Rachunek prawdopodobieństwa xxx: Cześć, właśnie na zajęciach zaczynamy nowe tematy i w pracy domowej jest kilka zadań do zrobienia: Zadanie.1 Ile jest możliwości utworzenia z cyfr 1,2,3,4,5 liczb dwucyfrowych: a) o nie powtarzających się elementach, b) elementy mogą się powtarzać? A). Wypisałem wszystkie wyniki (12,13,14......) i to było tyle liczenia − 20. Jednak czy za pomocą wzoru da się jakoś to obliczyć czy zawsze trzeba wypisać? B) analogiczna sytuacja

think: jasne że jest wzór Reguła mnożenia na pierwszym miejscu mogą być cyfry od 1 do 5 to 5 możliwości na drugim miejscu mogą być już tylko 4 bo jedna cyfra na pierwszym miejscu już jest wykreślana bo nie mogą się powtórzyć, czyli 4 możliwości 5*4 = 20 w drugim mogą się powtórzyć więc na drugie miejsce też wybieram spośród 5 co daje 5*5 = 25 takich liczb.

xxx: No tak, wstyd o tym nie pomyśleć. Pozdrawiam.

xxx: A jeśli chodzi o takie zadanie: Zadanie.7 Czy zdarzenia A i B mogą być niezależne, jeżeli: a) P A 0,2 P B 0,3 oraz P A B 0,006 , b) P A 0,23 P B 0,72 oraz. P A B 0,5 Z wzoru ze stronki P(AnB) = P(A) * P(B) czyli 0.2 x 0.3 = 0.06 o.23 x 0.72 = 0.1656 czyli zdarzenia nie mogą być nie zależne?

xxx: up

Basia: zapis jest kompletnie nieczytelny; nie domyślimy się co to jest P A 0,2 P B 0,3 oraz P A B 0,006 , P A 0,23 P B 0,72 oraz. P A B 0,5 o ile jeszcze P A 0,2 to jak sądzę P(A) = 0,2 o tyle P A B to może być P(A∪B) P(A∩B) lub P(A\B) jak mamy zgadywać ?

xxx: Ok, przepraszam za nieczytelny zapis: Zadanie.7 Czy zdarzenia A i B mogą być niezależne, jeżeli: a) P(A)=0,2 P(B)=0,3 oraz P(AnB)=0,006 , b) P(A)=0,23 P(B)=0,72 oraz. P(AnB)=0,5

Aga1.: Sprawdź, czy a) 0,2*0,3=0,006 0,06≠0,006 L≠P Zdarzenia A i B nie są niezależne. b) licz podobnie.

xxx: Ok dziękuje za pomoc, czyli mniej więcej tak jak liczyłem. A kiedy zdarzenia przykładowo A i B mogą się wykluczać? Mam pewne zadanie, o ile do poprzedniego był wzór na stronce o tyle do wykluczania się zdarzeń nic nie ma.

Basia: ⇔ kiedy P(A∩B) = P(∅) = 0

xxx: Zadanie.6 Czy zdarzenia A i B mogą być wykluczające się, jeżeli: a) P(A)= 0,23 oraz P(B)= 0,72 , b) P(A)= 0,68 oraz P(B)= 0,49 ? czyli 0,23 0,72 = 0,1656 zdarzenia nie mogą się wykluczać 0,68 x 0,49 = 0.3332 zdarzenia nie mogą się wykluczać Dobrze to rozumiem?

xxx: Chyba jednak źle to zrobiłem: Żeby a i b były rozłączne musimy przyjąć, że P(AnB)=0 czyli tak jak napisałaś tak? Zatem mamy: P(AuB)= P(A) + P(B) − P(AnB) czyli: P(AuB)= P(A) + P(B) P(AuB)= 0,23 + 0,72 = 0,95 < 1 zdarzenia mogą być rozłączne P(AuB)= 0,68 + 0,49 = 1.17 > 1 zdarzenia nie mogą być rozłączne. Zgadza się?

xxx: up

kylo1303: Dobrze. Glownie chodzi o to zeby zastosowac taka wlasnosc: P(AuB)=P(A)+P(B) ⇔ P(AnB)=0 czyli: Jesli dwa zbiory sa rozloczne (ich iloczyn jest = 0) to prawdopodobienstwo sumy tych zbiorow rowne jest sumie prawdopodobvienstwa poszczegolnych zdarzen.

xxx: Ok, dziękuje za pomoc, nigdy bym sobie bez Was nie poradził. A co jeśli mam takie coś z niewiadomymi? Zadanie.13 Zdarzenia A i B są takie, że P(A)=1−a, P(B)=2a, P(AnB)=a . Dla jakich wartości parametru a zdarzenia A i B są: −niezależne −wykluczające się Niezależne czyli: P(AnB) = P(A) x P(B) a=(1−a) * 2a a=2a − 2a² a ≤ 1 2a − 2a² ≤ 1 −2a² + 2a − 1 ≤ 0 delta=−4 brak miejsc zerowych, ramiona w dół a ∊ R Wykluczające się: P(AuB)= P(A) + P(B) P(AuB)= 1 − a + 2a P(AuB)= 1 + a P(AuB) ≤ 1 1 + a ≤ 1 a ≤ 0 zgadza się?

xxx: up

Basia: coś tam poknociłeś a = 2a − 2a² dotąd jest dobrze 0 = a−2a² a(a−2)=0 a=0 lub a=2 (niemożliwe) czyli a=0 wykluczające ⇔ P(A∩B)=0 ⇔ a=0

xxx: Czyli dla nie zależnych odpowiedź to a=0 i koniec? A co do wykluczających to nie bardzo rozumiem o co chodzi

Basia: dla niezależnych a=0 i koniec dla wykluczających: A i B wykluczają się ⇔ A∩B=∅ ⇔ P(A∩B)=0 ⇔ a=0

xxx: a nie powinno być: a = 2a − 2a² 0 = a−2a² a(−2a + 1)=0 ? a=0 lub a=1

Basia: oj powinno oczywiście, bardzo Cię przepraszam tylko na końcu znów coś poknociłeś a= 0 lub −2a+1=0 −2a = −1

	1
a=
	2

xxx: No tak jak zwykle z pośpiechu.

	1
I tylko piszę, że dla paramterów a=0 i a=		zdarzenia są niezależne?
	2

Bo warunek jest P(X)≤1 A może być 0? Bo by wychodziło P(B)= 2a = 2 * 0 = 0 P(AnB)= a = a I dalej nie rozumiem co do wykluczania się jak mam to policzyć, nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić, mimo iż przedstawiłaś wzór.

Basia: gdyby wyszło jakieś a>1 musiałbyś je odrzucić, bo ten zapis P(X)≤1 znaczy tyle, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest ≤1 a tak naprawdę to dla każdego zdarzenia X mamy 0 ≤ P(X) ≤ 1 0 może być; P(X) = 0 ⇔ X jest zdarzeniem niemożliwym np. przy doświadczeniu polegającym na rzucie kostką do gry P(wyrzucona liczba oczek = 10) = 0

xxx: Ok wielkie dzięki już wszystko jasne. Tylko dalej mam problem z tym wykluczaniem się: A i B wykluczają się ⇔ A∩B=∅ ⇔ P(A∩B)=0 ⇔ a=0 nie mam pojęcia jak się do tego zabrać...

xxx: No tak teraz się zagalopowałem, oczywiście to jest rozwiązanie całe, przepraszam za kłopot.

xxx: Kolejne zadanie nie jest trudne jednak mam problem z ostatnim przykładem: Zadanie.14 Zdarzenia A i B są takie, że P(A)=0,5; P(B)=0,4; P(AuB)=0,7 . Oblicz prawdopodobieństwa: P(AnB) , b) P(A' ) , c) P(A| B) , d) P(A| A B) . P(AuB)= P(A) + P(B) − P(AnB) 0,7 = 0,5 + 0,4 − P(AnB) P(AnB)= 0,2 P(A')=1−P(A) P(A')=0,5 P(A\B) zrobiłem z tego przykładu i nie wiem czy dobrze: https://matematykaszkolna.pl/strona/2883.html P(A)=P((A\B) u (AnB) P(A)=P(A\B) + P(AnB) 0,5=P(A\B) + 0,2 P(A\B)=0,3 co o tym sądzicie? I na ostatni przykład nie mam pomysłu P(A| A B)

Maciek: co do pierwszego calkiem zadania istenieje taki wzor jak:

	5 2		5!
X		=
			(5−2)!

Basia: 1 i 2 dobrze 3. P(A|B) to ma być A−B (czyli różnica) czy P(A\B) czyli prawdopodobieństwo A pod warunkiem B ? jeżeli różnica to też jest dobrze 4. co to jest A| A B ?

xxx: Maciek, ale o które zadanie chodzi? Basia, co do 3 przykładu to tak to jest różnica A\B czyli dobrze tak? Co do 4, to znów moja pomyłka poprawny zapis: P(A\AuB)

Basia: (3) w takim razie dobrze (4) A\(A∪B) = ∅ ⇒ P(A\(A∪B))=0 może to miał być iloczyn nie suma ?

xxx: Przedstawiam zdjęcie: http://imageshack.us/photo/my-images/256/matmag.jpg/\

Basia: no to suma; ale jesteś pewien, że na pionowa kreska oznacza różnicę ? wg obecnej mody różnica to kreska nachylona w lewo A\B ta pionowa czyli P(A|B) wygląda mi na prawdopodobieństwo warunkowe, ale oczywiście mogę się mylić

xxx: Tak to chyba jednak będzie prawdopodobieństwo warunkowe jak piszesz, w 3 przykładzie jest ta sama kreska, a więc 3 też do poprawy. Poczytam co nieco o takim rodzaju prawdopodobieństwa i postaram się zrobić przykłady.

xxx:

	P(AnB)
P(A|B)=
	P(B)

P(AnB)= 0,2 z poprzedniego przykładu

	0,2
P(A|B)=
	0,4

	1
P(A|B)=
	2

Z tym, że już z P(A|AuB) mam niemały problem...

xxx:

	P(AnB)
czy P(A|AuB)=
	P(AuB)

tak wywnioskowałem przynajmniej z poprzedniego wzoru...

xxx: Próbuję nad tym rozmyślać ale nic innego niż to co powyżej nie przychodzi mi na myśl.

xxx: Czy jednak będzie

	P(A)
P(A|AuB)=
	P(AuB)

?

kylo1303: Jesli chodzi ci o to co oznacza symbol " | " to popatrz tutaj: 1020

Basia: tak będzie jak napisałeś o 23:51

	P(A∩(A∪B))		P(A)
P(A|(A∪B)) =		=
	P(A∪B)		P(A∪B)

xxx: no tak wiem, pewnie to jest dobrze tak?

	0,2		1
P(A|B)=		=
	0,4		2

tylko mam teraz P(A|AuB) i nie jestem pewien czy dobrze pod wzór podłożyłem

	P(A)
P(A|AuB)=
	A(AuB

xxx:

	P(A)
P(A|AuB)=
	P(AuB)

drobna literówka się wkradła