:P ICSP: Jak widać dziś na forum pojawiło się mało zadanek dlatego pomyślałem że forumowicze mogą poczuć się zawiedzeni. Podaje wiec jedno zadanko dla zabawy Ten kto pierwszy rozwiąże może podać następne itd. Zadanie Pokaż, że jeżeli na czworokącie o długościach boków równych a,b,c,d można opisac okrą oraz wpisać w niego okrąg to pole tego czworokąta jest równe : √a*b*c*d

toja: Co to jest "okrą" ?

ICSP: okrąg oczywiście

toja:

Kris: https://matematykaszkolna.pl/forum/118368.html Zajrzałbyś do zadania,proszę.. nic mi do głowy nie przychodzi.

ZKS: Niestety będę musiał poczekać aż ktoś rozwiąże to zadnie.

ICSP: Jak chcesz ZkS mogę ci dać podpowiedź. Jednak sądzę że toja zaraz to zrobi Takie zadanko nie powinno jej sprawić żadnego problemu

ZKS: Na pewno nie sprawi ale ja to bym musiał męczarnie przechodzić i nic z tego i tak nie wyniknie.

ICSP: Nie przesadzaj Chyba nie jest aż tak źle

toja: Hehe Proste jak :" .............." Z warunku opisania okręgu mamy: a+c= b+d Z warunku wpisania okręgu P= √(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)

	a+b+c+d		a+c+a+c		b+d+b+d
p=		=		= a+c=		= b+d
	2		2		2

i mamy: P= √(a+c−a)(b+d−b)(a+c−c)(b+d−d)= √a*b*c*d c. n.u.

ZKS: Powiem Ci że jest tak źle. Jedyne co wiem na temat to jeżeli można opisać okrąg to a + c = b + d jeżeli można wpisać okrąg to α + γ = β + δ nic więcej.

ICSP: Brawo toja Teraz możesz dać swoje zadanie

rumpek: Wzór Brahmagupty sprytne, bardzo sprytne

toja:

toja: Wykaż,że dwusieczne sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym

rumpek: oznaczmy sobie 2α; 2β przez podział dwusiecznych mamy: α + β + γ = 180^o z własności równoległoboku (kąty przyległe − dowód) wiemy, że 2α + 2β = 180^o / : 2 α + β = 90^o 90^o + γ = 180^o γ = 90^o c.n.u. czyli faktycznie pod kątem prostym nawet nie ma co bić braw

ZKS: Hmm to znowu sobie popatrzę jak ktoś rozpyka to zadnie.

toja: No to bez brawa →

rumpek: przyległe = przeciwległe* taki mały chochlik

ZKS: To są fanfary = .

rumpek: to taki prezent na święta

rumpek: ZKS a tak z ciekawości na maturze rozszerzonej zrobiłeś ten dowód co był ?

Kris: Wrzucaj kolejne zadanko

ZKS: Narysowałem to co miałem po pisałem coś ale pewnie mi nie uznali albo dali 1pkt za rysunek hehe.

rumpek:

ZKS: Tutaj już Mickiewicza niestety nie miałem jakoś wena się urwała przy tym temacie.

toja:

ICSP: toja ostatnio to zadanie z dwusiecznymi robiłem koleżance która jest w gimnazjum. Rozpylane w 30s xD

rumpek: a na podstawowej dobrze było z dowodem? dla mnie dowody są najgorsze a najlepsza algebra i po troszeczku już prawdopodobieństwo

ZKS: Cicho powiedz że trochę dłużej. Może jak bym się zastanowił z 5 minut co najmniej to bym je zrobił albo i nie.

toja: To jedno z zadań z testu gimnazjalnego

rumpek: dlatego nie ma co bić braw

ZKS: toja na pewno z testu mi się wydaje że to było z matur z lat 70.

toja: zad1/ Dla jakich n naturalnych liczba n²+12n +17 jest kwadratem liczby naturalnej ? zad2/Wykaż,że liczba 123456789² +1 nie jest kwadratem liczby naturalnej zad3/ Rozwiąż w liczbach całkowitych 2^x2*3^y= 12^x zad4/ Wykaż,że dla a,b,c∊R 3(a²+b²+c²) ≥(a+b+c)²

ZKS: Kiedyś będę musiał sobie porobić dowody z geometrii aby nie być debilem matematycznym ale niestety teraz jestem.

toja: Dobrej nocy wszystkim

ZKS: n² + 12n + 17 = k² n² + 12n + 36 − 19 = k² (n + 6)² − k² = 19 (n + 6 − k)(n + 6 + k) = 19 Dalej to już łatwe.

toja: Ejj ZKS , to są zadania dla przyszłych ( anie przeszłych ) maturzystów! Daj Im się wykazać

rumpek: no właśnie nie zabieraj mi "chleba"

toja:

ZKS: Przepraszam. Już właśnie zaczynałem kolejne robić. Chciałem jakoś się odbudować po dowodach geometrycznych.

Vax: 1) n²+12n+17 = k² ⇔ (n+6)²−19 = k² ⇔ (n+6−k)(n+6+k) = 19 ⇔ {n+6−k = 1 {n+6+k = 19 ⇔ {n = 4 {k = 9 2) 123456789²+1 = 4²+1 = 2 (mod 5) a 2 jest nieresztą kwadratową mod 5. 3) 2^x2*3^y = 2^2x*3^x, skąd wynika (z jednoznaczności rozkładu liczby na czynniki pierwsze), że x² = 2x , x=y, czyli x=y=0 v x=y=2.

	1
4) 3(a2+b2+c2) ≥ (a+b+c)2 ⇔ a2+b2+c2 ≥ ab+ac+bc ⇔		((a−b)2+(a−c)2+(b−c)2) ≥ 0
	2

qed.

rumpek: Zad 1. n = 4 (ZKS podał jak rozwiązać więc teraz tylko wynik )

ZKS: Ach uwielbiam nierówności to ją sobie na karteczce napiszę.

Vax: A sorry...

rumpek: no to Vax mam już po Świętach

ICSP: W sumie Vax jest przyszłym maturzystą Teraz problem co będzie jak on wrzuci zadanie

Vax: Nie no zacząłem pisać tamto i nie zauważyłem, że napisaliście żeby nie pisać

ZKS: Vax chcesz nierówność jakąś?

Vax: No możesz dać, w sumie zaraz będę leciał spać to ktoś może jakieś zadanko za mnie wrzucić

toja:

ZKS: Niech x, y, z będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek x² + y² + z² = 1.

	1
Udowodnij, że x2yz + xy2z + xyz2 ≤		.
	3

Takie łatwe.

rumpek: no fajne fajne, tylko już chyba kiedyś robiłem podobne. Dobra będę spadał bo od rana trzeba szykować i pomagać także jakby nie było zrobione to zrobie jutro koło 22 Wesołych Świąt

Vax:

	1
xyz(x+y+z) ≤
	3

Ale z qm−am i qm−gm mamy odpowiednio:

	x2+y2+z2		1		x+y+z
√		= √		≥		⇔ x+y+z ≤ √3
	3		3		3

	x2+y2+z2		1		1		1
√		= √		≥ 3√xyz ⇔ xyz ≤		√		, skąd:
	3		3		3		3

	1		1		1
xyz(x+y+z) ≤		√		*√3 =		qed.
	3		3		3

ZKS:

	1		1
(x4 + y4 + z4) ≥		(x2 + y2 + z2)2 =		więc
	3		3

	1
1 = (x2 + y2 + z2)2 ≥		+ 2(x2yz + xy2z + xyz2)
	3

źdźbło: toja jest bardzo sympatyczna sądząc po emotkach