Badanie zmienności funkcji [wykres funkcji] DeCoo: Witam, proszę o pomoc w badaniu zmienności funkcji x²−4x/x−2 Pierwsza pochodna wyszła mi: −16, czyli brak ekstremów Druga pochodna wyszła mi: 2, z tym że 2 nie należy do dziedziny (i co dalej?) Asymptota pionowa w punkcie 2 Asymptota ukośna y=x−2 Nie umiem wykonać wykresu tej funkcji (chodzi mi o zaznaczenie asymptot, ekstremów, punktów przegięcia itd). Pomoże ktoś? Proszę...

think:

	4x
f(x) = x2 −
	x − 2

zacznijmy od tego, że pierwsza pochodna na pewno nie będzie miała wartści liczbowej, ponieważ chociażby pochodna z x² to jest 2x i w dodatku pewnie nie skorzystałeś ze wzoru na pochodną ilorazu...

think: https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html

	f
poszukaj wzoru (		)' = ...
	g

DeCoo:

x2−4x
	−> o tak, źle napisałem.
x−2

Aga1: Już miałam pytać, czy aby dobrze przepisałeś., bo od tego trzeba zacząć..

DeCoo: Przepraszam za pomyłkę

Aga1: Już w pierwszej pochodnej mi się nie zgadza.

DeCoo:

	x2−4x+8
znaczy 1 pochodna wychodzi:		, czyli przyrównuje do 0 i wtedy liczę deltę.
	(x−2)2

i wtedy delta wynosi −16. I jak to wtedy zaznaczyć na wykresie?

Aga1: Dziedzina D=R−{2} Pochodna dobrze obliczona. Pochodna nie ma miejsc zerowych, więc funkcja nie ma ekstremum. f^'>0⇔ x∊R−{2} Funkcja jest rosnąca w przedziałach (−∞,2), (2,∞). Trzeba jeszcze policzyć granice.

DeCoo: czyli asymptota pionowa = x=2 a ukośna y = x−2 Tak mi wyszło. I teraz nie wiem jak to zaznaczyć na wykresie...

Aga1: Asymptota pionowa zgadza się, Mi wyszło, że nie ma asymptoty ukośnej. Zapisz swoje obliczenia.

Aga1: Oblicz miejsca zerowe funkcji. i narysujemy wykres ( bez drugiej pochodnej)

DeCoo: okej, chwilka

Aga1: Ale teraz już nie mam czasu, jak nie dasz rady, to pomogę Ci później.

DeCoo: teraz mi coś inaczej wychodzi :

	x2−4x		x2−4x−2x2+4x		−x2
lim		− 2x = lim		=lim		= i co teraz?
	x−2		x−2		x−2

Miejsce zerowe wyszło 4.

DeCoo: Byłbym bardzo wdzięczny, jeżeli jescze dzisiaj, bo od tego zależy moja dalsza przyszłość

DeCoo: Punkt przecięcia z osią OX to (4,0) , z OY (0,0)? Funkcja jest rosnąca w przedziałach (−∞,2), (2,∞). −> jak to policzyłaś?

Aga1: I granica tego wynosi −∞, przy x →∞ więc b nie istnieje.Reszta zgadza się Jeśli jesteś to zapisz wszystkie granice (początek i koniec.) Jak wszystko dobrze wyliczone, wykres to bajka.

DeCoo: to tak: 1) Dziedzina (−∞,2)(2,∞)

	x2+4x+8
2) I pochodna:
	(x−2)2

3) Asymptota pionowa: x=2 4) Asymptota ukośna: y=x−2 bo:

x2−4x		1		x2−4x−x(x−2)		x2−4x−x2+2x		−2x
	*		=		=		=		=
x−2		x		x−2		x−2		x−2

	x(−2)
		= −2
	x(1−1/x)

DeCoo: To jest dobrze, tak? Hm właśnie o to chodzi, że dla mnie nie bajka, nie potrafię tego zrobić

Aga1: Ale nie zapisałeś tego , o co Cię prosiłam. I asymptoty poziomej nie ma, bo a=−2, a b wyszło∞

Aga1: Chciałam napisać,że asymptoty ukośnej brak.

Aga1: lim x→−∞f(x)=−∞ tak?

DeCoo: Hm już Ci piszę, a ty jeżeli byś mogła to zobacz te b u mnie, u mnie coś tak nie wychodzi

DeCoo: lim x→−∞f(x)=−∞ −> z tym zapisem Ci chodzi o to, ile mi wyszło przy liczeniu asymptoty ukośnej? (przy dzieleniu funkcji przez x?)

Aga1: Więc wykres będziemy zaczynać rysować od lewego dolnego rogu, funkcja przechodzi przez punkt (0,0) i jest rosnąca (−∞, 2) Prosta x=2 jest asymptotą pionową, więc wykres nie może przeciąć tej prostej , ale będzie się do niej przybliżać, bo limx→2⁻f(x)=∞. Kończymy tę część wykresu wysoko blisko tej prostej. Narysuję ten fragment, a na drugim rysunku drugą część.

DeCoo: Czy po przyrównaniu II pochodnej do 0 Tobie też x=2? Jeżeli on nie należy do wykresu to jest brak punktów przegięcia?

Aga1:

DeCoo: Dziękuję I to już wszystko zaznaczone? Hm, a czy na pewno nie ma tej ukośnej? Bo wpisałem na stronie wolframaplha i mi też policzyło, że jest ukośna y=x−2

Aga1: Teraz limx→2⁺=−∞ Funkcja jest rosnąca, więc zaczynamy rysować od dołu, oczywiście po prawej stronie prostej x=2 Miejscem zerowym jest 4, wicć wykres przecina oś x w (4,0) limx→∞f(x)=∞, więc kończymy rysunek w prawym górnym rogu.

DeCoo: To nie będzie coś takiego? I teraz trzeba zaznaczyć reszte, ale nie mam pojęćia jak

Aga1:

Aga1: Teraz te dwa rysunki trzeba narysować na jednym układzie współrzędnych. A odnośnie tej asymptoty to jeszcze sprawdzę, Być może, ze się pomyliłam.

DeCoo: Jak Ci wyszedł punkt 4? funkcje zrównałaś do 0? a wtedy nie wyjdzie x²=4x czyli x=2 lub x=−2?

Aga1: O 17:01 próbowałeś obliczyć b do asymptoty poziomej i pytałeś co teraz?

DeCoo: o 18.08 to policzyłem (tam masz jak po kolei liczyłem asymptotę ukośną)

Aga1: x²−4x=0 x(x−4)=0 x=0 lub x=4.−−−to są miejsca zerowe.

Aga1: Ale a=−2, b=limx→∞(f(x)−ax)

DeCoo: to wychodzi coś takiego? i teraz ze strony prawej asymptoty się rysuje, tak?

DeCoo: znaczy a= 1 b = −2 czyli równanie to y=x−2 tak?

DeCoo: Hm nie wiem czy nie mieszam, ale miejsca zerowe to nie mianownik =0?

DeCoo: jednak masz racje, bo x²−4x=0 więc potem x(x−4)=0 więc x=0 albo x=4 sorka

Aga1:

a
	=0⇔a=0 i b≠0
b

Licznik przyrównałam do zera, bo mianownik 0 być nie może. A gdzie masz wyliczone a, a gdzie b, bo nie widzę.

DeCoo: Tak to będzie wyglądać, prawda?

DeCoo: znaczy asymptotę ukośna liczylem tak a to funkcja/x b to funkcja −ax i a mi wyszło 1 natomiast b wyszło mi tak jak o godzinie 18.08 −> czyli −2

Aga1:

	1
a=limx→∞f(x)*
	x

b=limx→∞(f(x)−ax)

DeCoo: dokładnie z tego korzystałem a wychodzi 1 (tutaj się zgadzamy tak?) i zobacz o godzinie 18.08 mój wpis (tam masz policzone "b" w asymptocie ukośnej)

Aga1: Już widzę, bo napisałeś dwa w jednym. Super narysowałeś. Wszystko jasne?

DeCoo: Wykres jest dobry czy to ironia? Muszę przynieśc zrobiony przebieg tej funkcji + 5 wybranych(już je mam i na 100% dobrze ), żeby zaliczyć matme na 3

Aga1: Dobry, oczywiście na kartce zrobisz to ładniej, można jeszcze parę punktów obliczyć. Pytałam, czy zrozumiałeś moje wyjaśnienia. Jeśli wszystko jest dobrze obliczone to wykres sam się rysuje.

DeCoo: tak na kartce ładniej po prostu po lewej stronie tylko będzie u mnie przechodzilo przez 0 i się zbliżało do asymptoty pionowej i ukośnej, a po prawej stronie będzie przechodziło przez 4 i zbliżało się do ukośnej i pionowej Dziękuję bardzo jesteś wielka

Aga1: Powodzenia.

DeCoo: Dziękuję jescze raz Dzięki Tobie zdam

Aga1: Co studiujesz?

DeCoo: Budownictwo

DeCoo: a ty? jesteś studentką czy już nie?

Aga1: Poszukuję pracy.

DeCoo: Hmm, no to życzę powodzenia A udzielasz korepetycji?

Aga1: