Liczby zespolone Bartek: Pytanie teoretyczne. Jakie po kolei ogólne kroki muszę podjąć,aby wyznaczyć zbiór liczb zespolonych spełniających np taki warunek: z²=(z)² ...UWAGA liczba "z" z prawej strony ma nad sobą poziomą kreskę. Po prostu nie wiedziałem jak to zapisać. Tak czy siak, nie chodzi mi o gotowe rozwiązania tego zadania. Pytam raczej o uporządkowaną drogę postępowania w takim zadaniu. Zasadniczo przychodzi mi do głowy jedynie wzór: argzⁿ=nargz+2kpi gdzie k∊Z. Ale jakoś nie mogę ruszyć z miejsca. Czy argz jest tutaj w ogóle potrzebny?

Tragos: z = a + bi z⁻ = a − bi (a + bi)² = (a−bi)² a² + 2abi − b² = a² − 2abi − b² 2abi = −2abi 4abi = 0 abi = 0 ab = 0 a = 0 lub b = 0

Bartek: Rany, dzięki. Właśnie przed chwilą zacząłem podobnie kombinować tzn. użyłem (a+bi)² itd. Czyli rozumiem, że rozwiązaniem tego zadania jest suma liczb (0,b) lub suma liczb (a,0) Pisze "suma",bo w rozwiązaniu jest podane, że to ma być suma obydwu osi. Ty zaś napisałeś a=0 lub b=0. Nie bardzo rozumiem analogię twojego rozwiązania z ich rozwiązaniem. Oni nic nie piszą o żadnej alternatywie a z twojego rozwiązania wynika, że jest ona istotna. hmm...?

Bartek: No to następne zadanie o tej samej treści tylko innym przykładzie rozwiązuje tak: Przykład: z³=−z⁻ To robię to tak: (x+yi)³=−(x−yi) x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³=−x+yi prawa na lewą i mam: x[x²+3yi+3(yi)²]+yi[(yi)²−1]=0 czy ja poprawnie to liczę? Bo na końcu wychodzi mi: x(x²+1)+3xyi(x+yi)+yi(yi+1)(yi−1)=0 no właśnie głupoty jakieś...

Bartek: W wolnej chwili chętną osobę poproszę o podpowiedź

Bartek: No to ja sobie odświeżę; −)

Ajtek: Liczb zespolonych co prawda chyba nie miałem, ale patrząc na rozwiązanie Targos i Twoje, to nie widzę, abyś prawą część równania podniósł do potęgi 3. NIe mam pewności czy to się robi schematem pokazanym przez Targos, jeżeli tak, to tutaj bym się dopatrywał błędu.

Krzysiek: wystarczy pamiętać, że i² =−1 i tylko trzeba rozpisać lewą stronę (skorzystać ze wzoru (a+b)³ ) i porównać części rzeczywiste i części urojone (rozwiązując układ równań

Bartek: Ajtek, w tym drugim przykładzie właśnie o to chodzi, że lewa strona jest podniesiona do potęgi a prawa już nie. Więc błędu tutaj nie ma. Ale zaraz zrobię to tak, jak radzi Krzysiek.

Ajtek: Aha, rozumiem .

Basia: dotąd jest dobrze x³+3x²yi+3x(yi)²+(yi)³= −x+yi potem x³ + 3x²yi − 3xy² − y³i + x − yi = 0 (x³ − 3xy²+x) + (3x²y − y³ − y) = 0 x(x²−3y²+1) + y(3x²−y²−1) = 0 i masz cztery możliwe układy: (1) x=0 y=0 (2) x=0 3x²−y²−1=0 (3) x²−3y²+1=0 y=0 (4) x²−3y²+1=0 3x²−y²−1=0 to już łatwo rozwiązać

Bartek: Okej, do tych układów już doszedłem. Faktycznie, trzeba uważać na i²=−1 . Ale z tego co Basiu napisałaś wynika, iz i=1, a mnie się wydawało, że i=(0,1). Czy może to jest tak, że przy postaci algebraicznej liczby zespolonej można to "i" pominąć? (czyt. ukryć) na zasadzie 1*x=x Okej, rozwiązanie tych układów faktycznie nie jest trudne, wiadomo, wystarczy popodstawiać i wychodzi. To wszystko jest jednak myślenie algebraiczne. Ja natomiast mam teraz nie wielki problem z przełożeniem tego na układ współrzędnych, czyli tak jakby...z zobaczeniem (przy pomocy tych rozwiązań algebraicznych) rozwiązania tego zadania na osi oxy. No nie jestem matematykiem. Patrzę na te równania i niestety widzę tylko równania. Oczywiście nie proszę o narysowanie tego (za dużo kłopotu by było). Chodzi mi raczej o to, jak się ma rozwiązanie np 4 układu z rysunkiem przedstawiającym te liczby zespolone. Tak w ogóle to zaraz sam też spróbuje coś wymyślić.

Bartek: Aaaaaaaaaaaaaaa, już rozumiem....Mam 4 możliwości liczb zespolonych np pierwsza z=(0,0) , druga z1=(0,3x2−y2−1) i tak dalej , załapałem? Martwi mnie jednak jeszcze jedno. Im wyszło 5 liczb zesponych, a nie tylko 4...hmmm...

Basia: nie bardzo rozumiem; oczywiście, że i = (0,1), ale ja z tego absolutnie nie korzystam ach już wiem; opuściłam tam i, ale ono ma być oczywiście przy tych drugich w kolejności nawiasach w równaniach (3) i (4) to zwykłe przeoczenie i w rozwiązaniu niczego nie zmieni

Basia: układ (1) ma jedno rozwiązanie układy (2) i (3) nie mają rozwiązania układ (4) ma prawie na pewno cztery rozwiązania

Bartek: Cały czas mi się tu coś nie zgadza. Coś jest nie tak dlatego, że nawet po tej korekcie "i" owszem wychodzą mi te 4 układy, ale Autor podaje takie rozwiązanie:

	1+i		1−i		−1−i		−1+i
{0,		,		,		,		}
	√2		√2		√2		√2

I teraz tak: x=0 y=0 to wiadomo, że opcja pierwsza. Jak natomiast dojść do tych pozostałych czterech opcji? Nawet jeśli zrobię: 2) x=0 3x²−y²−1=0 i podstawie x do dolnego równania, to wychodzi mi: −y² −i=0 . I co mi to daje? Mogę zrobić, że: −i(y² +1)=0 , ale z tego za wiele nie wynika...

Bartek: Aha, okej to sprawdzę jeszcze ten czwarty układ. A właśnie, skąd mam wywnioskować, iż równanie −i(y²+1)=0 nie ma rozwiązań. Wiadomo, że y²+1 jest zawsze dodatnie, więc nie jest zerem. Liczba i też nie jest zerem, aha...więc to pewnie o to chodzi, okej...no myślę na głos

Bartek: 4) Łatwo rozwiązać...no cóż,nie wiem czy Basiu jesteś optymistą. Na pewno jednak jesteś lepsza z matmy ode mnie. Zrobiło mi się takie coś: 3(3y²−1)−yi−i=0 i co teraz? No wiem, mam sprawdzić kiedy to równanie (które powstało po podstawieniu) jest równe zero. Nie ukrywam, iż wszystko mi utrudnia to diabelne "I".

Bartek: Nie, głupoty mi wychodzą jakieś. Zrobiłem o tak: x²−3y²+1=0 3x²−yi−i=0 No to mam: x²=3y²−1 więc mam: 3(3y²−1)−yi−i=0 (9y²−3)−yi−i=0 (3y+√3)(3y−√3)−i(y+1)=0 nie wiem no...głupoty jakieś..

Bartek: POMOCY!

Basia: w tych układach już nie ma i a+bi = 0 ⇔ a=0 i b=0 i jest poza nawiasem

Bartek: Dobra, chwila przerwy bo już liczb nie widzę.

Bartek: Ahaaaa, o popacz, nie wiedziałem, że istnieje taka zasada. Okej, to przeliczę to jeszcze raz. Wnerwia mnie ten √3,bo tam jest przecież √2.

Bartek: Ja się poddaje...i tak mi wychodzi nie to,co trzeba dlatego, że w rozwiązaniu znajduje się "i". Wyszło mi coś takiego: 9y²−y − 4=0 Jest to typowa funkcja kwadratowa. Delta jest >0 więc tak czy siak wyjdą dwa rozwiązania a nie cztery. Chyba jednak czegoś muszę nie rozumieć w tym wszystkim.

Basia: dobra od początku x³ + 3x²yi − 3xy² − y³i + x − yi = 0 (x³ − 3xy²+x) + (3x²y − y³ − y)i = 0 x(x²−3y²+1) + y(3x²−y²−1)i = 0 czyli x(x²−3y²+1)=0 i y(3x²−y²−1) = 0 co daje: (1) x=0 i y=0 czyli z=0+0i=0 (2) x=0 i 3x²−y²−1=0 0 − y²−1 = 0 y² = −1 brak rozwiązania (3) x²−3y²+1=0 i y=0 x²+1=0 x²= −1 brak rozwiązania (4) x²−3y²+1=0 i 3x²−y²−1 = 0 x² = 3y²−1 3(3y²−1)−y²−1 = 0 9y²−3−y²−1 = 0 8y² − 4 = 0 /:4 2y²−1=0 (√2y−1)(√2y+1)=0

	1		1
y =		lub y = −
	√2		√2

	1
x2 = 3*12 − 1 =
	2

	1		1
x =		lub x=−
	√2		√2

czyli masz cztery możliwości

	1		1		1+i
z =		+		i =
	√2		√2		√2

	1		1		1−i
z =		−		i =
	√2		√2		√2

	1		1		−1+i
z = −		+		i =
	√2		√2		√2

	1		1		−1−i
z = −		−		i =
	√2		√2		√2

Bartek: Mowę mi odjęło,dziękować Już rozumiem na czym polegał mój błąd z tym i. Okej. Mogę cie zapewnić Basiu, że nie namęczyłaś się na próżno. Już wiem o co chodzi, jeszcze raz dzięki.

Basia: na zdrowie

Bartek: Okej, następny przykład. Wrzucam,bo wiem jak rozwiązać, ale za to nie wiem dlaczego moje rozwiązania są inne niż u nich. Im wychodzi {2i,√3+i,√3−i}. Powtarzam treść zadania: znaleźć zbiór liczb zespolonych spełniających warunek: Przykład: z³=−8i No to robię tak: x³+3x²yi−3xy²+y³i+8i=0 x(x²+3xy−3y²) + (y³+8)i=0 więc mam x(x²+3xy−3y²)=0 i (y³+8)=0 No to mam: 1) x=0 i y³+8=0 2) x²+3xy−3y²=0 y³+8=0 Z pierwszego mi wychdzi z =(0,−2) a im wychodzi (0,2) czyli 2i z drugiego nie wiem skąd im się wziął ten √3 Mnie delta wychodzi √84.

Basia: błąd masz tutaj: (x+y*i)³ = x³ + 3x²*y*i + 3x*y²*i² + y³i³ = x³ + 3x²y*i − 3xy² − y³*i bo i³ = i²*i = −1*i = −i jak to poprawisz będzie dobrze

Bartek: Ja cie kręce, czyli czysta algebra... Hmmm, wiesz...w tym Skoczylasie, którego przerabiam jest dosyć nie wiele przykładów. Konkretnie cztery Znasz może jakiś zbiorek Basiu, który nie wiem...zatytułowany jest powiedzmy:"Zadania z liczb zespolonych"? Są np zbiory "Zadania z całek..." . Hej, bo zaraz sobie wygooglam Dziękować oczywiście i niech żyją schematy,bo marny ze mnie matematyk

Basia: zajrzyj tutaj; bardzo przystępny wykład + trochę zadanek http://wms.mat.agh.edu.pl/~zrr/zespolone/

Bartek: Zastanawia mnie też jeszcze jedna sprawa. W tym Skoczylasie podali takie dwa punkty: 1) arg(z1z2)=argz1+argz2+2kpi gdzie k itd.... 2) arg(zⁿ)=n argz+2kpi I chodzi mi o to, że oni te punkty podali tuż przed tymi przykładami. Zastanawiałem się więc czyli zrobili to specjalnie z zamysłem,by np ten drugi punkt jakoś wykorzystać, ale pewnie się mylę, ...jak sądzisz ? Chodzi mi o ten wykładnik potęgowy "n".

Bartek: Okej, wszedłem w ten link. Przeczytałem o tych pierwiastkach i okręgu, ale muszę przyznać, że jeszcze nie za dużo z tego rozumiem.

Bartek: Tylko gdy doczytałem o tym w skoczylasie, to teraz mam wrażenie iż to pierwiastkowania jest zupełnie innym tematem. No właśnie...ja i matma

Basia: tu chodzi o postać trygonometryczną i wzory Moivre'a z = a+bi z = |z|(cosφ+i*sinφ) φ − jest argumentem z gdzie |z| = √a²+b²

	a		b
cosφ=		sinφ=
	|z|		|z|

z₁ = 8i |z₁| = 8 cosφ=0 sinφ=1 ⇒ φ=^π₂ z = ³√8i 8i = 8(cos^π₂+i*sin^π₂) na mocy wzorów Moivre'a

	π2+2kπ		π2+2kπ
z=3√8i = 3√8*(cos		+ i*sin		) =
	3		3

	π2+2kπ		π2+2kπ
2*(cos		+ i*sin		)
	3		3

dla k=0 mamy

	√3		1
z = 2*(cosπ6 + i*sinπ6) = 2*(		+ i*		) = √3+i
	2		2

dla k=1 mamy

	π2+2π		π2+2π
z = 2*(cos		+ i*sin		) =
	3		3

	√3		1
2(cos5π6+i*sin5π6) = 2(−		+ i*		) = −√3+i
	2		2

dla k=2 mamy

	π2+4π		π2+4π
z = 2*(cos		+ i*sin		) =
	3		3

2*(cos3π+i*sin3π) = 2(cosπ+i*sinπ) = 2*(−1+i*0) = −2 a dla k=4 już nam się kąt powtórzy bo to będzie

π2+6π		13π		π
	=		=2π+
3		6		6

czyli koniec zabawy; są te trzy rozwiązania

Bartek: Posłuchaj, a co tym 8i? Jeżeli pijesz do tamtego przykładu, to tam było chyba po prawej −8i. Tzn. wiesz...nie chcę być upierdliwy... Dobra, próbuję to wszystko analizować krok po kroku. Początek wiem i rozumiem, ale skąd ³√8i Zaraz, a może ty nie nawiązujesz do tego ostatniego przykładu...?

Bartek: Abstrahując już od tego, że ktoś ci powinien pogratulować zaangażowania i cierpliwości...

Basia: no to będzie nieco inaczej bo dla z₁ = −8i mamy cosφ=0 i sinφ= −1 czyli φ=^3π₂ −8i = 8(cos^3π₂ + i*sin^3π₂) = 8(cos^π₂ − i*sin^π₂) tylko znak się zmieni (przeoczyłam ten minus), ale trzeba poprawić

Basia: poczytaj sobie teorię z tego linku, który Ci podałam tam jest to naprawdę bardzo przystępnie opisane jakieś przykłady też chyba są

Bartek: Dobra, jak słyszę z drugiej części mieszkania:"Bartek..." to znaczy, że muszę wyskoczyć z psem na spacer, ale....bez obaw zaraz wrócę Ciężko mi idą te liczby zespolone, ale jak już się wezmę to nie mogę się oderwać Nie wiem jak z tym u ciebie, ale sądząc po twoim wykładzie i zaangażowaniu, musisz mieć podobnie,hmm

Basia: z³ = −8i /³√.. ³√z³ = ³√−8i = 2³√−i ³√z³=z z = ³√−8i=2³√−i

Bartek: Okej, dzięki...teraz już widzę. Trochę mnie martwi, że u mnie z tą matmą to tak jest, że trzeba mi wszystko na tacy podać, żebym zrozumiał. A nawet jak mi podasz, to muszę chwilę poświęcić, zrozumiec, zapamiętać i jak zobaczę coś podobnego, to pamięciowo kojarzę. Nic nie poradzę...Humanista...

Basia: Poradzisz sobie. Starasz się zrozumieć i bardzo dobrze. Tak trzymaj, a przekonasz się, że to nie jest takie trudne.

Bartek: O, a mam jeszcze jedno pytanie. Bo ten link to jest link do serwera agh. Czy oni tam na stronie mają tego więcej? tzn. teorii w ten sposób wyłożonej? Bo jak wszedłem na stronę główną to mi się logowanie włączyło i tyle...

Bartek: Dzięki za wsparcie i otuchę.

Basia: Mają więcej, ale ja tam trafiam na ogół przez Google, który pokazuje dokumenty ogólnodostępne. Trivial jest z AGH, popytaj go jak się tam dostać bez logowania. Bywa prawie codziennie. Pewnie pojawi się zaraz po świętach

Bartek: Rozumiem, jasne... Jeśli chodzi o dział liczb zespolonych, ja to wszystko na razie widzę jedynie poprzez dostępne wzory iwłasności. Nie widzę tego jednak takim...no wiesz...zmysłem technicznym... może kiedyś się to zmieni, gdy zacznę używać tych zagadnień w praktyce. A właśnie, ponoć liczby zespolone mają spore zastosowanie. Zastanawia mnie w jakich sytuacjach używa się ich np w programowaniu? Hmm...może przy pisaniu gier? No nic...czas pozwoli zobaczyć... Miłego popołudnia...

kkk: w(x)= x³ −2x²− 4x +8

kkk: liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)= x³ −2x²− 4x +8

Rafal: z²+(1−2i)z−2i=0

Rafal: Jakby ktoś dał przyklad jak rozwiazac. Z gory dziekuje

Krzysiek: A nie lepiej założyć osobny temat? rozwiązujesz jak zwykłe równanie kwadratowe czyli od policzenia delty.

Rafal: Mógłbyś napisać jak dokładnie? Bo staję w miejscu w trakcie liczenia delty

Krzysiek: to pisz już w tym temacie: https://matematykaszkolna.pl/forum/223492.html ile wynosi delta.