Funkcie tworzące ksiądz: Funkcje tworzące rozwiązać równania rekurencyjne stosując odpowiednią funkcję tworzącą:

	1		5
an=−		an−1+1 , a0=		, n∊N
	2		3

Wynik sprawdzić stosójąc wzory na rozwiązanie równań liniowych rzędu 1−go i 2−go To mój początek przygody z tymi funkcjami tworzącymi czytałem o nich wiele ale nie mogę pojąć jak to się oblicza dlatego bardzo proszę o pomoc z tym przykładem i z wytłumaczeniem..

Krzysiek:

	5		1		5		1
f(x)=∑n=0∞ an xn =		+∑1 (−		an−1 +1)xn =		−		x ∑1
	3		2		3		2

	5		1		x		5
an−1 xn−1 +∑1 xn =		−		x ∑0 anxn +		=
	3		2		1−x		3

	1		x
−		xf(x) +
	2		1−x

	5		x
czyli: f(x) (1+1/2 x) =(		+		)
	3		1−x

∑₁ −oznacza: ∑_n=1^∞ tylko, że w tej postaci nie do końca jest wszystko czytelne na tej stronie

Krzysiek: i teraz musisz jeszcze rozwinąć funkcję f(x) w szereg

	5		2
z pierwszym ułamkiem tj:		*		korzystasz z szeregu geometrycznego
	3		x+2

a z drugim rozbijasz na ułamki proste i potem z szeregu geometrycznego

ksiądz:

	5
pytanie do pierwszej linijki: jeżeli mamy ∑anxn to rozumiem że wyciągamy		przed tą
	3

sumę

	1		1
ale dlaczego po sumie piszemy (−		an−1+1)xn ? xn*1 zgodze się ale xn* −
	2		2

	1
daje przecież xn*(−		an−1) a nie an jak mamy wczesniej − co jest nierównością
	2

.

ksiądz:

	1		1
* zgodze się ale xn* −		an−1 daje przecież xn*(−		an−1)
	2		2

Krzysiek: f(x)=∑₀ a_n xⁿ i w miejsce a_n wstawiamy −1/2a_n−1 +1 jednak nie możemy wtedy sumować od n=0 dlatego wyliczamy pierwszy element sumy ∑₀ a_n xⁿ =a₀ +∑₁ a_n xⁿ i teraz wstawiamy to równanie i rozbijamy na dwie sumy w pierwszej sumie staramy się sumować od n=0 dlatego wyciągamy przed sumę x

ksiądz: ok a teraz następna sprawa z tego co widzę to ∑₁a_n−1xⁿ⁻¹ = ∑₀ a_nxⁿ czy tak jest ?

Krzysiek: tak właśnie jest, po lewej stronie wyrazy sumy to: a₀ x⁰ +a₁ x¹ +... po prawej to samo

ksiądz: piszę to ponieważ tam gdzie robiłeś obliczenia drugiej linijce jest napisane:

5		1		5		1
	−		x∑1an−1xn−1 + .... =		−		x∑0anxn +...
3		2		3		2

i tak własnie to sobie zpisałeś

ksiądz: no tak ale jeżeli zaczynamy od zera czyli ∑₀ to przecież mamy : (ja tak myśle i pewnie źle dlatego mni popraw ) a₀x⁰+a₁x₁+a₂x²+...+a_nxⁿ ... do nieskonczoności tak a gdy zaczynamy od ∑₁ to mamy a₁x¹+a₂x₂+a₃x³+...+a_nxⁿ+.... do nieskonczoności to przecież podstawiając liczby to te u góry dają większą sumę bo się zaczynają wcześniej czy nie tak ?

Krzysiek: no tak dlatego na początku napisałem: ∑₀ a_n xⁿ =a₀ x⁰ +∑₁ a_n xⁿ po drugie: ∑₀ a_n xⁿ =∑₁ a_n−1 xⁿ⁻¹ po prostu 'przeindeksowaliśmy' więc to co Ty napisałeś (ta druga suma) nie jest taka jak: ∑₁ a_n−1 x_n−1

ksiądz: znaczy sory to u dołu drugie równanie miało być napisane tak : a₀x⁰+a₁x¹+a₂x²+...+a_n−2xⁿ⁻¹+... do nieskonczoności to czy to nie jest o jeden wyraz mniejsze

Krzysiek: ale przecież w obu szeregach n→∞ , więc to jest to samo

ksiądz: bo nprzykład x=2 dla 4 wyrazów a₁=1 a₂=2 a₃=3 a₄=4 ∑₀: 1*2⁰+2*2¹+3*2²+4*2³ = 1+4+12+32=49 bo idę do n a 1+ ∑₁ 1*2⁰+2*2¹+3*2² =1+ 1+4+12=18 bo idę do n−1

Krzysiek: źle rozpisałeś te sumy.. w pierwszej zaczynasz od n=0 a przecież nie znacz a₀ .. po drugie: w drugiej sumie zaczynasz od n=1 a potem piszesz: a₁ *x⁰ a czemu nie do x¹ ?

ksiądz: no to przyjmując za a₀=1 a₁=2 a₂=3 a₃=4 to to samo i podstawiając pod ∑₀ i∑₁ wychodzi to samo

ksiądz: znaczy 49 i 18

Krzysiek: dlatego napisałem, że tak jest dla n→∞ i dla szeregu zbieżnego ciąg dla n→∞ musi zmierzać do zera więc ważne są pierwsze wyrazy sumy

ksiądz: aha więc to bez różnicy czy n−1 czy n bo i tak to zmieża do nieskonczonośći .

Krzysiek: no tak, bo to nie jest skończona suma

ksiądz: aha dzięki. Nie rozumiem też na koncu . rozumiem że ∑₀a_nxⁿ zapisałeś jako f(x) (chociaż nie rozumiem do konca dlaczego)

	5		1		x
i w jaki sposób		−		xf(x)+
	3		2		1−x

	1
zamienia się w f(x)(1+		x)
	2

Krzysiek: tak mamy zdefiniowaną funkcję f(x) f(x)=∑₀ a_n xⁿ więc f(x)=....−1/2 x f(x) ... więc przenoszę f(x) na lewą stronę

ksiądz: jak przeniesiemy przecież mamy równanie

5		1		x
	−		xf(x)+
3		2		1−x

	1		5		x
−		f(x)=−		−
	2		3		1−x

ksiądz:

	1
znaczy tam po lewej stronie to miało być −		xf(x)
	2

Krzysiek:

	5		1		x
f(x)=		−		x *f(x) +
	3		2		1−x

i wyznacz z tego równania f(x)

ksiądz: No tak dziękuję już rozumiem zadanie, ale nie tak aby je skonczyć dlatego proszę cię o to abyś je skonczył ponieważ to jest mój pierwszy przykład a mam zrobić 10 a jeżeli będę miał wzór (na przykładzie tego zadania ) to zrobię resztę .

Krzysiek: tylko, że tu już się kończy zabawa z funkcjami tworzącymi a zaczyna z analizą rozwinę w szereg pierwszy ułamek Ty postaraj się zrobić drugi

5		2		5		1		5		1		5
			=		*		=		*		=		* ∑0 (−x/2)n
3		x+2		3		1+x/2		3		1−(−x/2)		3

	1
skorzystałem z tego, że: ∑0 xn =
	1−x

ksiądz: a to już koniec zadania tak

ksiądz: jak zrobię ten drugi oczywiscie

Krzysiek: no nie... te dwa szeregi połącz w jeden tak by otrzymać współczynnik przy xⁿ i następnie musisz rozwiązać równanie rekurencyjne 'zwykłą' metodą i sprawdzić czy to rozwiązanie będzie się pokrywało ze współczynnikiem przy xⁿ w szeregu

ksiądz:

	5		2		5		1
a dlaczego		*		nie będzie czasem :		*		?
	3		x+2		3		x+2

ksiądz: a już wiem sory

ksiądz: nie wiem jak to zrobić ...

x		2		2x		2x		2
	*		=		=		= x*
1−x		2+x		(1−x)(2+x)		−x2−x+2		−x2−x+2

	1		1
delta to 9 pierwieatek z delta to 3 x1=−2		x1=2
	2		2

i co ja mam z tym dalej zrobić

Krzysiek: rozbij ułamek na ułamki proste

ksiądz: chyba że coś takiego zamiast liczyć pierwiastek to :

A		B
	+		=
1−x		2+x

	A(2+x)+B(1−x)		2A+Ax+B−Bx		(A+B)+A+x(A−B)
		=		=
	(1−x)(2+x)		(1−x)(2+x)		(1−x)(2+x)

wtedy układ równan: A+B=1 (A−B)+A=0

	1
A=
	3

	2
B=
	3

Ale nie wiem no pomóż mi jeszcze

ksiądz: to wtedy

	1   3		2   3		xn		xn
x*[		+		] = ∑		+ 2∑
	1−x		2+x		3		3

tak doszedłem czytając o tych funkcjach ale zle wszystko pewnie

Krzysiek:

A		B		2x
	+		=
1−x		2+x		(1−x)(2+x)

	2A+Ax+B−Bx
i lewą stronę rozpisałeś:
	(1−x)(2+x)

czyli: 2A+B=0 i A−B=2 (porównujesz współczynniki )

	2
czyli: A=
	3

	4
B=−
	3

Krzysiek:

	−4/3		−4		1		1		−2
		=		*				=		∑0 (−x/2)n
	2+x		3		2		1−(−x/2)		3

ksiądz: i to samo z A muszę zrobić i potem dodać tak ?

Krzysiek: tak

ksiądz:

	2A+Ax+B−Bx
ale jeżeli rozpisuję		to moim 2 jest przecież A+B a nie A−B
	(1−x)(2+x)

	A		B
przecież piszę że		+		więc A+B jest moją 2 czy nie tak
	1−x		2+x

	2A+Ax+B−Bx
czyli równanie		robię do postaci żebym widział te A+B czyli:
	(1−x)(2+x)

(A+B)(A+B)*x+A
	czy nie tak
(1−x)(2+x)

to wtedy układ równań : A+B=2 (A+B+A)=0 źle rozumiem ?

Krzysiek: tylko, że w liczniku masz 2x a nie 2 więc porównując współczynniki przy x otrzymasz: 2=A−B

ksiądz: ale x mogę sobie zapisać za nawiasem jak wyżej zrobiłem nie lepiej tak będzie ?

	2		1		2
no ale dobrze. to w takim dla A bedzie : ...=		*		=		∑0xn
	3		1−x		3

Krzysiek: jak wyciągniesz 'x' to potem jak rozwiniesz w szereg dostaniesz: x∑(coś)xⁿ więc będziesz miał ∑(coś)xⁿ⁺¹ a z innego ułamka dostałeś: ∑(coś)xⁿ i już nie 'złączysz' te dwie sumy do jednej tak, taki szereg ma być

ksiądz: ok to teraz wynik koncowy będzie :

	2		2		x
∑0xn+		∑0xn+(−		)∑0(−		)n I to już koniec wreszcie ?
	3		3		2

ksiądz:

Krzysiek: źle przepisałeś te sumy

	5
w pierwszej sumie mamy:		∑0 (−x/2)n
	3

reszta dobrze teraz zwiń to do jednej sumy i następnie musisz rozwiązać to rownanie rekurencyjne 'zwykłą' metodą (znaleźć wzór jawny) i sprawdzić czy jest taki sam jak współczynnik przy xⁿ w tej sumie szeregu

ksiądz: no właśnie z tym zwinięciem to będę miał kłopot.

Krzysiek: zapisujesz pod jedną sumę i wyciągasz przed nawias xⁿ

ksiądz:

	5		−1		2		2		−1
∑0 (		*		+		−		*		)xn o tak ?
	3		2n		3		3		2n

Krzysiek:

	−1		1
prawie, tylko jak masz: (		)n =(−1)n * (		)n
	2		2

poza tym 5/3 (−1/2)ⁿ −2/3 (−1/2)ⁿ =(−1/2)ⁿ

ksiądz:

	5		1		2		2		1
czyli tak : ∑0(		*(−1)n*(		)n+		−		*(−1)n*		)xn
	3		2		3		3		2

Krzysiek: czyli ∑₀ ((−1/2)ⁿ +2/3) xⁿ więc a_n =(−1/2)ⁿ +2/3

ksiądz: krzysku i teraz muszę to sprawdzić a więc piszesz mi (i podkreślasz) słowo 'zwykłą' metodą czyli w jaki sposób?

Krzysiek: tak jak tu: https://matematykaszkolna.pl/forum/146523.html tylko nie wiem czemu tak je rozwiązujesz ,tzn korzystasz z gotowych wzorów... zamiast napisać równanie charakterystyczne rownania liniowego jednorodnego a potem rozwiązać niejednorodne korzystając z metody przewidywań

ksiądz: ale tak w zadaniu mam to dlatego

ksiądz:

	1
no dobrze czyli moim a stojącym przy xn−1 jest co −		czy −U({1}{2})n ?
	2

	2
bo moim b to będzie		tak ?
	3

ksiądz:

	1
..czy (−		)n
	2

ksiądz: bo wiesz równanie ma postać x_n=a*x_n−1 +b

Krzysiek: przecież ten współczynnik przy xⁿ w szeregu to jest już rozwiązanie! a ty go masz znaleźć inną metodą, przecież szukasz rozwiązania(wzoru jawnego) równania rekurencyjnego które jest dane wzorem w pierwszym poście poza tym tak jak wyżej napisałem czemu korzystasz z gotowych wzorów do znalezienia wzoru jawnego? nie podali wam na ćwiczeniach/wykładzie innej metody?

ksiądz:

	1		5
a nie boże przecież moje a = −		a b =1 a0 =		bo przecież mam sprawdzić
	2		3

wynik

ksiądz: no właśnie nie tylko 2 wzory na równanie rekurencyjne rzędu pierwszego i drugiego to możesz mi to zrobić tym zwykłym sposobem a ja sobie to posprawdzam moimi co mi podali ok?

Krzysiek: tutaj napisałem schemat: https://matematykaszkolna.pl/forum/146629.html

ksiądz: mamtylko problem z moim a_n−2. bo a_n−1 to jest w zadaniu

Krzysiek: napisz jakie jest równanie charakterystyczne tej rekurencji? przecież w tym zadaniu nie ma a_n−2 więc go nie szukaj.. napisałem tam: szukamy rozwiązania w postaci: a_n =xⁿ więc wstaw to do równania

ksiądz: charakterystyczne dla rekurencji to : x²=x+1

Krzysiek: jakim cudem? przecież takie jest dla ciągu fibonacciego..

ksiądz: to nie wiem i raczej już nic nie wymyśle nie będę zgadywał...

Krzysiek: a co masz zgadywać? skoro a_n =xⁿ to a_n−1 =xⁿ⁻¹ wstawiasz do rekurencji (a dokładnie do równania jednorodnego), dzielisz obustronnie przez xⁿ⁻¹ i szukasz pierwiastków równania

ksiądz:

	1
czyli jeżeli an=−		an−1+1 to (piszę tak jak ty)
	2

	1
an− (−		)an−1 −1
	2

xⁿ−xⁿ⁻¹−1 i dziele na xⁿ⁻¹to wdedy:

	1
x −1−
	xn−1

Krzysiek: napisałem jednorodnego! czyli: a_n +1/2 a_n−1 =0 zatem równ .charakterystyczne to: xⁿ +1/2 xⁿ⁻¹ =0 więc x=−1/2

ksiądz: aha no dziękuję i sory za moją bezmyślność... czyli mam ten x=−1/2 więc to stoi przy moim a_n−1 czyli udowodniłem znazy ty udowodniłeś.. więc to już jest koniec?

Krzysiek: a co ma dowodzić to, że x=−1/2 jest przy a_n−1 przecież dlatego, że jest przy a_n−1 to x=−1/2 a nie odwrotnie... to nie koniec skoro x=−1/2 to rozw. równania liniowego jednorodnego ma postać: a_n =c₁ (−1/2)ⁿ jeszcze trzeba rozw. niejednorodne (metodą przewidywań) po prawej stronie mamy wielomian pierwszego stopnia więc przewidujemy rozwiązanie w postaci stałecej niech to będzie 'a' czyli wstawiając do równ rekurencyjnego: a+1/2a =1

	2
czyli: a=
	3

	2
zatem rozw. równ niejednorodnego to: an =c1 (−1/2)n +
	3

	5
z warunku początkowego: a0 =		wyliczysz c1
	3

ksiądz: no tak dziękuję no a to drugie metodą przewidywań to jak?

ksiądz: czyli c1 = 1 i co tyle już tego zadania? czy jeszcze coś

Krzysiek: tak tyle, ponieważ wzór jawny wzoru rekurencyjnego pokrywa się ze współczynnikiem przy xⁿ w szeregu zatem zadanie jest dobrze zrobione

ksiądz: bardzo ci dziękuję że pomogłeś mi w tym dzięki temu wiem jak obliczać takie zadania już. Naprowadziłeś mnie. Bardzo ci dziękuję

ksiądz: gdy c1=1 to jednorodne to a_n=(−1/2)ⁿ

	2
niejednorodne an=(−1/2)n +
	3