Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Grzesiek:

22 maj 20:15

Grzesiek: równania różniczkowe

22 maj 20:16

ZKS: Na razie dam Ci łatwe a) y' = 2√y b) y' + xy = 0 c) y'(1 − x) = y + 1 d) (1 + e^x)y' + ye^x = 0

22 maj 20:17

Grzesiek: równania różniczkowe

22 maj 20:17

ZKS: Zrobiłeś już a)?

22 maj 20:21

Grzesiek: y=e⁴x

22 maj 20:24

Grzesiek: e⁴^x

22 maj 20:25

ZKS: Nie. Zapisuj tutaj jak rozwiązujesz to wskaże Ci się błąd.

22 maj 20:25

Grzesiek: dy/dx=2{y} dy/{y}=2dx całkujemy ln{y}=2x y=(e²^x)²*C ?

22 maj 20:29

Grzesiek: ehh dy/dx=2√y dy/√y=2dx całkujemy ln√y=2x y=(e2x)2*C ?

22 maj 20:30

ZKS:

	licznik
Zapisuj ułamek przez U{ } { }		zobacz tutaj
	mianownik

https://matematykaszkolna.pl/forum/przyklady9.html Co do Twojego to tak:

dy		dx
	= 2√y / *
dx		√y

dy
	= 2dx
√y

	dy
∫		= 2 ∫ dx
	√y

2√y = 2x + C₁ / : 2 √y = (x + C) / ² y = (x + C)²

22 maj 20:36

Grzesiek: b dy/y=−xdx lny=−1/2x²+C₁ y=e⁻¹^/²^x²*C

22 maj 20:36

ZKS:

	1
Wzór ∫ xⁿdx =		x^{n + 1} + C
	1 + n

	1
Ty masz		= y^−¹/₂
	√y

22 maj 20:38

ZKS: b) emotka

22 maj 20:40

ZKS: Zapisuj to czytelniej.

22 maj 20:41

Grzesiek: jak obliczyłeś ^dy_√y

22 maj 20:42

Grzesiek: o chyba juz jest mecz polska łotwa

22 maj 20:44

ZKS: Pisz przez duże U.

22 maj 20:45

ZKS: Obejrzę sobie w necie.

Dałem Ci przecież wzór zobacz na górę.

22 maj 20:46

Grzesiek: juz wiem

22 maj 20:47

ZKS: Dawaj c).

22 maj 20:48

Grzesiek: a taki przykład jakbyś zrobił xy'=3y−2x?

22 maj 20:49

ZKS:

	1
xy' = 3y − 2x / *
	x

	y
y' = 3		− 2
	x

	y
u =		⇒ y = ux ⇒ y' = u'x + u
	x

u'x + u = 3u − 2

du		dx
	* x = 2u − 2 / *
dx		x(2u − 2)

du		dx
	=
2u − 2		x

1		du		dx
	∫		= ∫
2		u − 1		x

1
	ln (u − 1) = ln (x) + C₁
2

	y
(		− 1)^¹/₂ = C * x
	x

22 maj 20:55

Grzesiek: tak mam zacząć?

dy		dx
	=
y+1		1−x

22 maj 20:55

ZKS: Tak.

22 maj 20:56

Maslanek: Tak sobie po cichutku analizuję starając się czegoś nauczyć zanim się nauczę

Zastanawia mnie ostatnia linijka, prawa strona, ZKS. Skąd to C*x? ln x + C₁ = e^{ln x + C₁} = e^{ln x} * e^C₁ = x * e^{ln C₁^e} = x*C₁^e?

22 maj 21:00

Grzesiek: jakzrobiłeś ostatnie2 przejśćia w tym co ci wysłałem

22 maj 21:01

Grzesiek: ln(y+1)=ln(1−x) mogę to tak skrócić? y+1=1−x

22 maj 21:03

ZKS: Grzesiek napisz które. Maslanek dobrze wszystko a C₁^e można zapisać jako C ponieważ jest to wartość stała przecież. emotka

22 maj 21:04

Grześ: już widać, że źle prawą stronę zcałkowałeś emotka

22 maj 21:04

ZKS: Są takie same podstawy logarytmów więc można jeszcze tylko stałą Ci zjadło. ln(y + 1) = −ln(x + 1) + C₁ ln(y + 1) + ln(x + 1) = C₁ ln((y + 1)(x + 1)) = ln e^C₁ (y + 1)(x + 1) = C

22 maj 21:07

ZKS: Tam powinno być u mnie −ln(x − 1).

22 maj 21:08

ZKS: Tal Grzesiek powinieneś zrobić

dy		dx
	=
y + 1		−x + 1

	dy		dx
∫		= −∫
	y + 1		x − 1

ln (y + 1) = −ln (x − 1) + C₁

22 maj 21:11

ZKS: Rozumiesz?

22 maj 21:13

Grzesiek: tak już łapie tylko dlaczego później mnożysz (y+1)*(1−x) to nie powinno sie dodawać?

22 maj 21:14

ZKS: Własność logarytmów: log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c) Popatrz sobie tutaj 218.

22 maj 21:17

ZKS: Teraz d) zrób i napisz czego nie rozumiałeś w rozwiązaniu tego co podałeś mi.

22 maj 21:18

Grzesiek: przykład d)

dy		e^xdx
	=
y		1+e^x

tak powinienem zacząć?

22 maj 21:18

Grześ: w wartosci bezwzględnej powinny być te wyrażenia emotka

ln |y+1|=−ln|x−1|+C₁

22 maj 21:18

ZKS: Minusa zjadłeś.

22 maj 21:24

ZKS:

dy		e^x
	= C−		dx
y		e^x + 1

22 maj 21:25

ZKS:

dy		e^x
	= −		dx
y		e^x + 1

22 maj 21:26

Grzesiek: jak obliczyć tą całkę po prawo ?

22 maj 21:29

ZKS:

	f'(x)
∫		dx = ln\|f(x)\|
	f(x)

f(x) = e^x + 1 f'(x) = e^x Dokończ.

22 maj 21:30

ZKS: To kolejne: a) y' = √x + y b) y' = (x + 4y + 3)² c) y' = sin(x − y)

22 maj 21:35

Grzesiek: ln(y)=ln(e^x−1)+C₁ ln((y)*(e^x+1))=C₁ y*(e^x+1)=e^C₁ y*(e^x+1)=C tak?

22 maj 21:37

Maslanek: dy², to nie to samo co d²y?

22 maj 21:38

ZKS: O takie właśnie rozwiązanie chodziło. emotka

Masz teraz kolejne przykłady.

22 maj 21:38

ZKS: Znowu minusa zjadłeś ln |y| = −ln (e^x + 1) + C₁ ale dobrze rozwiązane.

22 maj 21:42

Grzesiek: jak zacząć ten przykład a) bo nie wiem?

22 maj 21:44

ZKS: Podstawienie.

22 maj 21:45

Grzesiek: x+y=u y'=u'−1 u'−1=√u

du
	=(√u+1)dx
dx

du
	=dx
√u+1

ln(√u+1)=x+C₁ (√u+1)=e^x+C₁ może tak być

22 maj 21:53

ZKS:

	1
Całka z		ile wynosi?
	√u + 1

22 maj 22:00

Grzesiek: ln(√u+1) nie może być tak?

22 maj 22:07

ZKS:

	1
Policz pochodną ln \|√u + 1\| i zobacz czy dostaniesz		.
	√u + 1

22 maj 22:09

Grzesiek: oblicz mi to bo nie wiem jak to zrobić

22 maj 22:11

ZKS:

	1		t
∫		du = \| u = t² , du = 2tdt \| = 2 ∫		dt
	√u + 1		t + 1

Dasz teraz radę? emotka

22 maj 22:13

Grzesiek: nie wiem

22 maj 22:19

Grzesiek: oglądasz mecz

22 maj 22:21

ZKS: To trywialne rzeczy. Ta prowadzą 1 : 0. emotka

	t + 1 − 1		1
2 ∫		dt = 2 ∫ dt − 2∫		dt = 2t − 2ln\|t + 1\| =
	t + 1		t + 1

= 2√u − 2ln |√u + 1|

22 maj 22:24

ZKS: Dawaj zrób następne.

22 maj 22:28

Grzesiek: x+y++3=u y=u−x−3 y'=u'−1 u'−1=u²

du
	=dx
u²+1

arctg(u)+C=x arctg(x+y+3)+c=x

22 maj 22:39

ZKS: Przecież przy y jest 4 u = x + 4y + 3 popraw ale idziesz dobrym tropem.

22 maj 22:41

Grzesiek: dojdę do tego:

du
	=dx
4u²

i to sie równa

arctg4u+C=x

czy nie może tak byc?

22 maj 22:48

ZKS:

	du
Nie dojdziesz do		tylko do czego innego popraw.
	4u²

22 maj 22:49

Grzesiek: tam w mianowniku powinno byc 4u²+1

22 maj 22:50

ZKS: I teraz policz z tego całkę.

22 maj 22:56

Grzesiek: no wiem wynik powinien wyjsć 1/2tan⁻¹(2x) ale nie wiem jak do niego dojsc

22 maj 23:00

Grzesiek: bede za 20 min

22 maj 23:01

Grzesiek: napisz rozwiazanie do c i dokoncz to

22 maj 23:01

Maslanek: u=x+4y+3 4y=u−x−3

	1
y' =		* (u'−1)
	4

1
	(u'−1)=u²
4

u'−1=4u²

du
	= dx
4u²+1

t=2u; u'=t/2 dt

	dt
Wtedy		=dx
	2t+1

	dt
Czyli		=dx
	2t+1

	1
∫		dt = ∫dx
	2t+1

ln(2t+1) = ∫dx ln(4u+1) = x+C. Am i right?

22 maj 23:07

ZKS:

	du		1		1
∫		= \| u =		t , du =		dt \| =
	4u² + 1		2		2

	1		dt		1		1
=		∫		=		arctg(t) =		arctg(2u)
	2		t² + 1		2		2

22 maj 23:08

Maslanek: Hm...

dt
	=dx
t²+1

Zapomniałem kwadratu i się posypało

	1
∫		dt = ∫dx
	t²+1

arctg(t) = ∫dx arctg(2u) = x+C₁ −−−−−−− Te prawe strony się pisze?

22 maj 23:13

ZKS: Tak pisze się tylko ja pisałem samą całkę co była po lewej. emotka

22 maj 23:14

Maslanek: Domyślam się

A jak później dojść do rozwiązania?

22 maj 23:15

Maslanek: Fajne te całeczki. Dobry wstęp mam

Ale pochodne trzeba mieć w jednym palcu, bo inaczej to marnie emotka

22 maj 23:16

ZKS:

1
	arctg(2(x + 4y + 3)) = x + C₁
2

arctg(2(x + 4y + 3)) = 2(x + C₁) 2(x + 4y + 3) = tg(2(x + C))

22 maj 23:21

Grzesiek: jestes jeszcze?

22 maj 23:36

ZKS: Jestem. emotka

22 maj 23:36

ZKS:

	y
a) xy' = yln(		)
	x

b) xyy' − x² + y² = 0

	y		y
c) (x − ycos(		)dx + xcos(		)dy = 0
	x		x

22 maj 23:41

Grzesiek:

22 maj 23:43

ZKS: Może zrobić dla przykładu to a) a Ty zrobisz resztę co?

22 maj 23:44

Grzesiek: ok może mi się uda

22 maj 23:51

ZKS: To mam robić ten przykład a) czy sam zrobisz?

22 maj 23:53

Grzesiek: zrób emotka

22 maj 23:57

ZKS:

	y		1
xy' = yln (		) / *
	x		x

	y		y
y' =		ln (		)
	x		x

	y
u =		⇒ y = ux ⇒ y' = u'x + u
	x

u'x + u = uln (u) u'x = u(ln (u) − 1)

du		dx
	=
u(ln (u) − 1)		x

	du		dt
∫ U{du}{u(ln (u) − 1) = \| ln (u) = t ,		= dt \| = ∫		= ln (t − 1) =
	u		t − 1

= ln (ln (u) − 1)

	dx
∫		= ln (x) + C₁ = ln (Cx)
	x

ln (ln (u) − 1) = ln (Cx) ln(u) − 1 = Cx u = e^{Cx − 1}

y
	= e^{Cx + 1} / * x
x

y = xe^{Cx + 1}

23 maj 00:04

Grzesiek: xyy'=x²−y²

	x²−y²
y'=
	xy

23 maj 00:18

Grzesiek: i chyba na tyle mnie stać ale jeszcze pomysle

23 maj 00:18

ZKS: To pomyśl a jak nie będziesz mógł wymyślić to napisz.

23 maj 00:19

Grzesiek: przez podstawienie to trzeba zrobić czy jakimś innym sposobem

23 maj 00:22

ZKS: Przez podstawienie.

23 maj 00:23

Grzesiek: nie wiem jak to zrobić:( napisz mi

23 maj 00:25

ZKS:

	x		y
y' =		−
	y		x

	y
u =		⇒ y = ux ⇒ y' = u'x + u
	x

	1
u'x + u =		− u
	u

	1 − 2u²
u'x =
	u

udu		dx
	=
1 − 2u²		x

	udu		1		1		dt
∫		= \| u² = t , udu =		dt \| = −		∫		=
	1 − 2u²		2		2		2t − 1

	1		1		1		y
= −		ln (2t − 1) = −		ln (2u² − 1) = −		ln (2(		)² − 1)
	4		4		4		x

	dx
∫		= ln (Cx)
	x

	1		y
−		ln (2(		)² − 1) = ln (C₁x)
	4		x

	y		C
2(		)² − 1 =		/ * x²
	x		x⁴

	C
2y² =		+ x²
	x²

23 maj 00:38

ZKS: Teraz Ty następne.

23 maj 00:41

Grzesiek: o co chodzi w tym ¹_u jak ty to zrobiłes?

23 maj 00:43

Grzesiek: aa dobra wiem

23 maj 00:43

Grzesiek: to jest poprostu odwrotność tak

23 maj 00:43

ZKS: Tak odwrotność.

23 maj 00:49

ZKS: Analizując moje rozwiązanie nie nauczysz się tak dobrze jak samemu byś to rozwiązywał.

23 maj 00:50

ZKS: Teraz c) pomyśl jak zrobić.

23 maj 00:55

Grzesiek: myślę i też przez podstawienie

23 maj 00:56

ZKS: Tak.

23 maj 01:01

Grzesiek:

	y		y
xcos		dy=−(x−y)cos		dx
	x		x

y

 y 
−(x−y)cos
dx
 x 

cos

dy=

x

x

	y		x−y		y
cos		dy=		*cos		dx
	x		x		x

	y		y		y
cos		dy=(−1+		)*cos		dx
	x		x		x

może być i teraz podstawienie

	y
u=
	x

y=ux

23 maj 01:08

ZKS: Mogłeś to zrobić 2 linijkach.

teraz dokończ.

23 maj 01:16

Grzesiek:

 y 
cos
dy
 x 

y

=(−1+

)

 y 
cos
dx
 x 

x

dy		y
	=−1+
dx		x

23 maj 01:22

Grzesiek: pochodna z y'=u'x+u?

23 maj 01:23

Grzesiek: u'x+u=−1+u u'x=−1

du		1
	=−
dx		x

	dx
du=
	x

u=−lnx+c

23 maj 01:27

ZKS: Tak y' = u'x + u Przykład tak wygląda:

	y		y
(x − ycos(		))dx + xcos(		)dy = 0
	x		x

23 maj 01:27

ZKS: Popraw.

23 maj 01:28

Grzesiek: ...

23 maj 01:30

ZKS: Patrz na przykład z dwa razy jak wygląda i wtedy zaczynaj robić. emotka

23 maj 01:31

Grzesiek: spójrz że tam nie zamknałeś nawiasu wiec sam wstawiłem

23 maj 01:33

Grzesiek:

	y		y		y
cos(		)dy=1−		cos(		)dx
	x		x		x

23 maj 01:36

ZKS: To powinieneś albo się zapytać albo domyślić że powinien być przed dx.

23 maj 01:36

Grzesiek: dobrze? i co dalej

23 maj 01:36

Grzesiek: a już mi tak ładnie bez ego nawiasu szło a tu dupa

23 maj 01:37

ZKS: Chyba brakuje nawiasu po prawej stronie.

23 maj 01:37

Grzesiek: gdzie?

23 maj 01:37

Grzesiek: a przed wrzystkim powiniem byc minus

23 maj 01:38

ZKS:

	y		y		y
cos(		)dy = −(1 −		cos(		))dx
	x		x		x

23 maj 01:41

Grzesiek: i co dalej bo już bym podzedł spać emotka

23 maj 01:43

ZKS: Tak jak robiłeś na górze. emotka

23 maj 01:47

Grzesiek: a co z 1

23 maj 01:50

ZKS: Jak co? Zapisuj.

23 maj 01:54

Grzesiek:

dy

−1

y

=

+

dx

 y 
cos
dx
 x 

x

23 maj 01:56

Grzesiek:

23 maj 01:56

ZKS:

23 maj 02:00

Grzesiek: a co z tym dx po prawej stronie

23 maj 02:02

ZKS: A skąd go tam wytrzasnąłeś właśnie?

23 maj 02:03

Grzesiek:

	y
podzieliłem obie strony przez cos		dx
	x

23 maj 02:04

Grzesiek: dobra ide spać bo zaraz usnę na biurku

23 maj 02:10

ZKS: Też za chwile idę.

	y
Skoro dzielisz przez cos(		)dx to dostajesz:
	x

dy

y

1

=

−

dx

x

 y 
cos(
)
 x 

23 maj 02:13

Grzesiek: cosdu=1/xdx

23 maj 02:18

Grzesiek: sinu=lnx

23 maj 02:18

ZKS: A gdzie minus?

23 maj 02:19

Grzesiek: −sinu=lnx i tyle

23 maj 02:20

ZKS: Zawsze się daje minus przy x ale też może być i niech już będzie. Jeszcze brakuje stałej.

23 maj 02:22

Grzesiek: ok dzięki maciek idę spać narqa

23 maj 02:23

ZKS: Nie ma za co. emotka

Na razie i dobranoc. emotka

23 maj 02:25