równania wielomianowe - pomocy Jarek: Witam. Mam problem z równaniami wielomianowymi, grozi mi przez to poprawka w sierpniu, proszę o pomoc w rozwiązaniu kilku zadań tak, żebym wiedział co się z tym robi. a) (x²+2x)²−x²=0 b) (x³−5)²−36=0 c) x⁴−(3x²+2)²=0 Próbując to rozwiązać wychodzą mi wyniki, niezgodne z odpowiedziami. To tylko trzy przykłady zadań, których nie potrafię poprawnie rozwiązać. Bardzo proszę o pomoc.

Artur_z_miasta_Neptuna: a) (x² + 2x)² − x² = 0 ((x² + 2x) − x)((x² + 2x) + x) = 0 (x² + x)(x² + 3x) = 0 x(x+1)x(x+3) = 0 x²(x+1)(x+3) = 0 czyli: x= 0 ⋁ x = −1 ⋁ x= −3 analogicznie następne ... wykorzystujesz wzór skróconego mnożenia: a² − b² = (a−b)(a+b)

Jarek: Dziękuję za szybką odpowidź, nie pomyślałem żeby wykorzystać ten wzór skróconego mnożenia. Teraz już wiem o co chodzi w tym typie zadać. Dziękuję! Teraz pytanie co należy wykonać w zadaniach typu: x⁵+4x³−x²−4=0 lub x⁴−3x³−14x²−20x−24=0

Artur_z_miasta_Neptuna: zauważasz pewne podobieństwa pomiedzy grupami (pierwszymi dwoma członami oraz nastepną dwójką) x⁵ + 4x³ = x²(x²+4) ... prawda −x²−4 = −(x²+4) .... prawda grupowanie wyrazów: x²(x²+4) −(x²+4) = (x² + (−1))*(x²+4) = (x²−1)(x²+4) = (x−1)(x+1)(x²+4) czyli x=1⋁ x=−1

Artur_z_miasta_Neptuna: takie 'grupowanie' łatwo zauważyć przy parzystej liczbie czynników ... ale nie zawsze ona występuje tak 'wprost'

Artur_z_miasta_Neptuna: można też spróbować wyszukać CAŁKOWITYCH pierwiastków danego wielomianu. jak ich się szuka? Patrzy się na element wolny (czyli liczbę 'bez x') w tym przypadku '−4'. Pierwiastki (całkowite) tego wielomianu to będą DZIELNIKI tejże liczby (ze znakami ⁺/₋) czyli (−4, −2, −1, 1, 2, 4) wyliczasz wartość wielomianu od tych właśnie liczb i sprawdzasz czy się nie zeruje (zawsze ale to zawsze sprawdzanie zaczyna się od podstawienia +1 i −1 −−− 'bo najłatwiej i najszybciej') co później? Dzielimy wielomiany Najlepiej schematem Hornera: https://matematykaszkolna.pl/strona/1401.html tą procedurę przetestuj na przykładzie drugim: x⁴−3x³−14x²−20x−24=0

Jarek: W tym pierwszym przykładzie powinno chyba być x⁵+4x³=x³(x²+4) Nie mam pojęcia jakim cudem wyszło x=1 v x=−1

Artur_z_miasta_Neptuna: fakt ... x³ x² − 1 .... a² − b² = (a−b)(a+b)

Jarek: Metody Homera w szkole nie przrabialiśmy niestety

Artur_z_miasta_Neptuna: ale będzie wtedy x³ − 1 = (x−1)(x² + x + 1) .... czyli TYLKO X=1

Artur_z_miasta_Neptuna: dobra ... to nie dziel ... znajdziesz pierwiastek w drugim przykładzie (jest to chociażby x=−2) i wiemy, że W(x) = P(X)*(x+2) rozpisuję tak, aby móc 'wyłączyć przed nawias człon (x+2) x⁴−3x³−14x²−20x−24= x⁴ + 2x³ − 5x³ − 10 x² − 4x² − 8x − 12x − 24 = (x+2)(x³ − 5x² − 4x − 12) znowu szukam pierwiastka (tym razem dla (x³ − 5x² − 4x − 12) ) jest to x=6 ... czyli dążę do (x−6) (x+2)(x³ − 5x² − 4x − 12) = (x+2)(x³ − 6x² + x² − 6x + 2x − 12) = (x+2)(x−6)(x²+x+2) czyli: x=−2 ⋁ x = 6

Jarek: Zaraz wychodzi mi (x³−1)(x²+4)=0 => x³=1 => x=1 v x²+4=0 => x²=−4 => x=2

Jarek: dobra już wiem, nie istnieje taka liczba, która podniesiona do kwadratu daję wynik ujemny

Artur_z_miasta_Neptuna: no własnie

Jarek: a zkąd wiemy w drugim przykładzie, że pierwiastek wielomianu jest równy x=−2 ?

Artur_z_miasta_Neptuna: podstaw za 'x' '−2' do wielomianu i sprawdź czy się zeruje. przeczytaj 12:16

Jarek: nie rozumiem jak działa ta metoda z rozbijaniem równania

Jarek: dobra już zrozumiałem o co chodzi, teraz tylko jak się rozwiązuje równania, w których są 3 współczynniki? np: x⁶−26x³−27=0

Artur_z_miasta_Neptuna: tak samo jak poprzedni przykład ... od razu widać że pierwiastkiem będzie '−1' (bo (−1)⁶ − 26*(−1)³ −27 = 1 + 26 − 27 = 0) inny sposób rozwiązania (w tego typu równaniach) −−−− podstawienie: s= x³ ... warunek jakie może wartości przyjmowac s (w tym przypadku s∊R, ale gdyby bylo s=x² to musi być s>0) i otrzymujesz: s² − 26s − 27 = 0 i albo wyliczasz Δ, albo grupujesz i widzisz: (s+1)(s−27) = 0 s=−1 ⋁ s = 27 czyli: x³ = −1 ⋁ x³ = 27 x = −1 ⋁ x = 3

Jarek: drugi sposób wydaje się być prostszy, zaraz zobaczę na innym przykładzie

Jarek: a teraz mam zagwozdkę z zadaniem x³+x−2=0

Jarek: zrobiłem tak: x(x²+1)−2=0 x²=−1 v x=2 x=2 W odpowiedziach jest, że x=1

Artur_z_miasta_Neptuna: a co Ty najlepszego zrobiłeś ? co przyrównujesz do zera i niby dlaczego?

Jarek: mam wielomian x³+x−2=0 i chciałem go jakoś rozłożyć, ale nie mam pojęcia co z nim zrobić

Artur_z_miasta_Neptuna: pierwiastek podstawiając x=1 wielomian Ci się 'zeruje' więc W(x) = (x−1)*P(x) x³ −x² + ...... = x²(x−1) + ..... x³ −x² + x² + .... −−−−− aby −x² + x² = 0 (bo nie ma tego członu) x³ −x² + x² − x + ..... = x²(x−1) + x(x−1) + .... x³ −x² + x² − x + 2x + .... −−−− aby −x + 2x = x (bo tyle było w wyjściowej wersji W(x)) x³ −x² + x² − x + 2x − 2 = x²(x−1) + x(x−1) + 2(x−1) = (x−1)(x²+x+2)

Artur_z_miasta_Neptuna: inaczej juz nie dam rady wyjaśnić 'procedury' przez internet

pigor: robisz np. tak : x³+x−2=0 ⇔ x³−1+x−1=0 ⇔ (x−1)(x²+x+1) +1(x−1)=0 ⇔ ⇔ (x−1)(x²+x+1+1)=0 ⇔ x−1=0 ∨ x²+x+2=0 ⇔ x=1 ∨ x∊∅, bo Δ=−7<0 ⇔ ⇔ x∊{1} − szukany − tu jedyny − pierwiastek R danego równania . ...

Basiek: Wybaczcie, że się tak wtrącę... dzielenie wielomianów "w słupku" obowiązuje na podstawie?

Artur_z_miasta_Neptuna: Basiek −−− chyba nie skoro było to 'na matmie' na 1 roku studiów politechniki

Basiek: No cóż.... tego nie było, tamtego nie było i wychodzi na to, że z najprostszego wielomianu robi się zadanie niemal nie do rozwiązania.... Najprościej byłoby znaleźć za pomocą tw. o pierwiastkach wymiernych jakiś pierw. potem Horner, a skoro już naprawdę nie było− to w słupku. No i wtedy takie podstawy. Ale tak to nic tylko rozkład. No i mamy trudne zadanie.

Jarek: albo jestem głupi, albo to zadanie jest chore 2x³ + 7x²+7x+2=0 zrobiłem tak: x(2x²+7x+7)+2=0 x+2=0 => x=−2 2x²+7x+7=0 Δ<0 ale w odpowiedziach powinno wyjść coś innego, co robię źle?

Basiek: To jest wow... innowacyjna metoda, aczkolwiek źle. Chyba nie zrozumiałeś... metoda polega na tym, że masz ileś tam nawiasów, które po przemnożeniu przez siebie dadzą Ci postać początkową...., żeby tak zrobić musisz mieć TAKĄ samą część, którą wyłączasz przed nawias... może coś pomoże: http://nakrecenieksperci.pl/matura/video/play,5382473381427941617,Rozklad-wielomianu-na-czynniki-metoda-grupowania-wyrazow-I-cz.html

Basiek: No nie, kiedyś to było za darmo. http://www.e-zadania.pl/liceum/wielomiany/rozklad-wielomianu-na-czynniki/video,8,rozloz-podany-wielomian-na-czynniki-metoda-grupowania-wyrazow-.html Chociaż z pewnością mniej łopatologicznie. Powodzenia, ja znikam.

Jarek: metodą grupowania mi to nie wychodzi

Jarek: Pomocy... Do poniedziałku muszę umieć cały dział wielomianów, inaczej będę musiał do sierpnia nauczyć się całego drugiego semestru

Artur_z_miasta_Neptuna: Ty przedewszystkim nie robisz METODĄ GRUPOWANIA zapis: x(2x²+7x+7)+2=0 NIC CI NIE DAJE i nie jest to metoda grupowania musisz tak robić aby mieć: coś*(abra + cabra) − inne coś*(abra + cabra) = 0 a wtedy masz: (coś − inne coś)*(abra + cabra) = 0

Jarek: ale w tym przykładzie wychodzi mi to tak: (2x³+7x²)(7x+2)=0 x²(2x+7)(7x+2)=0

Jarek: chyba, że zrobię to tak: x(7x+7)+2(x³+1)=0 Wtedy mam x=−1 v x=−2

Jarek: w odpowiedziach jest jeszcze x=−¹₂

Artur_z_miasta_Neptuna: a czy nawias (7x+7) to to samo co (x³+1) chyba nie

Artur_z_miasta_Neptuna: obejrzałeś filmik o grupowaniu ?

Jarek: Wrócę za chwilę bo obiad mam

Jarek: Jestem z powrotem. Tak obejżałem filmik, jednak w tym przykładzie co dałem wyżej tj: 2x³ + 7x²+7x+2=0 nie da się tak pogrupować, żeby w nawiasach było to samo.

ICSP: 2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 2x³ + 2 + 7x² + 7x = 0 2(x³+1) + 7x(x+1) = 0 korzystając z : a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b) otrzymuje : 2(x+1)(x² −x + 1) + 7x(x+1) = 0 jak widać się da

ICSP: a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) oczywiście

Jarek: a czym jest w tym przypadku a³ i b³ ?

ICSP: pomyśl

Jarek: mam rozumieć, że: a=2(x³+1) b=7x(x+1)

ICSP: nie. Pamiętaj o tym ze 1 = 1³.

Jarek: ICSP Chyba znalazłem inny sposób na rozwiązanie tego równania, trzeba znaleść dzielnik tego wielomianu i po podzieleniu wyliczyć z Δ

ICSP: można inaczej . 1. Dzielnik wyrazu wolnego 2. Dwa sposoby na pogrupowanie 3. Wzory Cardano. Znam wiele metod. Pytałeś o tą więc podałem rozwiązanie w takiej postaci o jaką prosiłeś. Jak chciałeś innym sposobem było napisać

ICSP: 2x³ + 7x² + 7x + 2 = 0 zauważamy że : 7x² = 2x² + 5x² oraz 7x = 5x + 2x mamy więc: 2x³ + 2x² + 5x² + 5x + 2x + 2 = 0 2x²(x+1) + 5x(x+1) + 2(x+1) = 0 (2x² + 5x + 2)(x+1) = 0 − przykład innego pogrupowania.

Jarek: dobra mam inne zadanie jeszcze: 3x²+9x=2x³+10 po przekształceniu: −2x³+3x²+9x−10=0 jest podzielne przez (x−10) (−2x³+3x²+9x−10):(x−10)=−2x²−7x+1 Δ=7²−4(−2)*1 Δ=49+8=57 √Δ=?

ICSP: założyłeś że x = 10 jest pierwiastkiem. sprawdźmy więc : 3 * (10)² + 9*10 = 2*(10)³ + 10 3*100 + 90 = 2000 + 10 390 = 2010 nie sądzę. Dlaczego pomyślałeś ze jest to podzielne przez (x−10)

Jarek: fakt, mój błąd

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/120.html − poczytaj

Eta:

Jarek: tak znam to twierdzenie

ICSP: widocznie nie znasz skoro dzielisz przez coś co nie jest pierwiastkiem i na dodatek wychodzi ci wynik bez reszty xD

Jarek: a jak najłatwiej znaleść pierwiastek wielomianu?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/121.html

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/1690.html

ICSP: Właśnie tym twierdzeniem. Najpierw porządkuje wielomian : 2x³ − 3x² − 9x + 10 = 0 wypisujemy podzielniki wyrazu wolnego : 1,−1,2,−2,5,−5,10,−10 i sprawdzamy po kolei. Akurat tutaj masz szczęści bo 1 jest pierwiastkiem( zresztą widać to na pierwszy rzut oka) w(1) = 2 − 3 − 9 + 10 = 0 dzielisz więc wielomian przez (x−1)

Jarek: ICSP w równaniu jest −10, więc pierwiastkiem tego wielomianu jest −2. Po podzieleniu przez (x+2) otrzymałem −2x²+7x−5 Δ=9 √Δ=3 x1=2¹₂ x2=−1 x3=−2

ICSP: x₂ źle.

Jarek: x2=1

ICSP: teraz ok

Jarek: myślę, że już to kapuję, dziękuję wszystkim za pomoc