wartość bezwzględna
Kafol1995: Witam, jak rozpatrzeć przypadek |x2 − 3x| > 0 ?
20 gru 20:19
beti: nierówność jest spełniona dla wszystkich x∊R\{0}
20 gru 20:22
Basiek: moduł z jakiejś liczby jest ZAWSZE ≥ 0
Nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej, za wyjątkiem tej, dla której
wyrażenie jest równe 0 (bo my mamy >0, czy nie równe)
Rozwiązujesz Ix
2−3xI≠0
20 gru 20:22
Kafol1995: Dziękuje
20 gru 20:22
Aga: Z własności IaI>0 dla każdego a≠0
20 gru 20:22
think: narysuj parabolę x2 − 3x, wartość bezwzględna odbija to co jest pod osią nad oś, i odczytaj z
wykresu dla jakiś x−ów to wyrażenie jest dodatnie.
20 gru 20:23
Basiek: Beti, a nie x∊R\{0,3}
?
20 gru 20:23
krystek: Witaj Basiek powodzenia w obliczeniach!
20 gru 20:23
toja:
x∊R \{0, 3}
20 gru 20:23
Basiek: Bry,
Krystek w tym tygodniu jakoś tak wyszło, że nie mam matematyki− więc nie dziękuję
Póki co wypoczywam od obliczeń.
20 gru 20:25
beti: no tak, faktycznie− zjadłam 3
20 gru 20:25
Basiek: Smacznego !
20 gru 20:25
toja:
20 gru 20:25
krystek: Ale na forum pięknie pomagasz! Spokojnych Świąt −miłego wypoczynku!
20 gru 20:26
Basiek: Lepsze to niż nauka...
Dziękuję i wzajemnie.
20 gru 20:26
krystek: @
Basiek ale tym sposobem utrwalasz wiedzę, do matury jak znalazł!
20 gru 20:28
Godzio:
Zgadzam się z
krystkiem jestem na to żywym przykładem, robiąc zadania na forum (do tego
zrobiłem jeszcze jeden zbiór arkuszy z oficyny), zdałem ciałkiem dobrze maturę
20 gru 20:31
toja:
20 gru 20:32
Godzio: I oczywiście nie obyło się bez dodatkowych zadań od
Ety nad którymi czasem głowiłem się
kilka h
20 gru 20:33
krystek: Pozdrawiam Was również toja i Godzio
20 gru 20:33
Basiek: @
Godzio Mam wrażenie, że porównywanie mnie do Ciebie, trochę Cię obraża.
Co do
powtarzania− nie muszę, to jest jedyny plus w podręcznikach Pazdro.
Za to robienie zadań na
forum, które jakimś cudem umiem, pozwalają mi podwyższyć samoocenę
20 gru 20:37
ICSP: toja Gustlik mi wczoraj nie sprawdził
20 gru 20:38
toja:
Jest ok
20 gru 20:39
Godzio: Basiek, a w której LO jesteś?
20 gru 20:40
toja:
Może czekał na ... η
20 gru 20:40
ICSP: Może
Mogłabyś potwierdzić czy moje uzasadnienie wystarczyło czy trzeba to zupełnie inaczej zrobić?
20 gru 20:41
Godzio: Hehe
20 gru 20:41
toja:
Wklej link, bo nie chce mi się szukać
20 gru 20:42
Basiek: Godzio w ostatniej ! Też mi pytanie.
Niby dlaczego histeryzuję, jeśli nie z tego
powodu?
20 gru 20:43
toja:
2
Godzio ......... czemu tak się cieszysz ?
20 gru 20:43
20 gru 20:43
ICSP: Godziu zrobiłeś tamte dwa pozostałe zadanka?
20 gru 20:44
Godzio:
A mam dobry humor
A mam do nauczenia się na kartkówkę z logiki i jakoś ten dobry humor nie
pozwala mi zacząć
, @
Basiek nie zauważyłem żebyś histeryzował, a propo forum, zacząłem
w połowie 2 LO tutaj przesiadywać
I efekty są
Także robiąc tu zadania nie pożałujesz,
utrwalisz łatwe i pogłówkujesz się nad trudniejszymi
20 gru 20:45
Godzio:
Tak tak
Była kartkówka dokładnie takie samo polecenie jak w ostatnim zadaniu, dostałem maxa
20 gru 20:46
ICSP: a czy mógłbyś mi kiedyś podesłać rozwiązania do dwóch ostatnich?
Mogę dać meila albo gadu
20 gru 20:47
krystek: @
toja dla Ciebie
20 gru 20:47
Godzio:
Zaraz tutaj wrzucę linki do skanów, daj chwilę tylko je zrobię
20 gru 20:47
toja:
Dla
krystek 
20 gru 20:54
20 gru 21:00
Godzio:
Idę się uczyć nie ma to tamto
20 gru 21:01
Basiek: @
Godzio, efekty to będą, jak komputer wyłączę. Mam kilka osobistych zbiorków, które
przydałoby się kiedyś otworzyć.
A co do 2giej LO... wiesz, żałuję, że trochę wcześniej nie
zaczęłam tu przebywać, fakt. Ale teraz to już odrobinkę po fakcie
20 gru 21:02
Godzio:
Na forum jest mieszanka wszystkich zbiorów od oficyny po kiełbasę, aksjomat toruń i co tam
jeszcze wymyślili
20 gru 21:05
Basiek: W sumie racja, ale co Ty się czepiasz? Przecież siedzę i oglądam sobie te zadanka. Chociaż
wątpię, żebym przekroczyła magiczny próg 60%, zawsze mam równo tyle. Dla mnie to jest próg
opłacalności. I za nic nie mogę ruszyć z tego miejsca!
20 gru 21:10
ICSP: Dziekuję
Godziu.
Basiek, ja przesiaduję tutaj jakoś od stycznia tego roku. Zacząłem trochę późno bo dopiero
w połowie III klasy LO ale jakoś sobie radzę
Teraz jestem na studiach matematycznych z
wynikami z matury : 96/80. Przekroczenie 60% na podstawie to nie problem.
20 gru 21:12
toja:
20 gru 21:14
ICSP: toja jeśli się nie mylę to już 4 lata na forum
Dzieki temu chyba wszystkie zadania z udowadniania potrafi zrobić
20 gru 21:15
Basiek: P[ICSP] Dzięki za tak wysoką ocenę. Sęk w tym, że ja tu o podstawie nie mówię.
60% na
podstawie to faktycznie nie problem.
Z rozszerzenia już gorzej, prawda? Potrzebuję min.
75%. Teraz możesz mnie pocieszać. Dzięki
20 gru 21:17
Godzio: Basiek kiedy napisałem że się czepiam ?
20 gru 21:17
toja:
Hehe
4 lata na forum + 30 lat bakałarzem
20 gru 21:17
Basiek: @Godzio Ja się czepiałam i też nigdzie nie napisałam "Uwaga, teraz będę się czepiać", a poza
tym− matematycy, ech. Wszystkie słowa musicie analizować razem i każde z osobna? Musicie.
20 gru 21:20
Godzio:
Stwarzasz zaprzeczenia, najpierw mówisz, że inni się czepiają, teraz że Ty się czepiasz,
ogólnie nie wiadomo o co chodzi
20 gru 21:22
Basiek: To się nie wyklucza, ja to nie inni. Rozumiesz? Jak dwa zbiory rozłączne?
20 gru 21:23
ICSP: Spokój obydwaj.
Godzio logika czeka
Basiek przykład czeka:
rozłóż czynniki :
x4 + 1
20 gru 21:24
Godzio:
ICSP jutro ...
Wydrukuje sobie tylko rozwiązania zadań i tyle na dzisiaj, rano idę do
pracy więc nie będę się w niej nudził
20 gru 21:26
Basiek: Na moim poziomie dostając taki przykład pisze się ładnie:
"Wielomian nierozkładalny"
I cieszy się, ze nie trzeba nic robić.
20 gru 21:26
ICSP: Zmiana zadania.
Basiek doprowadź do prostszej postaci:
(x2 − √2x + 1)(x2 + √2x + 1)
20 gru 21:27
Godzio:
To akurat jest rozkładalny
20 gru 21:27
Godzio:
ICSP rachujesz już całkami ?
20 gru 21:28
krystek: Basiek rozwiąż juz było na forum !
20 gru 21:30
ICSP: Godziu niestety jeszcze nie. Zacznę pewnie w połowie drugiego semestru jak dobrze pójdzie
20 gru 21:30
toja:
x
4+1=(x
2+
√2*x+1)(x
2−
√2*x+1)
20 gru 21:30
Godzio:
A ile masz wykładów z analizy ? Coś wolno idziecie ?
20 gru 21:31
Basiek: Hm, w drugą stronę , tj. ze złożonej postaci− łopatologicznie mnożąc jedno przez drugie− umiem.
, ale jak z postaci x4+1 dojść do takiego rozłożenia? : O Bajka.
20 gru 21:32
ICSP: Jeden wykład tygodniowo i 3 godziny ćwiczeń tygodniowo.
grrr zła toja
zmieniłeś już danie Basiek na temat rozkładalności x4 + 1 w liczbach rzeczywistych?
20 gru 21:33
Godzio:
Aaa, ja mam 2 wykłady.
20 gru 21:34
Godzio:
Weź mi wyślij jakieś listy, jestem ciekawy zadań jakie macie.
20 gru 21:34
Basiek: ZmnieniŁAM. Widzę, ze się da. Tylko nie wiem jak. Cóż, pewnie kiedyś się dowiem
20 gru 21:35
ICSP: skanera niestety nie mam i nie mam jak zrzucić na kompa.
Musiałbym zrobić zdjęcie ale wtedy zła jakość jest.
20 gru 21:35
ICSP: to ci podpowiem
a + 0 = a
a = 2x2 − 2x2
2x2 = (√2x)x
próbuj teraz.
20 gru 21:36
Godzio:
Nie macie nic na necie ?
20 gru 21:36
ICSP: nieee. Wszystko na kartkach. Mniej więcej to samo co ty
Tylko my mamy więcej zadań z
parametrami.
20 gru 21:37
ICSP: zapomniałem jeszcze o a2 − b2 = (a−b)(a+b)
20 gru 21:38
Godzio:
Basiek w niektórych zadania trzeba sobie coś dopisać i odjąć żeby wyrównać jednocześnie:
patrz równania kwadratowe z parametrem typu
Dla jakiego m zachodzi x12 + x22 > 0
x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 − 2x1x2 = (x1 + x2)2 − 2x1x2
20 gru 21:38
20 gru 21:39
Godzio:
ICSP chodziło o takie podpowiedzi:
a + 0 = a
0 = 2x
2 − 2x
2
2x
2 = (
√2x)
2
20 gru 21:40
Basiek: Hm,
ICSP, co prawda nie widzę za bardzo związku z rzeczonym przykładem. Ale już łapię.
Trzeba było tylko wpaść na to, że powyższy wzór można zastosować dla 3 wyrazów. A reszta to
łopatologicznie. Jak "zrobić" 1 na końcu? x
4 na początku? Wykasować środek?
I jesteśmy u
celu
20 gru 21:41
ICSP: rzeczywiście
Godziu
20 gru 21:42
Godzio: Basiek tutaj masz ciekawsze zadania,
http://www.im.pwr.wroc.pl/kurs/
PWr organizuje ten kurs, bardzo przydatny do rozszerzenia, nie każe wysyłać, ale rozwiązywać
możesz, i jeśli miałbyś wątpliwości to tutaj wrzucaj, zawsze ktoś pomoże
20 gru 21:43
Basiek: @Godzio, ranisz moje uczucia. Akcję z odejmowaniem pewnych czynników załapałam rok lub 2 temu.
A powyższe wzorki dziwnie mi przypominają wzory Viete'a, czyli dalej pewnie będzie
| | −b | | c | |
( |
| )2−2( |
| ) |
| | a | | a | |
20 gru 21:43
Godzio:
Zgadza się
Chodziło mi tylko o metodę, którą czasem trzeba zauważyć, nie zaprzeczam że tego
nie umiesz,
20 gru 21:45
Godzio:
ICSP chcesz coś ambitniejszego
?
20 gru 21:46
Basiek: @Godzio Okej, okej. Przecież rozumiem
Następnym razem bd uważniej szukać wzorów skróconego
mnożenia. Za zadania dziękuję, z pewnością święta będą w tym roku urocze
20 gru 21:48
ICSP: Nie wiem czy dam radę
Godziu
20 gru 21:50
Basiek: Mogę jeszcze powrócić do tego nieszczęsnego x
4+1, bo coś mi nie wychodzi?
20 gru 21:52
Godzio: Wiedząc, że ln(x + 1) ≥ x dla x > −1 Udowodnij nierówność:
| | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| − ln(n) |
| | 2 | | n | |
20 gru 21:53
Basiek: x4+1= (x2+1)2−2x2= (x2+1−2x2)(x2+1+2x2)
Gdzie tu robię błąd?
20 gru 21:54
ICSP: −2x2 = − (√2x)2
20 gru 21:54
ICSP: Co do tej nierówności to nie mam szans nawet.
Po pierwsze nie widzę tutaj nierówności
Po drugie nie mam nawet pomysłu.
20 gru 21:55
Godzio:
Hmm, Basiek dla Ciebie:
Udowodnij, że:
a4 − a + 1 > 0 Dla a ∊ R
20 gru 21:55
Godzio: Yyy, nie napisałem
| | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| − ln(n) ≥ 0 |
| | 2 | | n | |
20 gru 21:56
Godzio:
Nie podawaj się od razu
20 gru 21:57
ICSP: nie ma mowy. Nie zrobię tego
20 gru 21:57
ICSP: Nie mam nawet pomysłu na to xD
20 gru 21:58
Godzio:
Weź przestań, jak spojrzę na zadnie to też nigdy nie mam pomysłu, trzeba się zastanowić !
20 gru 21:58
ICSP: czekaj chwilkę.
20 gru 21:59
ICSP: ln(x+1) ≥ x
| | 1 | | 1 | |
1 + |
| + ... + |
| ≥ ln(n) |
| | 2 | | n | |
lewa strona dąży do dwóch więc mogę zapisać
2 ≥ ln(n)
20 gru 22:02
Basiek: eeeeee,aaaaa....wiecie co?
Ja idę spać.
Póki co się poddaję
Od jutra mam wolne, to możemy pobawić się w "zagadki", okej?
Dziękuję.
20 gru 22:03
Godzio: Lewa jest ciągiem rozbieżnym do ∞, możemy zaraz to udowodnić,
20 gru 22:03
Godzio:
1 + 0.5 + 0,33 + 0,25 > 2 −− już wychodzi za 2
20 gru 22:05
ICSP: fuck...
20 gru 22:06
ICSP: Da się to zapisać w postaci jakiejś sumy ?
20 gru 22:06
ICSP: to może ja zrobię zadanie
Basieka bo proste jest
20 gru 22:09
Godzio:
Wskazówka: ln(n) trzeba jakoś rozpisać, ln(n) = ...
| | 1 | | 1 | |
Co do ciągu 1 + |
| + ... + |
| |
| | 2 | | n | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
1 + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + ... ≥ |
| | 2 | | 3 | | 4 | | 5 | | 6 | | 7 | | 8 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
1 + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + |
| + ... = |
| | 2 | | 4 | | 4 | | 8 | | 8 | | 8 | | 8 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
1 + |
| + 2 * |
| + 4 * |
| + ... = 1 + |
| + |
| + |
| + ... → ∞ |
| | 2 | | 4 | | 8 | | 2 | | 2 | | 2 | |
20 gru 22:09
Godzio:
ICSP da
20 gru 22:09
Basiek: Mam takie wrażenie, że dla Was wszystko jest proste...
Może jakaś MALUTKA podpowiedź?
20 gru 22:10
Godzio: Już się nad nim kiedyś męczyłeś, pamiętasz
?
20 gru 22:10
Godzio:
Co do tego ode mnie, dopisz i odejmij coś, i szukaj wzorów skróconego mnożenia, standardowo
20 gru 22:10
ICSP: Godziu chciałbym ci przypomnieć że nie znam granic, pochodnych, całek itp. Nie znam
również szeregów wiec jeżeli to zadanie opiera się chociaż o jedna z tych rzeczy nie dam rady
go zrobić
20 gru 22:12
Godzio:
Nie opiera się na żadnej rzeczy którą tu napisałeś
20 gru 22:12
ZKS:
Widziałem to gdzieś już w jakieś książce.
20 gru 22:13
Godzio:
| | 1 | | 1 | |
Granica 1 + |
| + ... |
| − ln(n) to stała Eulera, można sobie wygooglować |
| | 2 | | n | |
20 gru 22:14
ICSP: poddaje sie.
Idę pograć w Twierdzę
wszystkim
20 gru 22:15
Godzio:
ZKS zachęcam Ciebie również do tego zadania
, aczkolwiek znasz już trochę więcej, więc
nie zaszkodzi jakbyś udowodnił najpierw ln(x + 1) ≥ x dla x > − 1
20 gru 22:16
Godzio:
Heh, widzę
ICSP, że masz niezłe luzy na matematyce u siebie
20 gru 22:16
Basiek: @Godzio, czy jeżeli doszłam do postaci (a+1)
2>a
to mogę uznać zadanie za zakończone?
Dla ujemnych jest prawdziwe oczywiście, a dla dodatnich w zasadzie też... To jak?
20 gru 22:17
ICSP: dla a = −1
0 > −1
dla a = −2
1 > −2
wypisywać dalej?
20 gru 22:18
Basiek: No nie, przecież mówiłam, że jest spełnione, tylko pytam, czy na pewno okej
tak na wszelki
wypadek.
20 gru 22:19
ZKS:
Mi jeszcze został poprzednik do udowodnienia.
Ale spróbuje oczywiście.
Teraz to ja mam
tak dużo czasu wolnego ciągle rysunki dzisiaj sobie wolne zrobiłem od rysunków.
20 gru 22:19
ZKS:
Basiek nie rozumiem skąd postać tylko (a + 1)2 > a ?
20 gru 22:21
Basiek: Noooo, właśnie... Ja też nie wiem, jak mogło mi coś takiego wyjść. Ale chciałam się troszkę
pocieszyć, że coś mi wyszło...
20 gru 22:22
ZKS:
Próbuj
Godzio po coś dał to zadanie żebyś pogłówkowała trochę.
Te zadania nie robi się
od tak chyba że jesteś
Vaxem to od razu robisz.
20 gru 22:24
Godzio:
a
4 zniknęło
20 gru 22:24
Basiek: To ja może napiszę, a ktoś pomoże znaleźć kolejny rażący błąd:
a
4−a+1.0
(a
2+1)
2−2a
2−a>0
(a
2+1)
2>2a
2+a
a
4+2a
2+1>2a
2+a
a
4−a+1>0 (DOTĄD SKOREKTOWAŁAM JUŻ KILKA RAZY^^
I zrobiłam klasyczne zapętlenie− tej Pani na dziś już podziękujemy.
20 gru 22:27
Godzio: 1 = ...
0 = ...
Dwie wskazówki
20 gru 22:29
ZKS:
To ja dam od siebie do udowodnienia:
Wykazać że dla dodatnich a i b zachodzi nierówność.
| | 1 | | 1 | | a | | b | |
[(a + b)( |
| + |
| )]1/3 ≤ ( |
| )1/3 + ( |
| )1/3 |
| | a | | b | | b | | a | |
20 gru 22:30
Godzio:
Dla kogo
?
20 gru 22:31
Basiek: 0= log
a 1?
Mój mózg umiera.
20 gru 22:32
ZKS:
Tego to już nie wiem dla kogo.
20 gru 22:36
ZKS:
Basiek 2 można zapisać jako 1 + 1 albo 0 możemy zapisać jak y − y kombinuj.
20 gru 22:38
Basiek: A mogę mieć pytanie do Was obu −
ZKS i
Godzio
Jesteście przekonani, że to poziom licealny? Skąd Wy takie zadania bierzecie?!
20 gru 22:38
Godzio:
| a | |
| = t, po podniesieniu do 3 potęgi i zredukowaniu mamy: |
| b | |
0 ≤ 3t
2/3 − 2t
1/3 + 3 dla przejrzystości podstawię t
1/3 = u
0 ≤ 3u
2 − 2u + 3
Δ < 0 więc nierówność jest spełniona zawsze
Takie na szybko
20 gru 22:39
Godzio:
Zdecydowanie licealny,
0 = (?)
2 − (?)
2
20 gru 22:39
ZKS:
Tam ten to na pewno z liceum przykład czekaj za chwilę Ci coś takiego dam że
Vax by miał
problem.
20 gru 22:40
Basiek: Zaczynam się Was bać.
20 gru 22:41
Godzio:
Hehe, nie ma czego
Tylko z pozoru wyglądamy na dziwaków, w rzeczywistości jesteśmy całkiem
normalni
20 gru 22:46
ZKS:
Udowodnić dla rzeczywistych:
√2(a2 + b2) +
√2(b2 + c2) +
√2(a2 + c2) ≥
√3(a + b)2 + 3(b + c)2 + 3(a + c)2.
20 gru 22:47
ZKS:
Basiek to powinieneś zrobić w minutę z zegarkiem w ręku.
20 gru 22:48
Basiek: eeee, a ja już mówiłam, że jestem humanistką?
20 gru 22:50
ZKS:
Słyszeliśmy że lubisz też matematykę.
Nie no żartuję spróbuj zrobić to udowodnienie które Ci
Godzio podał.
20 gru 22:52
Basiek: Ych, OBIECUJĘ, że jutro będę to robić tak długo aż mi coś wyjdzie, albo popłaczę się nad
kartką, ok?
Teraz idę... nauczyć się całej mapy politycznej, trochę się chyba zagapiłam i coś dużo godzin.
20 gru 22:53
ZKS:
Idź się uczyć żeby nie było że przez nas się nie nauczyłaś bo Cię odciągamy od nauki hehe.
20 gru 22:57
ZKS:
Godzio mam pytanko czy na pewno powinno to być tak?
ln(x + 1) ≥ x dla x > − 1 ?
20 gru 22:59
ZKS:
Jak liczę pochodną to otrzymuję:
| 1 | |
| ≥ 1 co jest przecież nie prawdą? Hmm chyba że coś źle liczę albo nie to co trzeba. |
| x + 1 | |
20 gru 23:00
Godzio:
Jest na pewno ok,
Podam przykład, jeśli
1 > − 1 to jeżeli nałożę pochodną na obie strony to to dalej będzie prawdziwe ?
0 > 0 ?
Nie o to chodzi, ale coś z pochodnymi trzeba zrobić
20 gru 23:04
Godzio:
Albo może trochę lepszy
x
2 + 2x ≥ 1 Dla x ∊ R
2x + 2 ≥ 0 − a to już nie zachodzi ZAWSZE
20 gru 23:05
ZKS:
Ale dla x > −1 jest więc nie wiem jeżeli wszystko jest dobrze to będę dalej myślał.
20 gru 23:07
ZKS:
Pierwszy przykład dla x = 0 nie zachodzi.
20 gru 23:08
ZKS:
0 + 0 ≥ 1.
20 gru 23:09
Godzio: Yyy miał być −1
20 gru 23:11
Godzio:
Idę spać, w weekend się pobawię Twoim zadaniem jak nie zapomnę i oczekuje rozwiązania mojego
Dobranoc
20 gru 23:15
Basiek: Chłopcy?
Jeśli jesteście to...
Odnośnie tego przykładu z pierwiastkami, to trzeba do kwadratu, mnożyć, potem znów do kwadratu
i grupować/ odejmować/ dodawać? Liczę już , liczę... i trochę dużo liczenia.
PS. Stwierdziłam, że jutro od szkoły będzie wolne− to dla dobra matematyki.
20 gru 23:17
ZKS:
Mam chyba podobne zadania na kartce z matematyki.
ln(x + 1) ≥ x
ln(x + 1) − x ≥ 0
−x − 1 = 0 ⇒ x = −1 wartość max
Tylko co dalej. Chwila zastanowienia
20 gru 23:21
ZKS:
Dobranoc.
Basiek o które chodzi zadanie?
20 gru 23:22
Basiek: To od Ciebie dokładniej
Takie hm... monumentalne bym rzekła.
20 gru 23:24
ZKS:
Ale które dokładniej bo 2 zadania dawałem.
20 gru 23:27
Basiek: ZKS:
Udowodnić dla rzeczywistych:
√2(a2 + b2) + √2(b2 + c2) + √2(a2 + c2) ≥ √3(a + b)2 + 3(b + c)2 + 3(a + c)2.
(po wklejeniu wygląda troszkę inaczej, ale za nic tego nie przepiszę
)
Hm, coś 20 postów nad tym, tak żeby nie było wątpliwości
20 gru 23:29
ZKS:
Tym zadaniem się nawet nie zajmuj bo ono wymaga wielu innych znajomości.
A wiesz jak zrobić
zadanie podane przez
Godzia?
20 gru 23:33
Basiek: a
4 − a + 1 > 0
To?
Nie, zapętliłam się na dobre. Zdarza mi się średnio w co drugim zadaniu
20 gru 23:35
ZKS:
Kombinuj pamiętaj o podanych wskazówkach.
20 gru 23:40
Basiek: doszłam do postaci:
(a2−a+1)(a2+a−1)>a(a−1)
Co w zasadzie dalej nie daje mi nic. A cokolwiek nie wymyślę teraz, sprawia, że cofam się
gdzieś do tyłu.
20 gru 23:41
ZKS:
To trzymaj coś takiego jeszcze:
Udowodnić, że dla dowolnych a, b takich, że a ≥ b > 0 zachodzi nierówność:
| (a + b)2 | | a + b | | (a − b)2 | |
| ≤ |
| − √ab ≤ |
| . |
| 8a | | 2 | | 8b | |
20 gru 23:42
Basiek: Ups. Przy obu jedynkach po lewej ma być plusik, źle przepisałam.
20 gru 23:43
ZKS:
Chyba zła ta postać jest po prawej mamy: a4 − a2 + 2a − 1 a po lewej: a2 − a to nie jest
równe wyjściowej nierówności czyli a4 − a + 1.
20 gru 23:47
ZKS:
A chyba że jest plus to jest dobrze.
Ale już coś kombinujesz wskazówka spróbuj to złożyć to
wzoru skróconego mnożenia.
a
4 − a
2 + a
2 − a + 1 ≥ 0.
20 gru 23:50
Basiek: Hm, znów coś przekombinowałam, doszłam do postaci
a
2−a−1>0
Ale to coś ma deltę, więc nierówność nie jest spełniona →błąd→znów błąd!
Nigdy tego nie zrobię
20 gru 23:55
ZKS:
Ale dlaczego Ci znika a
4?
20 gru 23:58
Godzio:
Lol musiałem wrócić
| | 1 | | 1 | | 1 | |
a4 − a2 + a2 − a + |
| + |
| + |
| > 0 |
| | 4 | | 4 | | 2 | |
20 gru 23:59
ZKS:
A to dlaczego musiałeś wrócić?
21 gru 00:01
Basiek: a
4 zniknęło mi, bo gdzieś się skróciło− czysta magia
21 gru 00:01
ZKS:
To już masz taką wskazówkę którą podał
Godzio że powinnaś to rozwiązać.
21 gru 00:03
Basiek: Powinnam wiele rzeczy...
21 gru 00:03
ZKS:
Na przykład?
21 gru 00:05
Basiek: Jutro wstać przed 6tą, żeby iść do szkoły?
Płakać w poduszkę, że nie umiem tych Waszych dziwnych przykładów?
Rozpocząć święta bez matematyki?
A jak to ja − wszystko na odwrót
21 gru 00:06
Godzio:
Mam gorzej, muszę wstać o 5
21 gru 00:08
ZKS:
Czy to są dziwne przykłady bym mógł Ci podać bardziej dziwne.
21 gru 00:08
Godzio: A wróciłem dlatego, że musiałem wiedzieć czy coś tu czynicie czy nie
21 gru 00:08
Godzio:
Chcesz dziwny przykład, udowodnij, że |x| = |−x|
21 gru 00:09
ZKS:
Godzio czy na pewno jest tam ln(x + 1)
> x ?
Coś mi nie wychodzi nadal ale jeszcze
raz na kartce sobie zrobię i zapiszę co mam.
21 gru 00:10
Basiek: Hm, ja postanowiłam nie wstawać. Moim celem życiowym zostało zrobienie tego. Można założyć, że
spać nie idę. Wstawać rano też już nie muszę...
@ZKS− Ani mi się waż, koszmary będę mieć!
Ale wierzę na słowo, że masz gdzieś pod ręką inne
paskudztwo
@Godzio− nie przejmuj się, ja tu nic nie czynię, prócz błędów, z czystym sercem możesz iść spać
21 gru 00:10
Godzio:
Poczekam, co tu
ZKS wymodził
21 gru 00:11
Basiek: @Godzio?
A jakby ten przykład z modułem udowodnić powołując się na wykresy?
21 gru 00:12
Godzio:
Jasne, że ma być w drugą stronę, czeski błąd
ln(x + 1) ≤ x
21 gru 00:13
Godzio:
Kiepski dowód
Dysponujesz tylko definicją
21 gru 00:13
Basiek: Ale z def.
| | ⎧ | x dla x≥0 | |
| IxI= | ⎩ | −x dla x<0 |
|
a z I−xI jest przecież odwrotnie?
Kto powiedział, że matematyka jest logiczna?
21 gru 00:17
Godzio:
Rozpisz |−x|, przypadek x = 0 rozpatrz osobno
21 gru 00:18
ZKS:
To tak :
ln(x + 1) > x
ln(x + 1) − x > 0
| −x | |
| = 0 ⇔x = 0 (wartość max ponieważ pochodna zmienia znak z plusa na minus) |
| x + 1 | |
f'(x) > 0 ⇔ −x(x + 1) > 0 ⇒ x ∊ (−1 ; 0) wtedy funkcja jest rosnąca
f'(x) < 0 ⇔ −x(x + 1) < 0 ⇒ x ∊ (−
∞ ; −1) ∪ (0 ;
∞) ale ze względu na dziedzinę dostaję
x ∊ (0 ;
∞) wtedy funkcja jest malejąca.
Tyle wymodziłem.
21 gru 00:18
Basiek: | | ⎧ | x dla x<0 | |
| I−xI= | ⎩ | −x dla x>0 |
|
dla x=0 ⇔IxI=0 ∧ I−xI=0, w zerze się pokrywają, nawet jeśli rozpiszemy z def. , ale co z
resztą?
21 gru 00:20
ZKS:
I dlatego mi coś tu nie wychodzi bo się dopytywałem Ciebie czy na pewno ln(x + 1)
≥ x.
21 gru 00:20
Godzio:
O to chodziło, dokładniej, definiujesz funkcję f(x) = ln(x + 1) − x i pokazujesz że f(x) w
swojej dziedzinie jest zawsze nie większa od zera, jak by się narysowało szkic wykresu to
widać że funkcja osiąga w 0 maksimum, w − 1 ma asymptotę pionową co kończy dowód
21 gru 00:21
Godzio:
Popraw, źle rozpisane |−x|
21 gru 00:22
ZKS:
Dzięki teraz już bardziej przejrzałem na oczy.
Mam właśnie na swojej kartce (przykładowe do
udowodnienia)
2xarctg(x) > ln(1 + x
2) dla x > 0.
21 gru 00:23
Basiek: czyli hm,
| | ⎧ | x dla x>0 | |
| I−xI= | ⎩ | −x dla x<0 |
|
21 gru 00:26
Godzio:
No to teraz to już pikuś
,
Zapiszę:
| | ⎧ | x dla x > 0 | |
| |x| = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | −x dla x < 0 | |
| | ⎧ | −x dla −x > 0 | |
| |−x| = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | x dla −x < 0 | |
czyli
| | ⎧ | −x dla x < 0 | |
| |−x| = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | x dla x > 0 | |
Jak widzimy otrzymaliśmy dokładnie to samo |x| = |−x| co kończy dowód, tyle na dzisiaj i już na
prawdę idę spać
21 gru 00:27
21 gru 00:29
ZKS:
Ciekawe czy można było by tak jako że są to obydwie strony dodatnie podnieść do kwadratu:
|x| = |−x| /
2
x
2 = (−x)
2
x
2 = x
2
0 = 0
21 gru 00:32
ZKS:
Ale to jest zakres podstawowy.
21 gru 00:33
ZKS:
Eee jednak są niżej nie zauważyłem.
21 gru 00:34
Basiek: Skoro obie są dodatnie, to chyba można O.o I wychodzi z tego taka ładna tożsamość... też będę
kiedyś tak mądra?
21 gru 00:34
Basiek: Wiesz co? Ja chyba zacznę od tego zakresu podstawowego. Chyba dowodzenie różnych rzeczy mi nie
idzie. Ale mam jeszcze 139 dni !
21 gru 00:35
ZKS:
Zacznij rozszerzenie a podstawę krótko mówiąc olej jeżeli jesteś zdecydowana na rozszerzenie w
100%.
21 gru 00:39
ZKS:
A to jak kiedyś może ktoś będzie mi to mógł sprawdzić.
f(x) = 2xarctg(x) − ln(1 + x
2)
| | 2x | | 2x | |
f'(x) = 2arctg(x) + |
| − |
| |
| | 1 + x2 | | 1 + x2 | |
arctg(x) = 0 ⇒ x = 0 (min)
arctg(x) > 0 ⇒ x > 0 f(x) rośnie
arctg(x) < 0 ⇒ x < 0 f(x) maleje
21 gru 00:40
ZKS:
Spróbuj zrobić zadanie 1 z rozszerzenia.
21 gru 00:41
Basiek: Ja nie tyle jestem zdecydowana, co nie mam wyboru. Jednak to dowodzenie sprawia mi trudność.
Tych zadań jest 12. Więc w zasadzie, mogę je sobie napisać.
Poza tym w przeliczniku 60% rozsz= 100% podstawa. Więc chciałabym się przyłożyć do obu
Tymczasem nie robię raczej żadnych zad. z podstawy, bo nie mam po prostu takich książek/
zbiorów (oprócz jednego do podst). W zasadzie zad. z podstawy robię tylko tu na forum
21 gru 00:43
ZKS:
Ale jeżeli lepiej napiszesz rozszerzenie to więcej punktów.
A to dlaczego nie masz wyboru?
21 gru 00:45
Basiek: Zad 1:
6⋀6∊C
21 gru 00:45
Basiek: Dlatego, że potrzebuję sporo punktów tam, gdzie chcę się dostać. A ja bardzo chcę. Można to
nazwać silną potrzebą wewnętrzną
21 gru 00:46
ZKS:
A gdzie się chcesz dostać?
21 gru 00:48
Basiek: Finanse i rachunkowość na U. Ekon. w Krakowie
I w zasadzie nie chcę− ja muszę. Naprawdę.
21 gru 00:49
ZKS:
Jak doszłaś do tego wyniku?
21 gru 00:50
ZKS:
A dlaczego musisz za chłopakiem jedziesz że musisz?
21 gru 00:50
ZKS:
Oczywiście w poprzednim pytaniu mi chodziło o wynik zadania?
21 gru 00:51
Basiek: poprzez zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, potem moduły , oba większe >0 ⇒ można pominąć,
√5 się skróci⇒ 3+3=6 ?
21 gru 00:51
Basiek: Muszę, bo w zasadzie− co ja mogę robić? Na techniczne nie pójdę, bo fizyką się brzydzę, na
humanistyczne− też nie, bo równie dobrze mogę skończyć edukację teraz.... to idę na
ekonomiczne. Poza tym ta tematyka mi się podoba. Tylko trzeba mieć końskie nerwy
21 gru 00:53
ZKS:
Wszystko dobrze jest na to kilka sposobów ale ten który podajesz jest najszybszy.
Nauczycielka z wami przerabiała takie zadanie że potrafisz je rozwiązać czy sama doszłaś?
21 gru 00:53
ZKS:
To ja Ci tak powiem też fizyką się brzydzę i poszedłem na studia techniczne i powiem że jest
naprawdę fajnie ciężko jak to zawsze jest ale fajnie nawet z głupią fizyką na studiach już
jest dużo ciekawsza fizyka.
21 gru 00:55
ZKS:
Dla pewnego ciągu liczbowego (a
n) i dowolnej liczby naturalnej n 1 suma n
początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S
n = 2n
2 + n. Udowodnij, ze ciąg (a
n)
jest arytmetyczny.
Ostatnie i daję Ci spokój.
21 gru 00:56
ZKS:
Zadanie 7 z rozszerzenia.
21 gru 00:57
Basiek: Hm, mieliśmy coś takiego w zbiorze, na lekcji raczej niewiele przerabiamy. Ogólnie z lekcji
matematyki niewiele wyniosłam. ale w jakimś zbiorze tych zadań było kilka/ kilkanaście. Więc
mi utknęło w pamięci. (Uczę się schematycznie
)
A fizyka... ja jej po prostu nie pojmuję
Może nie tyle jest głupia, co trzeba czasem usiąść,
pomyśleć, zastanowić się, zrobić jakieś zadanko. Wtedy pewnie jest ok.
Wszystkich, którzy są na porządnej uczelni na kierunkach technicznych szczerze podziwiam
21 gru 00:58
ZKS:
Nie rezygnuj ze szkół technicznych ze względu na fizykę. Mówię Ci że warto iść na studia takie.
Tak jak mówisz miałem to samo w liceum nie rozumiałem nic z fizyki poszedłem na studia
dosłownie z zerową wiedzą a teraz już jest dużo lepiej po samych wykładach i ćwiczeniach.
21 gru 01:01
Basiek: Hm, mam problem z tym ostatnim zadaniem, dość spory zresztą. Czekam aż mnie oświeci
Wiesz, może i Ty lubisz takie techniczne przedmioty itd., jeśli mam byś szczera, to jedyny
powód dla jakiego poszłabym na techniczne studia jest 1) łatwiej znaleźć pracę , 2) dużo
facetów. Z tym, że mnie po prostu nie interesują techniczne kierunki, robiłabym to trochę tak
na siłę. Pewnie, że bym skończyła i to z dobrymi wynikami, jak znam siebie. Ale to byłoby
takie umartwianie się na siłę. Mówię to po 2,5 roku mat−fizu
21 gru 01:06
ZKS:
Fizyki akurat w liceum nie lubiłem więc też się to czego obawiałem to fizyka ale aż taka
straszna nie jest.
2) powód jest najlepszy hehe.
I co do ostatniego zadania nic Ci nie przychodzi do głowy?
21 gru 01:09
Basiek: Mam z fizyki 5!
Aczkolwiek nie sprawia mi przyjemności babranie się w jej odmętach. Chociaż
kiedyś ją uwielbiałam (kobieta zmienną jest).
Coś przychodzi....
Ale nie mam pojęcia, czy będzie ok.
| | an+1+an−1 | |
ogólne założenie, do którego chcę dojść to : an= |
| |
| | 2 | |
No i potem 3 równania:
a
n+1 = S
an+1 −S
n
to samo wypisałabym dla a
n−1 i dla samego a
n
i sprawdziła, czy się zgadza. (?)
21 gru 01:14
ZKS:
Skoro jak napisałaś że a
n + 1 = S
n + 1 − S
n to wstaw a
n zamiast a
n + 1 i pozmieniaj
coś w prawej stronie równania.
21 gru 01:19
Basiek: Ale ja rozumiem, tak też zrobiłam, co zresztą powinno mi wyjść, ale gdzieś mam błąd w
obliczeniach.
Wychodzi mi a
n = 2n−1
a z sumy aenów= 5n−2
Czyli standardowo. Czas nauczyć się liczyć
Ale metoda jest okej, tak? Na żadną inną nie wpadłam, a poświęciłam na to całe 2 min, mojego
życia. No i 4 min na szukanie karty wzorów
21 gru 01:21
ZKS:
Tak w porządku a
n = S
n − S
n − 1
S
n − 1 = 2n
2 − 4n + 2 + n − 1
a
n = 2n
2 + n − 2n
2 + 4n − 2 − n + 1 = 4n − 1
Jeżeli ma być to ciąg arytmetyczny to ma zachodzić a
n − a
n − 1 = r = const
a
n − 1 = 4n − 5
r = 4 więc jest to ciąg arytmetyczny.
21 gru 01:27
Basiek: Ekhem...
Czuję się głupia. Aczkolwiek dziękuję. Bardzo.
Tu o ile się nie mylę, powinieneś podstawić r pod wzór na sumę ciągu i sprawdzić, czy wyjdzie
Ci to samo. (Do teraz pamiętam, jak przemiła nauczycielka patrzyła bazyliszkowym wzorkiem na
tego, kto śmiał tego nie dopisać). ?
No i ten... moim by na pewno nie wyszło nic, gdybym umiała liczyć?
Powinno też być okej,
prawda?
21 gru 01:30
ZKS:
Nie rozumiem że jak powinienem podstawić r pod wzór na sumę ciągu i sprawdzić?
Jeżeli mam sprawdzić czy jest on arytmetyczny musi zachodzić a
n − a
n − 1 = r i to r nie
może być uzależnione od n bo wtedy by nie była stała.
21 gru 01:36
Basiek: No , okej. Z tym, że teraz chyba powinieneś na podstawie tego r sprawdzić, czy wychodzi ta sama
suma ciągu, która była podana w zadaniu. Suma ciągu arytm. dla n wyrazów, przy r=4 i jak się
zgadza, to dowód zakończony. Coś w tym guście.
21 gru 01:38
Basiek: A w zasadzie nie wiem, czy powinieneś. ale nauczycielka nam tak wpierała
Ja jestem laikiem.
21 gru 01:41
ZKS:
Ale nic nie trzeba więcej robić i sprawdzać wystarczy że pokażesz że a
n − a
n − 1 jest
liczbą stała to ten ciąg jest arytmetyczny.
21 gru 01:41
Basiek: Dobrze, w zasadzie osobiście się z Tobą zgadzam, tylko co innego mam w "wklepane" do głowy
łapię w każdym razie zadanie.
21 gru 01:42
ZKS:
To niestety złych nawyków trzeba się pozbyć.
21 gru 01:43
Basiek: Własnie pozbywam się nawyku, jakim jest siła odmatematyczna
21 gru 01:44
ZKS:
Hehe.
Chcesz jeszcze jakieś zadanie na dobranoc?
21 gru 01:46
Basiek: Właśnie myślę nad 2−jką?
Wygląda ... dziwnie.
21 gru 01:48
ZKS:
Rozszerzenie?
21 gru 01:50
Basiek: Tak jest
Jestem w trakcie zamieniania sinuska
Bo domyślam się, że muszę mieć jakąś długość.
21 gru 01:51
ZKS:
| | π | |
Jaki to kąt |
| ? |
| | 12 | |
21 gru 01:53
ICSP: Mogę o jakieś prosić
21 gru 01:53
Basiek: I ze wzorków redukcyjnych dalej robię.
21 gru 01:55
ICSP: to mozę ja zrobię to drugie
U{
√5{2}
ustalam żę największym bokiem będzie :
i korzystam z twierdzenia cosinusów.
| | π | | π | | π | | π | | 5 | |
sin2 |
| + cos2 |
| − 2sin |
| cos |
| * cosγ = |
| |
| | 12 | | 12 | | 12 | | 12 | | 4 | |
γ = − 120
o czyli mamy tójkat rozwartokątny.
Dziwne zę taki ładny wynik wyszedł xD
Takie zadania to ja mogę dowodzić całą noc
21 gru 01:56
ICSP: γ = 120o bez minusa xD
21 gru 01:57
ZKS:
ICSP proszę:
Dla jakich wartości parametru m równanie
x4 − (3m + 2)x2 + m2 = 0 ma pierwiastki które
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
21 gru 01:57
Basiek: Ech. Ja zawsze okrężną drogą. Super
21 gru 01:59
ICSP: rozważmy równanie dwukwadratowe o współczynnikach :
x
4 + px
2 + q
u nas :
p = −(3m+2)
q = m
2
jeżeli a jest pierwiastkiem i ma tworzyć ciąg arytmetyczne to oczywista jest zależność że
pierwiastki to :
−3a, −a, a , 3a
wymnóżmy to :
(x+3a)(x−3a)(x+a)(x−a) = (x
2 − 9a
2)(x
2 − a
2) = (x
4 − 10a
2x
2 + 9a
4)
−10a
2 = p ⇔ 9p
2 = 900a
4
9a
4 = q ⇔ 100q = 900a
4
mamy więc równość :
9p
2 = 100q
podstawiamy :
9[−(3m+2)]
2 = 100 * m
2
9(9m
2 + 12m + 4) = 100m
2
81m
2 + 12m + 4 − 100m
2 = 0
−19m
2 + 12m + 4 = 0
Δ = 144 + 304 = 448
√Δ =
√448 = 8
√7
| | −12 ± 8√7 | | 6 ± 4√7 | |
m = |
| = |
| |
| | −38 | | 19 | |
21 gru 02:07
ICSP: Mów ile błędów
21 gru 02:07
ICSP: o boże.
Czekaj. Nie wymnożyłem nawiasu
21 gru 02:09
ICSP: 9(9m
2 + 12m + 4) = 100m
2
81m
2 + 108m + 36 − 100m
2 = 0
19m
2 − 108m − 36 = 0
Δ = 11664 + 2736 = 14400
√Δ = 120
m
1 = 6
21 gru 02:12
ZKS:
Jeszcze jeden parametr spełnia.
21 gru 02:15
ICSP: chwilkę. Zaraz go znajdę.
21 gru 02:16
ZKS:
Okej. Jeszcze chwilkę zaczekam bo za chwilę już będę szedł.
21 gru 02:18
Basiek: Zrobiłam jeszcze 3 i 6 z rozszerzonego.
Na jutro zostaje 4 i 5
+ podstawa. Dziękuję za wszystko.
Słodkich snów
21 gru 02:23
ZKS:
Dobranoc.
Miłych snów
.
21 gru 02:23
ICSP: nie mam pomysłu.
21 gru 02:23
ZKS:
Zresztą ja też za sekundę będę szykował.
21 gru 02:25
ZKS:
Mówić czy chcesz się pogłowić jeszcze?
21 gru 02:26
ICSP: mała podpowiedź.
21 gru 02:28
ZKS:
Mała podpowiedź hmm. To tak równanie nie musi mieć aż 4 rozwiązań.
21 gru 02:30
21 gru 02:31
ZKS:
.
21 gru 02:31
ICSP: ...
Z dwóch nie utworzę przecież ciągu arytmetycznego.
Mam więc szukać trzech?
21 gru 02:32
ICSP: Chyba że drugie będzie 0...
21 gru 02:32
ZKS:
No no czyli jaki ten parametr?
21 gru 02:34
ICSP: m = 0 ?
21 gru 02:34
ZKS:
Teraz jest wszystko w porządku mogę z czystym sumieniem iść na spanie.
Dobranoc.
21 gru 02:35
ICSP: Dziękuję i życzę miłych snów
21 gru 02:36
Vax: √2a2+2b2+√2a2+2c2+√2b2+2c2 ≥ √6a2+6b2+6c2+6ab+6ac+6bc
Ale z nierówności Minkowskiego:
√a2+a2+b2+b2+√a2+a2+c2+c2+√b2+b2+c2+c2 ≥
√(2a+b)2+(2a+b)2+(2c+b)2+(2c+b)2 = √8a2+4b2+8c2+8ab+8bc ≥
√6a2+6b2+6c2+6ab+6ac+6bc
⇔
2a2+2c2+2ab+2bc ≥ 2b2+6ac ⇔
a2+a(b−3c)+c2+bc−b2 ≥ 0
Traktujemy to jako trójmian niewiadomej a, chcemy, aby Δ ≥ 0:
(b−3c)2−4(c2+bc−b2) ≥ 0 ⇔ 9c2−6bc+b2−4c2−4bc+4b2 ≥ 0 ⇔ 5b2−10bc+5c2 ≥ 0 ⇔ (b−c)2 ≥ 0
cnd.
21 gru 17:44
AC:
Coś nie pasuje.
Obiczmy
√Δ = |b−c|
trójmian będzie < 0 dla a∊ ( a
1; a
2)
22 gru 09:21
Vax: Oj, racja. Chcielibyśmy aby Δ < 0, co jednak nie zajdzie, czyli nierówność Minkowskiego daje
ostre przeszacowanie, można więc trochę ,,przepałować", możemy założyć, że nasze niewiadome są
nieujemne (po lewej stronie niewiadome są w parzystych potęgach, więc niezależnie czy są
ujemne czy nie, dostaniemy to samo wyrażenie), podnosząc do kwadratu i redukując wyrazy
podobne dochodzimy do:
2√(a2+b2)(a2+c2)+2√(a2+b2)(b2+c2)+2√(b2+c2)(a2+c2) ≥ a2+b2+c2+3(ab+ac+bc)
Teraz zauważmy, że (x−y)2 ≥ 0 ⇔ √2*√x2+y2 = √2x2+2y2 ≥ x+y, na mocy tego mamy więc
√2*√a2+b2 ≥ a+b , √2*√a2+c2 ≥ a+c, więc 2√(a2+b2)(a2+c2) ≥ (a+b)(a+c) =
a2+ac+ab+bc, analogicznie piszemy 2 podobne nierówności, które po dodaniu stronami dadzą nam
tezę.
22 gru 15:36
