Różniczki, zadania! NugeMic: Cześć, mam 4 zadania, z którymi potrzebuję JAKIEJKOLWIEK pomocy: 1. Obliczyć pole ograniczone wykresami funkcji f(x)=6x² − 7x i g(x)=3x² + 5x 2. Obliczyć objętość bryły, która powstaje przez obrót wykresu funkcji f(x)=√lnx dookoła osi ox dla x∊ [1,4] 3. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y) = 12xy − 2x³ − 6y² określonej dla (x,y)∊ R² 4. Rozwiązać równanie różniczkowe x'' − 4x' − 12x = 0 z warunkiem początkowym x(0)=1, x'(0)=6 Za pomoc − postawię piwo, jak ktoś z Warszawy, albo wyślę drobne zł na piwko.

Krzysiek: 1) pole pomiędzy krzywymi to: ∫_a^b h(x)−z(x) dx gdzie h(x) jest 'nad' funkcją z(x) narysuj obszar całkowania i wyznacz granice (a, b) 2)http://pl.wikipedia.org/wiki/Bry%C5%82a_obrotowa 3)http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Funkcje_okre.C5.9Blone_na_podzbiorach_p.C5.82aszczyzny 4)zwykłe równ. jednorodne https://matematykaszkolna.pl/forum/148213.html (patrz na post: 20.13 )

Artur z miasta Neptuna: 1) ..rysujesz wykresy ... patrzysz: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%5B6x^2-7x%2C+3x^2%2B5x%5D+from+-1+to+5 i robisz całkę oznaczoną: 4 ∫ (g(x) − f(x)) dx = ..... 0

NugeMic: Tutaj oryginał owych zadań: http://i.imgur.com/rvONl.jpg Ok − co do 1., to przypomniałem sobie już jak to liczyć. Co z pozostałymi? Szczególnie zadanie 3? No i jeszcze jedno: jak się liczy/wyznacza monotoniczność funkcji?

Artur z miasta Neptuna: co do 3 zadania −−− procedura: https://matematykaszkolna.pl/forum/148482.html

NugeMic: Odnośnie zadania nr 3: Ok zatem mam f'x = 12y − 6x² f'y = 12x−12y f'xx = 12x f'xy = 12 f'xy = 12 f'yy = −12 (dobrze?) I co dalej?

Artur z miasta Neptuna: robisz układ równań:

⎧	f'x = 0
⎩	f'y=0	i wyliczasz dla jakich par (x,y) takie układ ma sens

następnie liczysz wyznacznik z macierzy: | f'_xx f'{xy} | | f'_yx f'{yy} | pod x,y wstawiając współrzędne wyznaczone z układów (jak wyjdzie np. 4 par to dla każdej pary robisz wyznacznik ... badając czy w tym punkcie (x,y) może być ekstremum reszta jak w opisie podesłanym

Artur z miasta Neptuna: f'_xx = −12x

NugeMic: Nie rozumiem.. jak to będzie wyglądało podstawiając te liczby, które wyliczyłem? I jestem dość pewien, że jak rozwiązywałem to kilka miesięcy temu, to bez macierzy wychodziły dobre wyniki − da się jakoś tą macierz obejść?

Artur z miasta Neptuna: NA PEWNO wyznacznik macierzy kwadratowej liczyłeś −−− 'bo tak' się robi

Artur z miasta Neptuna: z układu wyszły Ci pary: (0,0) oraz (2,2) dla (0,0) macierz wygląda tak | −12*0 12| |12 −12| <0 // czyli brak ekstremum dla (2,2) |−24 12| |12 −12| >0 // jest ekstremum f'_xx(2,2) <0 // jest to maksimum f(2,2) = .... // wartość maksimum

NugeMic: Jeszcze co do zadani 4, to będzie tak: r²−4r−12=0 − równanie charakterystyczne Δ=4x4 − 4x(−12x1)= 16 + 48 = 64 √Δ=8 r₁=−2 r₂=6 FUR tworzy x₁(t)=e^r₁t=e^−2t , x₂(t)=e^r2t=e^6t CORJ: x(t)=C₁X₁(t) + C₂X₂(t) x(t) = C₁e^−2t + C₂e^6t C₁C₂∊R x" − 4x' − 12x = 0 z wł. początkowych x(0)=1 x'(0)=6 1=x(0)=C₁+C₂ x'(t)=−2C₁e^−2t + 6C₂e^6t I tu nie mam zielonego pojęcia co dalej.

NugeMic: Racja, Artur, liczyłem z macierzą. Przypomniało mi się, jak mi to napisałeś. I na tym koniec zadania 3? To rzuć okiem, co z zadaniem 4 proszę.

Artur z miasta Neptuna: 4 zadanie to miłe równanie różniczkowe jednorodne (chyba) x'' − 4x' − 12x = 0 ≈ r² − 4r − 12 = 0 ⇔ (r−6)(r+2) = 0 ⇔ r=6 ⋁ r=−2 r=6 ⋁ r=−2 ⇔ x = c₁e^6x + c₂e^−2x i teraz podstawiasz warunki początkowe aby wyznaczyć c₁ i c₂

NugeMic: Pod co podstawiam? Gubię się, bo próbuję naraz wszystkiego się nauczyć. −₋

Artur z miasta Neptuna: x^{jakaś pochodna} = r^{do takiej potęgi co rząd pochodnej} rozwiązujesz powstały wielomian miejsca zerowe wstawiasz do wzoru x = Ce^{(miejsce zerowe)t} + kolejne miejsca oczywiście powinno być x(t) = c₁e^6t + c₂e^−2t

Artur z miasta Neptuna: zresztą sam zrobiłeś to zadanie

Artur z miasta Neptuna: masz:

⎧	1 = C1 + C2
⎩	6 = −2C1 + 6C2

i wyliczasz

NugeMic: No właśnie i tu nie byłem pewien czy dobrze zrobiłem i co dalej, a to najzwyklejszy układ równań.. C₁=0 C₂=1 Tak? A zadanie 3 już skończone?

Artur z miasta Neptuna: tak ... i tak

NugeMic: Ufff, dotarliśmy, udało się! Dobra, a jak to jest z monotonicznością funkcji? Kiedy jest rosnąca a kiedy malejąca?

Artur z miasta Neptuna: funkcja jednej zmiennej? f'>0 to f↗ f'<0 to f↘

Artur z miasta Neptuna: no to od razu wklęsłość i wypukłość 1) wypukła ... gdy f''>0 2) wklęsła ... gdy f''<0

NugeMic: Okej, a przy wyliczaniu ekstremów trzeba też wyliczyć na koniec czy funkcja jest rosnąca czy malejąca i trzeba narysować schematyczny wykres funkcji, nie? Da się to zrobić dla zadania 3?

Artur z miasta Neptuna: dla funkcji dwóch zmiennych NIE dla funkcji jednej zmiennej −−− może bez szkicu ... ale monotoniczność jak najbardziej

NugeMic: Ok o to mi chodziło. Dzięki!

ss: y'−y=2e^xcos²x