granice ciagow greentea: wyznaczyc granice ciagu:

	n2−1
an =
	n2−2

	∞−1
lim=		=1
	∞−2

moze to banalne ale czy to w ten sposob sie robi?

A ku ku: g=1

A ku ku:

	1   n2(1− )   n2		1
n→∞ an=		=		=1
	2   n2(1− )   n2		1

greentea: g zamiast lim, tak?

Rafał274: Generalnie zasada jest taka. Mamy granicę :

	f(n)
limn→∞		=
	g(n)

W tym przypadku : f(n) = n² −1 oraz g(n) = n² − 2 Jeżeli stopnie wielomianów (106) f(n) oraz g(n) są równe granica jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach. Np:

	x3+2x+1		1
limn→∞		=
	2x3−1		2

	−5x3+2x+1		−5
limn→∞		=
	2x3−1		2

itd. Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy, czyli: (st. f(n) > st.g(n)) granica wynosi ∞ lub −∞. Znowu patrzymy na współczynniki najwyższych potęg. ∞ będzie jak ich iloraz będzie dodatni, a −∞ jak będzie ujemny Np:

	x3+2x+1
limn→∞		=∞
	2x2−1

	−x3+2x+1
limn→∞		=−∞
	17x3−1

Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy, czyli: (st. f(n) < st.g(n)) granica wynosi 0.

Rafał274: Tma oczywiście powinno być przy x→∞

Rafał274:

	−x3+2x+1
limx→∞		= −∞ Tak powinno być
	17x2−1

greentea: jeju, juz to ogarniam, dzieki wielkie

greentea: czasami jest lim_x→n a czasem a_n i to mnie zastanawialo czy sie rozni

Rafał274: Oznaczenia są różne : lim_x→∞ albo a_n→m i jeszcze nad strzałką należy napisać n→∞ a literka m to oczywiście granica albo po prostu a_n→m (ciąg a_n dąży do granicy m)

greentea: kolega A ku ku o 23:45 w przykladzie nad kreska ulamkowa ktory napisal wynika ze ∞*1=1, nie powinno byc raczej ∞/∞=1?

greentea: ∞/∞=1 zamiast 1/1=1 mam na mysli, przeciez a*1=a. a nie 1

A ku ku: n² z licznika i mianownika upraszczasz

A ku ku:

	1   1−   n2
otrzymasz
	2   1−   n2

	1−0		1
n→ lim an =		=		= 1
	1−0		1

Rafał274: Kolega a ku ku wyciągnął n² przed nawias i to skrócił i tyle w tym temacie. Symbole nieoznaczone http://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony Nie można mówić, że ^∞_∞ = 1 bo co jeżeli lim_x→∞^x2+1_x = ∞, czyli wyszło nieskończoność przez nieskończoność = nieskończoność

greentea:

	1		1
sorki ale n2(1−		)=∞(1−		)=∞(1−0)=∞*1=∞ gdzie jest moj blad?
	n2		∞

greentea: sorki, juz rozumiem, grr, cofam to grr

Rafał274: W sposobie rozumowania. Rozważmy przykład : (Idąc twoim tokiem rozumowania)

	4x2+5		x2*(4+5x2)
limx→∞		= limx→∞		=
	x2−1		x2*(1−1x2)

	∞*4		∞
limx→∞		= limx→∞		= 1 ?
	∞*1		∞

Chyba coś nie tak. Skrócenie x² czy tam n² nie zmienia formy ciągu a_n, z którego liczmy granicę.

Rafał274: Bo patrz

Rafał274: Mamy ciąg

	2x2+1		x2*(2+1x2)
an =		=		=
	x2−1		x2*(1−1x2)

	2+1x2		2x2x2+1x2
=		=		=
	1−1x2		x2x2 − 1x2

	2x2+1x2		2x2+1		x2		2x2+1
=		=		*		=		= an
	x2−1x2		x2		x2−1		x2−1

greentea: tak, chyba wiem o co chodzi, za wczesnie wyliczam ta granice zamiast wszystko uporzadkowac najpierw, ciekawe sa te symbole nieoznaczone, ze 1^∞ nie ma sensu liczbowego to w zyciu bym nie pomyslala