Dowodzenie, ciągi. Basiek: Dowodzenie, ciągi. Bry, chciałam zapytać o to zadanko: Dany jest ciąg geometryczny (cn) o pierwszym wyrazie c1 = 2⁵ i ilorazie q = 3. Wykaż, że ciąg (an) o wzorze ogólnym an = log₆ cn jest arytmetyczny. (Oblicz sumę jedenastu jego początkowych wyrazów i uzasadnij, że jest ona liczbą całkowitą). Chodzi mi głownie o część bez nawiasu, więc hm, czy dobrze myślę? −należy wyliczyć r poprzez odjęcie a_n − a_n−1 ? Mógłby o ktoś szybciutko przeliczyć, bo hm, doszłam do postaci log₆ 3=r , co pewnie jest źle...

Basia: c_n = 2⁵*3ⁿ⁻¹ c_n+1 = 2⁵*3ⁿ a_n+1−a_n = log₆(2⁵*3ⁿ) − log₆(2⁵*3ⁿ⁻¹) = log₆2⁵ + log₆3ⁿ − log₆2⁵ − log₆3ⁿ⁻¹ = n*log₆3 − (n−1)*log₆3 = [n − (n−1)]*log₆3 = log₆3

Basia: czyli policzyłaś dobrze

ZKS: log₆3 jest liczbą stałą i nie zależy od jakieś n−ki. Więc czemu ma być źle chociaż nie sprawdzałem tego.

Basiek: Wow. To już jakiś postęp. Mnie się to nie zdarza. Hm, to staram się liczyć dalej

Basiek: ZKS Po prostu.... zazwyczaj w takich zadaniach wychodzi jakaś ładna liczba, do której się nikt nie przyczepi. Taka jedynka np. , albo takie zero.

ZKS: Rozumiem właśnie dlatego myślałem że nie byłaś pewna swojego wyniku ale Basia potwierdziła Twój wynik.

Basiek: A ta suma... to jakimś cudem wyszła mi ładna, bo 55. Teraz to ja dopiero zwątpiłam.

Basiek: Mogę jeszcze jednym takim króciutkim zadankiem "sypnąć" ?

ZKS: Oczywiście.

Basiek:

	3
Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami losowymi takimi, że P(A) =
	5

	4
oraz P(B')=
	7

. Wykaż, że P(A ∩ B) ≠0 _____________________________________________ obliczyłam P(B), no i hm...

	41
P(A)+P(B)=		(>1 , czy to oznacza, że zbiory muszą mieć część wspólną, czy coś
	35

pomieszałam?) Prosiłabym o jakąś podpowiedź

ZKS: A co do tej sumy to na pewno Ci wyszło 55? Jeżeli tak to zapisz swoje obliczenia bo mi wyszło inaczej.

Basiek: Już spieszę zapisać:

	log6 610		10
S11 = U {log6 210 + log6 310}{2} *11=		*11=		*11= 55
	2		2

Hm... a potem się dziwić, że wątpię we własne wyniki, jak wychodzą nierówne. One są złe, nawet jak wychodzą ładne, śliczne i równe

ZKS:

	3		3
P(A) =		P(B) =
	5		7

	36
P(A) + P(B) =		Ale taki komentarz chyba powinien wystarczyć chociaż nie jestem
	35

dobry z prawdopodobieństwa.

Basiek:

	log6 210 + log6 310		log6 610
S11 =		*11 =		*11 =55
	2		2

Było do poprawki, przepraszam.

ZKS: Wiem dlaczego mi dziwny wynik wychodził bo sobie ubzdurałem że jest S₁₆ a nie S₁₁ hehe.

Basiek: Co do prawdopodobieństwa− właśnie doszłam do wniosku, że hm, P(A∪B) ≤1⇔ (tu wzór), że P(A∩B)≠0 Taaaa, dodawanie solą mi w oku! Ale kiedyś się nauczę

Basiek: Czyli to, co powyżej jest okej raczej? Tak?

ZKS: Moim zdaniem tak. Ale pamiętaj że nie jestem w tych tematach wybitny.

ZKS: Przychodzi potwierdzenie 672.

Basiek: ZKS − wymyślasz. Dla mnie naprawdę jesteś "wybitny" Dzięki, Twoja pomoc jest nieoceniona

Basiek: Hm, 672? ...

ZKS: Kliknij na to 672 . Mam dla Ciebie zadanko gotowa?

Basiek: Hm, pierwszy raz mi ktoś tak zalinkował. Tak jest, gotowa!

Basiek: Jeszcze się pochwalę: z tej kartki : http://www.xvlo.gda.pl/zadania%20na%20dowodzenie.pdf zostało mi jeszcze tylko jedno− 4. rozszerzenie. Ale to postaram się wymyślić jakoś jutro, a jak nie, to przybiegnę tu z krzykiem i płaczem

ZKS: Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x⁴ − x³ + 2x² − x + 1 > 0. Jeżeli Ci zostało tylko jedno to gratuluję. Ale musisz robić jeszcze więcej zadań aby dobrze zdać maturę.

Basiek: Pfff, nie wolno mnie straszyć ! Jak nie w tym roku, to w następnym, powiem sentencjonalnie. (Właśnie zniknęła moja nadzieja na odnalezienie pierwiastków całkowitych i podzielenie Hornerem...)

ICSP: ZKS ładna wtopa

Basiek: ICSP Cichooo! Nie pyskuj A teraz ekhem : UDOWODNIŁAM!

ZKS: Niestety ICSP zdarzają się takie przypadki ale rzadko.

ZKS: A jak udowodniłaś zaprezentuj.

Basiek: x²−x+1> −x⁴+x³−x² x²−x+1> −x²(x²−x+1) [tu już niemal miałam skracać, ale uświadomiłam sobie, ze jestem idiotką) x²−x+1 +x² (x²−x+1)>0 (x²−x+1)(x²+1) >0 Jak wiadomo spełnione zawsze.

ICSP: Nawet ładniej ode mnie

ZKS: Inny sposób chcę. Bliźniaczo podobne wykazanie widziałem już niedawno.

Basiek: Ech. Nie chwal się już tak! Przecież to oczywiste, że musiałabym mieć 3x więcej mózgów i tak 2 dodatkowe ręcę, żeby to zad. zrobić w tym czasie co Ty. Ale i tak mnie nie zrazisz. WYSZŁO. Tymczasem− chciałam zapytać (wiem, że to brzmi co najmniej śmiesznie, to pytanie) co w zasadzie znaczy cdn. na końcu tego typu zadań? Oprócz tego, że znaczenie jest mniej więcej "wykazano". Mnie się kojarzy tylko z ciąg dalszy nastąpi A skrótu rozwinąć nie umiem.

Basiek: Eeeej, nie moja wina, że ICSP jest tak szybki. Zresztą, zauważ, że on dostał to zadanie wcześniej niż ja. Niech on za karę robi jeszcze raz!

ZKS: c.n.d "co należało dowieść" c.n.u "co należało udowodnić" Basiek nie denerwuj się bo podobno złość wpływa na urodę.

ZKS: Heh ale to Ty masz maturę w bieżącym roku szkolnym a ICSP jest już po maturze.

ICSP: ZkS po co bawić się w jakieś inne sposoby skoro ten jest najprostszy

Basiek: O, dzięki. Człowiek z minuty na minuty się coraz mądrzejszy staje @ZKS− trzeba duuużo, duuuuuuużo więcej, żeby mnie zdenerwować. Na razie można powiedzieć jestem w świetnym humorze i daleko mi do zdenerwowania. Co do tego "złość wpływa na urodę" Słyszałam kiedyś takie powiedzenie: "Złość piękności szkodzi, a szastać nie masz czym" Staram się stosować

ZKS: Prosty też jest ale na pewno najłatwiejszy jest ten wyżej. Skoro ktoś potrafi to zrobić na kilka sposobów to później na maturze nie będzie miał z wykazywanie większych problemów tylko spojrzy i będzie wiedział który sobie może sposób wybrać "kreatywność".

ICSP: tylko że ja nie mam pomysłu jak się za to zabrać inaczej...

Basiek: Halo! No weźcie. Straszycie biedne dziewuszki jakąś tam maturą. I do tego dowodzeniem. A fe! Wstyd. A jeśli chcecie dowodzić tego na x sposób, to powodzenia, chętnie popatrzę

ZKS:

	1		1		3		3
x4 − x3 +		x2 + x2 − x +		+		x2 +		> 0
	4		4		4		4

	1		1		3
(x2 −		x)2 + (x −		)2 +		(x2 + 1) > 0
	2		2		4

	1
(x2 −		x)2 ≥ 0 dla x ∊ ℛ
	2

	1
(x −		)2 ≥ 0 dla x ∊ ℛ
	2

(x² + 1) > 0 dla x ∊ ℛ

	1		1		3
Stąd całe wyrażenie (x2 −		x)2 + (x −		)2 +		(x2 + 1) jest > 0.
	2		2		4

c.n.u

ICSP: przecież to praktycznie taki sam dowód Masz jeszcze jakieś ZKS ?

ZKS: Każdy dowód tego typu praktycznie na tym samym polega.

ICSP: Dlatego trzeba po prostu wpaść jak to pogrupować Pamiętam jak pierwszy raz dowodziłem tego co wczoraj podałeś xD

Basiek: Ech... wygląda mądrze. No cóż, zaczynam się przyzwyczajać. Znikam, bo rano pobudka. Dobranoc i dziękuję za wszystko

ZKS: Dobranoc Basiek . Ale o które zadanie chodzi ICSP?

Basiek: x⁴−x+1>0 ? Dalej tego nie rozwiązałam ^^

ZKS: Spróbuj podobnym sposobem co pokazałem tutaj i życzę udanego udowadniania.

ICSP: Z dowodzenia jestem kompletnym 0 wiec jakieś by się przydało.

Basiek: Cudownie. To po maturze. Od maja do października będę mieć mnóstwo czasu, żeby to rozgryźć

ZKS: Chcesz więcej takich co Vax je rozwiązał w ostatnim poście w 118221?

ZKS: 118221

ICSP: Jak Vax cos rozwiązywał to znaczy że nie takie Jakieś o 10 poziomów niższe

ZKS: To o które Ci zadanie chodzi? Podaj treść to będę wiedział jakie podobne Ci dać.

ICSP: może być podobne do tego co wczoraj mi dałeś na dobranoc Takie z parametrem

ZKS: Okej. Poszukam zamieszczę i też będę się szykował na spanko.

ZKS: Zbadaj liczbę rozwiązań równania cos2x − cosx + m = 0 w zależności od parametru m ∊ ℛ.

ICSP: 2cos²x − cosx − 1 + m = 0 t = cos t ∊ <−1;1> 2t² − t − 1 + m = 0 Dobrze myślę?

ZKS: .

ICSP: i nie wiem. Dużo przypadków. 1 rozwiązanie dla Δ = 0 1 rozwiązanie dla t₁ ∊ <1;1> oraz t₂ ∊ R\<−1;1> 2 rozwiązania dla t₁ ∊ <1;1> oraz t₂ ∊ <1;1> tylko problem w tym że to zapewne nie wszystkie przypadki. Czy istnieje sposób aby to jakoś uprościć. Jeżeli nie to jak zawrzeć warunki ?

ZKS: Rozpatrz tak przypadki: 1^o Równanie nie ma rozwiązań ⇔ I) Δ < 0 II) t ∉ <−1 ; 1> ⇒ af(−1) < 0 ∧ af(1) < 0 2^o Równanie ma nieskończenie wiele (bo x jest ℛ) ⇔ I) jedno dla Δ = 0 II) ma dwa Δ > 0 (t₁ < t₂) [−1 < t₁ < 1 < t₂] ∨ [t₁ < −1 < t₂ < 1] ∨ [−1 < t₁ < t₂ < 1]

ZKS: Sprawdzę Ci jak coś jutro jeżeli będę bo już lecę na spanie. Dobranoc miłego rozwiązywania zadania.

ICSP: Już nie myślę. Jutro się tym zadaniem zajmę