Liczby zespolone Godzio: Witam, mógłby ktoś podrzucić jakieś zadanka z liczb zespolonych ? Chodzi mi głównie o takie typowe typu z² + z + 4i = 0, Re(zi + 2) ≤ − 1, coś z postacią trygonometryczną i obliczenie np. (2 + i)²⁴ i do tego coś typu "Znaleźć zbiór l.

	π
zespolonych spełniających warunek arg(z2) <		− chce to poćwiczyć, a nie mam do tego
	2

zadań, zbiór dopiero planuje sobie kupić , i gdyby dało radę to jakąś nierówność z liczb zespolonych do udowodnienia (trudniejszą jakąś, ale nie harcorową )

Trivial: Zbiór liczb zespolonych nie jest zbiorem uporządkowanym. Nie ma sensu wyrażenie z₁ < z₂. Dam Ci zadanie! To samo, które dałem ICSP. Wyprowadź wzór na pierwiastek kwadratowy liczby zespolonej. Wzór ma być postaci: z = a + bi.

	1
√z = ±		(α + βi); α,β są zależne tylko od a,b.
	√2

Godzio: z = a + bi

	φ		φ
√z = z1/2 = (a + bi)1/2 = |z|1/2(cos		+ isin		) =
	2		2

	φ		φ
= |z|1/2(cos		+ isin		) = (*)
	2		2

	φ		√cosφ + 1
cosφ = 2cos2φ2 − 1 ⇒ cos		= ±
	2		√2

	φ		φ		√− cosφ + 1
cosφ = 1 − 2sin2		⇒ sin		= ±
	2		2		√2

	|z|1/2
(*) = ±		(√cosφ + 1 + i * √− cosφ + 1) =
	√2

	|z|1/2
= ±		(√a/|z| + 1 + i * √− a/|z| + 1) =
	√2

	1
= ±		(√a + |z| + i * √− a + |z|) =
	√2

	1
= ±		(√a + √a2 + b2 + i * √− a + √a2 + b2)
	√2

Takie cudo mi wyszło

Trivial:

	φ		φ
Jeżeli piszesz cos		= ± ..., a potem piszesz sin		= ± ..., to nie możesz ich
	2		2

połączyć beztrosko, bo nie wiesz jak znak jednego zależy od znaku drugiego. Prawidłowa odpowiedź to:

	1
√z = ±		(√|z|+a + i*sgn(b)√|z|−a)
	√2

Godzio: Czyli jedynie co to trzeba dodać to sgn(b) ? (Ale to już tak od siebie trzeba na to wpaść ? )

Godzio:

	z
Iloraz dwóch liczb sprzężonych to :		?
	z−

Trivial: Wybrałeś trudniejszą drogę wyprowadzenia − będziesz musiał rozpatrzeć przypadki kątów. Droga algebraiczna jest prostsza.

	1
√a+bi =		(α+βi) /2
	√2

	1		1
a+bi =		(α2−β2+2αβi) =		(α2−β2) + αβi
	2		2

⎧	2a = α2−β2
⎩	b = αβ	→ α = b/β

2a = (b/β)² − β² Podstawienie u = β², u>0

	b2
2a =		− u
	u

u²+2au−b² = 0 Δ = 4a² + 4b² = 4|z|² √Δ = 2|z|.

	−2a±2|z|
u =		= −a±|z|, ale u>0, czyli u = |z|−a.
	2

β = ±√|z|−a = sgn(β)√|z|−a.

	b		√|z|+a		√|z|+a
α =		= sgn(β)b*		= sgn(β)b*		=
	sgn(β)√|z|−a		√|z|2−a2		√b2

= sgn(β)sgn(b)√|z|+a. α+βi = sgn(β)sgn(b)√|z|+a + isgn(β)√|z|−a = sgn(β)sgn(b)[√|z|+a + i*sgn(b)√|z|−a] = ±[√|z|+a + i*sgn(b)√|z|−a]

	1
√z = ±		(√|z|+a + i*sgn(b)√|z|−a)
	√2

Trivial:

a+bi
	= ... ?
a−bi

Godzio: Nie no jasne, chodziło mi czy dobrze odczytuje polecenie

Godzio: A jeszcze jedno: liczba sprzężona ze swoim kwadratem, czyli jak to zapisać ? z⁻ = z² ?

Trivial: Można też inną drogą: z = |z|e^iφ z* = |z|e^−iφ

z
	= ...
z*

Godzio: Tego jeszcze nie poznałem

=ala: wiem ze to moze nie wypada wiec jak nie chcesz to nie pisz ale czy moglbys mi wyslac Twoj adres e mail bo jabym miala jakis problem zadaniami?

Godzio: gg mogę podać, 13475599, adresu wole tutaj nie wklejać

=ala: dziekuje dziekuje dzekuje

Trivial: Hmm, nie bardzo rozumiem o co pytają.

Trivial: Pewnie tak jak piszesz.

Godzio: Bo mam polecenie: Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone sprzężone ze swoim kwadratem.

Trivial: Tak, z*=z².

Godzio: Dobra to takie zadanie: Wykazać, że jeśli |z| < 1 to |z² − z + i| < 3 i jak się za to zabrać ?

Trivial: Chyba z = a+bi podstawić. Ale nie wiem.

Jack: |z² − z + i|≤ |z²|+ |z| + |i|< 1+1 +1=3

Trivial: Nie. inaczej.

Trivial: no właśnie jak Jack chciałem, ale mnie wyprzedził.

Godzio: Ale banał

Trivial: Jack, skoro już tu jesteś to powiedz czy masz jakiś pomysł na algorytm Vizera.

Jack: a już myślałem, że skomentowałeś właśnie mój wpis i masz inny pomysł

Jack: pewnie nic nie wymyślę, skoro wy nie poradziliście sobie, ale gdzie szukać tego algorytmu?

Trivial: https://matematykaszkolna.pl/forum/104332.html Poradziliśmy sobie, ale sprawdzamy wszystkie możliwości, co nie jest najwydajniejsze

Jack: Wiesz co, troszkę nie mogę się połapać w treści polecenie... Zaraz lecę na mecze − zerknę jak wrócę. Mógłbym Cię prosić o sformułowanie polecenia? Mam wrażenie, że z Vizerem nawiązałeś kontakt telepatycznie (tzn. naprawdę nie mogę zrozumieć polecenia, albo go nie widzę)

Trivial: Znajdź nietrywialną liczbę N, taką że: sum13(N) = N. Gdzie sum13(N) to suma trzynastych potęg cyfr liczby N. sum13(2011) = 2¹³ + 0¹³ + 1¹³ + 1¹³.

Jack: suma 13−tych potęg cyfr pewnej liczby N − i co teraz?

Jack: Ok

Godzio: A jeszcze jedno, jak szybko znajdować kąt φ w postaci trygonometrycznej, weźmy:

	1		√3
z = −		−		i
	2		2

Jest na to jakiś szybki sposób ?

Trivial: Skoro:

	a		b
z = a + bi = |z|(		+		i) = |z|(cosφ + isinφ)
	|z|		|z|

	a
cosφ =
	|z|

	b
sinφ =
	|z|

Zatem:

	sinφ		b
tgφ =		=
	cosφ		a

Wystarczy określić ćwiartkę liczby a potem znaleźć φ, które jest OK (z tej ćwiartki).