Nie mogę tego zrobić, proszę o pomoc M.: 1. Sinus kąta α∈( pi; 3pi/2) jest o √2/2 większy od kosinusa tego kąta. oblicz cos α 2. rozstrzygnij czy dla kazdej liczby X∈(0; pi) zachodzi rownosc ctgx + sinx/1+cosx = 1/sinx

Basia: ad.1 sinα = cosα + √2/2 sin²α + cos²α = 1 ( cosα + √2/2)² + cos²α = 1 cos²α + √2*cosα + (2/4) + cos²α = 1 2cos²α + √2*cosα - (1/2) = 0 t = cosα i α∈(π/2; 3π/2) -1 < t < 0 2t² + √2*t - (1/2) = 0 Δ = (√2)² - 4*2*(-1/2) = 2 + 4 = 6 √Δ = √6 t₁ = (-√2-√6)/4 = -(√2+√6)/4 t₂ = (-√2+√6)/4 t₁ < 0 musimy sprawdzić czy t₁ > -1 przypuśćmy, że tak wtedy byłoby: -(√2+√6)/4 > -1 /*(-1) (√2+√6)/4 < 1 /*4 √2 + √6 < 4 podnosimy obustronnie do kwadratu 2 + 2√2*√6 + 4 < 16 2√12 < 10 2√4*3 < 10 4√3 < 10 √3 < 10/4 = 5/2 podnosimy obustronnie do kwadratu 3 < 25/4 i tak jest czyli cosα = -(√2+√6)/4 --------------------------------- t₂ = (-√2+√6)/4 > 0 czyli cosα ≠ (√6 - √2)/4 ---------------------------- odp.: cosα = -(√2+√6)/4

M.: dziękuję czy mogę nap jeszcze pare zadan z tego dzialu? ja tego poprostu nie rozumiem...

Basia: rozstrzygnij czy dla kazdej liczby x∈(0; π) zachodzi rownosc ctgx + sinx/(1+cosx) = 1/sinx 1 + cosx ≠ 0 cosx ≠ -1 w przedziale (0;π) cosinus nie przyjmuje wartości -1 nie ma zastrzeżeń sinx ≠ 0 x ≠ π/2 powyższa równość nie zachodzi dla π/2 ∈ (0; π) czyli nie inaczej można powiedzieć, że powyższa równość zachodzi dla x∈(0;π)\{π/2} = (0;π/2) u (π/2;π)

Basia: Napisz, ale może spróbujemy razem je rozwiązać.

M.: 2 + 2√2*√6 + 4 < 16 a czy tu nie powinno byc 2+2√2*√6+6<16

M.: ok. zadanie:uzasadnij, że wartość wyrażenia cos2α+8sin²1/2α*cos²1/2α nie należy do wartości zmiennej x

M.: no własnie mi też wyszło że nie zachodzi a w odp mam ze zachodzi...

Basia: oczywiście, że powinno, ale i tak jest o.k. 2√12 < 8 √12 < 4 tak jest na pewno bo 4 = √16

Basia: W odpowiedziach bywają błędy.

Basia: Dobrze to czytam ? cos2α+8sin²(α/2)*cos²(α/2)

M.: cos2α + 8 sin² *(1/2) α * cos² *(1/2)α

Basia: Jeżeli dobrze to zapiszmy to tak: cos2α + 2*4*[sin(α/2)*cos(α/2)]² = cos2α + 2*2²*[sin(α/2)*cos(α/2)]² = cos2α + 2*[2sin(α/2)*cos(α/2)]² poszukaj teraz wzorów na cos2α i sin2α i zastanów się czym można zastąpić wyrażenie 2sin(α/2)*cos(α/2)

Basia: 1 α (1/2)*α = ----*α = ----- = (α/2) 2 2 zgadza się ?

M.: tak

Basia: no to szukaj wzorów i myśl czym zastapić 2sin(α/2)*cos(α/2)

Basia: wzory są na tej stronie; link 1543

M.: sin2α=2sinαcosα może być taki?

Basia: nawet musi jeszcze cos2α

M.: cos2α= 2cos²α-1

M.: no na tej str jest trochę inny...

M.: ale na jedno wychodzi

Basia: to prawda, ale nam by się przydał inny cos2α = cos²α - sin²α a teraz skoro: 2sinαcosα = sin2α to 2sin(α/2)cos(α/2) = ile?

Basia: po lewej stronie zamiast α mamy α/2 to po prawej też w miejsce α wstawiamy α/2 to ile wyjdzie ?

M.: sin2α /2 ?

Basia: dobrze; ale 2α/2 = ile ?

M.: α

Basia: właściwie to jest sin(2α/2)

M.: czyli sinα ?

Basia: o.k. czyli mamy: 2sin(α/2)cos(α/2) = sinα cos2α = cos²α - sin²α i podstawiamy do cos2α + 2*[2sin(α/2)*cos(α/2)]² co dostaniemy ?

M.: chwilke, musze sobie przepisac na kartke

M.: cos²α -sin²α+2sinα

Basia: niezupełnie cos²α - sin²α + 2(sinα)² = cos²α - sin²α + 2sin²α = napisz co dalej

M.: sin²α+cos²α=1

Basia: oczywiście = cos²α + sin2^α = 1 czyli pokazaliśmy, że cos2α + 8 sin² *(1/2) α * cos² *(1/2)α = 1 dla każdego kąta α czyli nie zależy od α

Basia: oczywiście = cos²α + sin2^α = 1 czyli pokazaliśmy, że cos2α + 8 sin² *(1/2) α * cos² *(1/2)α = 1 dla każdego kąta α czyli nie zależy od α

M.: dobrze? a jakie bedzie uzasadnienie?

Basia: Zrozumiałeś jako tako ?

M.: a no tak swietne dziekuje moze kolejne?

M.: no ze trzeba podstawiac pod wzorki i szukac odpowiednich

Basia: Cały ten rachunek jest uzasadnieniem. Ostateczna odpowiedź może być taka: Ponieważ, jak pokazaliśmy wyżej cos2α + 8 sin² *(1/2) α * cos² *(1/2)α = 1 dla każdego kąta α to wartość wyrażenia nie zależy od zmiennej α a wartość wyrażenia cos2x + 8 sin² *(1/2) x * cos² *(1/2)x nie zależy od zmiennej x (wartość tego z α na pewno nie zależy od x bo tam po prostu nie ma x, ale to zwykła literówka miało być od α )

Basia: a tam po sin² i po cos² nie może być * 8sin²[(1/2)α] i cos²[(1/2)α] tak trzeba pisać

M.: ok a czy x i y to moze byc to samo co α i β?

M.: wiem wiem

M.: bo to do nast zadania mi potrzebne. dziekuje rozjasnilo mi sie troche w umysle

Basia: zasadniczo tak, ale zwyczajowo α, β,.... to kąty w stopniach, a x,y,..... to kąty w radianach (zwyczajowo nie znaczy obowiązkowo)

Basia: Miło mi. Jakby co to pisz !

M.: a takie? oblicz miary katow ostrychα i β wiedzac ze sin(α-β)=1/2 i cos (α+β)=1/2

Basia: jeżeli α i β są ostre czyli z przedziału (0;90) to -90 < α-β < 90 i 0< α+β < 180 ale sin(α-β) = 1/2 > 0 ⇒ 0 < α-β < 90 cos(α+β) = 1/2 > 0 ⇒ 0 < α+β < 90 w przedziale (0; 90) sin i cos tylko raz przyjmują wartość 1/2 sinus dla 30; cosinus dla 60 stąd α - β = 30 α + β = 60 i trzeba rozwiązać układ równań

M.: dziekuję. z reszta powinnam sobie poradzić w razie co to napiszę