie ma jeden pierwiastek podwójny

Saizou : 3/ t=x², t∊C at²+bt+c=0 zatem że delta jest większa od zera możemy zastosować wzory Viete'a

	c
t1*t2=
	a

wówczas

	c
x12*x22=
	a

	c		c
x1*x2=√		, gdzie		>0
	a		a

Saizou : a do drugiego może jakaś podpowiedź

Eta: Hej Saizou Odpuść sobie zad.2 rozwiążesz go jak przerobisz ciągi

Eta: Zaraz Ci napiszę parę innych zadań chcesz?

Saizou : Witam Panią oczywiście Eto

Eta: zad 1/ Wykaż,że ostatnią cyfrą liczby 4⁷⁶⁰+2²⁰¹² jest 0 zad2/W trapezie ABCD , gdzie podstawy a= |AB| , b= |CD| i wysokość h= |DF| przedłużono ramiona, które przecięły się w punkcie E Wyznacz pole trójkąta DEC zad3/ Dany jest trapez ABCD ( AB II CD). Wiedząc,że |AD|= |DC| i |AC|= BC| i |AD|= |DC|+|BC| Wyznacz miary kątów tego trapezu zad 4/ W trójkącie równoramiennym o podstawie a i ramionach b Kąt między ramionami ma miarę 20^o Wykaż, że długości boków spełniają równość a³+b ³= 3ab² Powodzenia

rumpek:

Eta: O co biega? .... rumpek

rumpek: aaa nic

Eta:

nikt : 2/

	b2h
P =		?
	2(a−b)

Eta: 2/ gitara

nikt : Nawet kartki nie musiałem wyjąć Rzeczywiście proste zadanie

Saizou : a ja siedzę nadal nad pierwszym i dochodzę do momentu 2¹⁵²⁰+2²⁰¹²=2¹⁵²⁰(1+2⁴⁹²)

Eta: Kurczę tam ma być [C [8]]⁶⁷⁰ ( sorry

Eta: 8⁶⁷⁰

nikt :

Eta:

Saizou : to tera to robi się proste: 8⁶⁷⁰+2²⁰¹²=2²⁰¹⁰+2²⁰¹²=2²⁰¹⁰(1+2²)=2²⁰¹⁰*5 2²⁰¹⁰ jest zawsze parzyste, a iloczyn liczby parzystej z liczbą 5 ma zawsze na miejscu jedności 0 cnu

Eta:

Eta: Krótko mówiąc i elegancko Taka liczba jest podzielna przez 10

Eta: @nikt możesz dawać zad,4/

nikt : mogę zrobić ?

Eta: Możesz

nikt : Próbuję

Eta: Słone? czy słodkie? ....

nikt : Nie mam żadnego punktu zaczepienia Czekam na Saizou

Eta:

Eta: To wbij haczyk w ścianę

Saizou : jestem na razie na drugim, ale gdzieś błąd popełniłem i go szukam

Saizou : wnerwiłem się i nie rysuję, bo coś idzie nie tak

ax		(a+b)h		(x−h)b
	=		+
2		2		2

	ah
x=
	a−b

	ah		bh
x−h=		−h=
	a−b		a−b

	bh   *b a−b		bh2
zatem PCDE=		=
	2		2(a−b)

Saizou : z zadanie 3 jest coś nie tak bo Wiedząc,że |AD|= |DC| i |AC|= BC| i |AD|= |DC|+|BC| jest nie do wykonania

Eta: Ech chochlik |AB| = |DC|+|BC|

nikt : Chyba zrobiłem 4 xD

nikt : Mam wrzucać to "coś" ?

Eta: Możesz, bo Saizou jest dopiero w 1 LO

Saizou : dajcie mi szanse

nikt : ale tylko proszę mnie nie wyśmiać Rysunek chyba jest zbędny

nikt :

Eta: Ok......... nikt poczekaj na Saizou

nikt : ale moje rozwiązanie jest strasznie naciągane

Saizou : to zajmę się 4 a trzecie zrobię później

Eta: Nie ma rozwiązań "naciąganych" !

nikt : Cholercia Nie mam rozwiązania Za to policzyłem wartość sin10^o

Eta:

Saizou : ja próbowałem przyrównać pola

nikt : MAM Teraz to już nawet nie jest naciągany Nie potrzebnie liczyłem wzorami Cardano

Eta:

nikt : Ja idę na jakieś 30 min z forum

Saizou : poddaje się, nie mam pomysłu co do zadanie 4

nikt : pisać czwarte czy jeszcze chcesz popróbować?

Saizou : nie ja się poddaje

Eta: 1 sposób

	a		1
sin10o=				= sin30o= sin(3*10o)
	2b		2

korzystam ze wzoru sin3α= 3sinα− 4sin³α

	1		a		a3
zatem :		= 3*		−4*		/* 2b3
	2		2b		8b3

b³= 3ab²− a³ ⇒ a³+b³=3ab² c.n.u Miłych snów

Saizou : Miłych snów Eto

nikt : Ja zrobiłem tak : a³ + b³ = 3ab² inaczej : a³ − 3ab² + b³ = 0

	b		b
1 − 3(		)2 + (		)3 = 0
	a		a

Teraz przejdźmy do dowodu. Zauważmy że z twierdzenia sinusów mamy że :

b		sin80o		2 * sin10o * cos10o
	=		=		=
a		sin20o		2 * sin10o * sin20o

	1
	2sin10o

zatem wystarczy wykazać że :

	1		1
1 − 3*(		)2 + (		)3 = 0
	2sin10o		2sin10o

Istotnie :

	6		1
1 −		+		= 0
	8sin210o		8sin310o

8sin³ 10^o − 6sin10^o + 1 = 0 teraz korzystamy ze wzoru na sinus kąta potrójnego : sin3x = 3sinx − 4sin³x i mamy że : −2(−4sin³ 10^o + 3sin10^o) + 1 = 0 −2 * sin30^o + 1 = 0 −1 + 1 = 0 0 = 0 c.k.d.

Eta:

nikt : ale mogę tak o sobie przekształcać to co mam udowodnić ?

rumpek: jeżeli dochodzisz do prawdy do tak (w tym przypadku 0 = 0) L = P, lecz są przypadki, gdy jest to zabronione ale tu wygląda

rumpek: do = to*

Eta:

Vax: Po prostu jeżeli przekształcasz równoważnie to możesz.

nikt : Bardzo interesujące zadanko moim zdaniem Takie nietypowe

Vax: Jak ktoś chce, to mam pod ręką takie fajne zadanko: Wykaż, że jeżeli dla pewnych ustalonych a,b,c ∊ ℛ zachodzi: |ax+by+cz| + |bx+cy+az| + |cx+ay+bz| = |x|+|y|+|z| Dla dowolnych x,y,z ∊ ℛ, to dwie spośród a,b,c są równe 0, a trzecia jest równa ± 1.

AS: 1. Wykazać,że jeśli a,b,c są miarami boków trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej c, to równanie x² − 2*(a² + b²)*x + c⁴ = 0 ma tylko jeden pierwiastek podwójny. 2. Wykazać,że jeżeli a,b,c są miarami boków trójkąta rozwartokątnego w którym c leży naprzeciw kąta rozwartego,to równanie x² − 2*c*x + a² + b² = 0 ma dwa pierwiastki dodatnie. Zad. 1 Ponieważ z warunków zadania wiemy,że mowa jest o trójkącie prostokątnym to a² + b² = c² i nasze równanie ma postać x² − 2*c²*x + c⁴ = 0 Δ = 4*c⁴ − 4*c⁴ = 0 Wniosek: istnieje jeden pierwiastek podwójny Uwaga: w temacie pierwotnym zabrakło x − pardon. Zad. 2 Δ = 4*c² − 4*(a² + b²) = 4*(c² − (a² + b²)) > 0 gdyż c² > a² + b²

AS: 1. Wykreślić konstrukcyjnie trzy okręgi wzajemnie styczne znając położenie ich środków .(tzn.znane są ich odległości p,q,r) 2. Dowieść,że jeżeli

	(p − b)*(p − c)		(p − c)*(p − a)
x2 =		, y2 =
	p*(p − a)		p*(p − b)

	(p − a)*(p − b)
z2 =
	p*(p − c)

gdzie 2p = a + b + c to x*y + y*z + z*x = 1

	n4		n3		n2
3. Wykaż,że wyrażenie		+		+
	4		2		4

jest dla każdego całkowitego n kwadratem liczby całkowitej.

Kejt: sępię się na te zadanka.. mogę się jakimś poczęstować?

Eta: zad3/ jest banalne Dawaj Kejt ten dowód

Mila: Kejt, chyba na obiedzie. Eto, gdzie nasza Basia, czy wiosłuje w Londynie?

Godzio: Vax, coś w tę stronę ? |ax+by+cz| + |bx+cy+az| + |cx+ay+bz| = |x|+|y|+|z| |ax+by+cz| + |bx+cy+az| + |cx+ay+bz| ≤ |ax| + |by| + |cz| + |bx| + |cy| + |az| + |cx| + |ay|+ |bz| = = (|a| + |b| + |c|)(|x| + |y| + |z|), zatem: |x|+|y|+|z| ≤ (|a| + |b| + |c|)(|x| + |y| + |z|) ⇒ |a| + |b| + |c| ≥ 1

lisa: Vax : Jest tylko jeden mały problem (nie żebym się czepiała) : jeżeli x=y=z, to a=b=c= 1/3 też spełniają warunki zadania. To byłby kontrprzykład.

Vax:

	1
Ale to ma zachodzić dla wszystkich rzeczywistych x, dla a=b=c=		łatwo podać taką
	3

trójkę (x,y,z), że to nie zachodzi

Vax: rzeczywistych x,y,z*

Vax: rzeczywistych x,y,z*

Vax: Godzio, raczej radziłbym w tym zadaniu posprawdzać co się dzieje dla jakichś szczególnych trójek (x,y,z), np dla x=y=z, albo x=y=0 itd Jbc jutro po południu postaram się wrzucić dowód tego.

Godzio: No to nie mam pomysłu Takie wstawianie ? Dziwne, no nic, ja lecę spać

lisa: Ok, rzeczywiście "dla dowolnych" ...(chyba za dużo zadanek na dziś rozwiązałam i już nie rozumiem co czytam) No cóż Nie wrzucaj jeszcze tego dowodu, to pobawię się tym trochę jutro.

AS: Widzę,że zadania konstrukcyjne nie cieszą się powodzeniem. A szkoda.Każde z nich wymaga odrębnego podejścia. Podaję szkic rozwiązania Zadanie 1 Zbudować konstrukcyjnie trójkąt, mając dane jego obwód i dwa kąty wewnętrzne. Zacząć trzeba od analizy zadania Niech ΔABC będzie tym poszukiwanym. Na prostej p odkładam odcinki AD = AC , BE = BC. Wtedy odcinek DE jest obwodem naszego trójkąta. Trójkąty DAC i BEC są równoramienne mające po dwa kąty równe <1 + <1 + 180 − α = 180 => <1 = α/2 <2 + <2 + 180 − β = 180 => <2 = β/2 Rozwiązanie 1. Na prostej p odkładam odcinek DE = obwodowi trójkąta. 2. Wykonuję konstrukcje podziału kątów α i β na połowy. 3. Przy punkcie D odkładam kąt 1 = α/2 a przy punkcie E kąt 2 = β/2 4. Przedłużenia ramion tych kątów wyznaczą punkt C 5. Przy boku DC odkładam kąt α/2 , jego ramię wyznaczy punkt A 6. Przy boku CE odkładam kąt β/2 , jego ramię wyznaczy punkt B W ten sposób wyznaczyłem szukany trójkat.Są 4 rozwiązania Zadanie 2 Wykreślić konstrukcyjnie trzy okręgi wzajemnie styczne znając położenie ich środków . (tzn.znane są ich odległości p,q,r) Oznaczając szukane okręgi przez O1(A,r1) , O2(B,r2) , O3(C,r3) mamy r1 + r2 = p , r2 + r3 = q , r1 + r3 = r Rozwiązując ten układ równań,znajdziemy r1 = 1/2(p + r − q) , r2 = 1/2(p + q − r) , r3 = 1/2(q + r − p) Wystarczy teraz na prostej odłożyć kolejno odcinki p i r , umniejszyć o q i wziąć połowę tego odcinka,by otrzymać r1 Analogicznie znajdziemy promienie r2 i r3

Eta: @ Saizou Czekam na rozwiązanie zad.3/ ......... z kątami trapezu

Saizou : całkowicie o nim zapomniałem Eto

Saizou : na razie mam rysunek

Eta: I pięknie

Saizou : β=180−α 180−2(180−α)=180−360+2α=−180+2α 180−α+180−α=360−2α

Eta: A teraz ? .........

Saizou : α=36 4α=144 2α=72 ∠D =180−72=108

Eta: No wreszcie! ......

Eta: zad4/ Wiedząc,że a, b>0 i a²+b²= 6ab wyznacz wartość:

	a+b
		=....
	a−b

Saizou : bo ubzdurałem sobie że kąt alfa powinien być tam gdzie go zaznaczyłem

Eta:

Saizou : teraz jestem trochę zajęty ale jak znajdę czas to to postaram się zrobić

Saizou : a²+b²=6ab (a−b)²=√4ab la−bl=2√ab tu mam pytanie, trzeba rozpatrzeć 2 przypadki (a+b)²=8ab la+bl=√8ab a+b=√8ab

Saizou : dla la−bl nieujemnego:

√2*√4ab
	=√2
√4ab

dla la−bl ujemnego:

√2*√4ab
	=−√2
−√4ab

rumpek: Saizou 151917 zostawiłem tu dla Ciebie dowodzik tam z tym trójkątem (koniec postów)

Saizou : a prosta k przechodzi przez środek boku

rumpek: nie

Saizou : czyli inaczej mówiąc mam wykazać, że AE=DC, bo z tego wyniknie że AD+AE=CD

rumpek: nie utrudniaj sobie

Godzio: To ja dodam zadanie. Może się przebije w tym natłoku Zad. 1 Wyznacz długości boków a,b,c trójkąta mająca dane środkowe: s₁,s₂,s₃.

Saizou : Korzystając z rysunku i własności podanych na nim, wykaż, że a + b = x, czyli: |BC| = |AC| = |AB| = |AE| + |AD|

Saizou : Godzio niestety ale musisz poczekać, bo jeszcze zadanie od Mili muszę zrobić

Godzio: Wiem wiem Ja dopiero będę w poniedziałek wieczorem. Do tego czasu chyba już będzie.

Saizou : ja idę spać bo dzisiaj to już nic nie wymyślę Miłej nocy wszystkim

Eta: Dobranoc

Mila: Dobranoc

Saizou : jakaś podpowiedź do trójkąta