rozłóż wielomian na czynniki aliska: rozłóż wielomian na czynniki : x⁴ + 1 = ?

TOmek: x⁴=−1 sprzeczność

ZKS: (x² − √2x + 1)(x² + √2x + 1)

krystek: W zbiorze R nie można!

ZKS: Właśnie nie ma napisanego polecenie to sobie rozłożyłem troszkę.

Vax: Czemu w R nie można? Można, przecież x⁴+1 = (x²+1)² − (√2x)² = (x²+√2x+1)(x²−√2x+1), niewiadoma wszędzie jest w wykładniku naturalnym.

krystek: a dzięki →Vax iZKS

ZKS:

grafik: TOmek jest w podstawówce i tego jeszcze tam nie przerabiali.

Jack: każdy wielomian stopnia >2 można przedstawić jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej 2...

ICSP: zrobi to ktoś za pomocą e^ix

Jack: co masz na myśli?

ICSP: Trivial kiedyś rozwiązywał takie równanie w liczbach zespolonych za pomocą postaci wykładniczej.

Jack: Hm pomyślę, ale zdaje mi się że nie obejdzie się bez żmudnych rachunków.

Basia: ICSP poczytaj tutaj http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone łatwiej z postaci trygonometrycznej i wzorów Moivre'a −1 = |1|(cosπ+isinπ) = cosπ+ isinπ x⁴ = cosπ+isinπ

	π+2kπ		π+2kπ
x = cos		+ isin
	4		4

dalej sobie policz

ICSP: Basiu znam wzór de Moivre'a i wszystkie trzy postacie liczb zespolonych. Chcę po prostu poznać inną metodę jeśli istnieje.

pomagacz: to trza najpierw sprowadzić do postaci trygonometrycznej, a następnie do wykładniczej. x⁴ = −1 x² = i x = √i z = i |z| = 1 cos(φ) = 0 sin(φ) = 1

	π
φ =		= 90o
	2

	φ + 2kπ		φ + 2kπ
zk = n√|z|(cos(		) + isin(		))
	n		n

k = 0, 1,..., n−1 k = 0, 1

	π		π
z0 = √1(cos(		) + isin(		))
	4		4

	1		1
z0 =		+ i
	√2		√2

z₀ = e^i45o

	5π		5π
z1 = √1(cos(		) + isin(		))
	4		4

	1		1
z1 = −		− i
	√2		√2

z₁ = e^−i135o

ICSP: pomagacz dziękuję. Chciałbym jeszcze spytać czy jest różnica w pisaniu katów w wykładniku w mierze łukowej a w stopniach?

pomagacz: nie ma różnicy, ale wg mnie, moim sposobem, wiadomo w którą stronę idzie kąt i łatwiej go narysować. Kąt o mierze stopniowej otrzymałem po znalezieniu ćwiartki oraz wielkości kąta w postaci łukowej https://matematykaszkolna.pl/strona/451.html https://matematykaszkolna.pl/strona/408.html

ICSP: dziękuję bardzo Jutro to przeanalizuję i będę zadawał więcej pytań Pozdrawiam

TOmek: zadanie pewnie wyciągniete z liceum a Wy tutaj filozofujecie

pomagacz: He, ja to na studiach miałem dopiero

ICSP: a ja właśnie idę na studia

Basia: ICSP przy postaci trygonometrycznej i wykładniczej liczb zespolonych wyłącznie miara łukowa. To są liczby. Nie istnieje coś takiego jak e^90o. Istnieje tylko e^π/2

Trivial: pomagacz, przeoczyłeś jedną kwestię. x⁴ = −1 x² = ±i x = √±i czyli x = √ i lub x = i√ i

	1+i
√ i = ±
	√2

Zadanie rozwiązane.

pomagacz: Do Basi, ja na studiach usłyszałem o czymś takim jak liczby zespolone na pierwszym wykładzie z elektroniki i wykładowca używa cały czas e^i90o a e^iπ₂ używa do określenia wartości wyrażenia e^iπ₂ = i e^−iπ₂ = −i e^iπ = 1 e^−iπ = −1 podczas obliczeń łatwiej dodawać liczby całkowite a nie ułamki, czyż nie?

Bogdan: Ile to jest: 3^{2 km}, 3^{2 s}, 3^{2 kg} ?, a ile jest: 3² ? Miara stopniowa jest miarą mianowaną (liczba i miano, np m = 2 kg, α = 2^o), miara łukowa jest miarą niemianowaną (tylko liczba: α = 2). Zapis 2^90o nic nie oznacza, zapis 2^π/2 jest liczbą.

pomagacz: http://www.wolframalpha.com/input/?i=2^%2890deg%29+%3D+2^%28pi%2F2%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^%2890deg%29+%3D+e^%28pi%2F2%29 cokolwiek nie wpiszesz pod potęgę, i jakkolwiek będziesz zmieniał kąt, zawsze otrzymasz prawdę. Możemy się sprzeczać, ale Wolfram rzadko się myli...

Vax: [..]ale Wolfram rzadko się myli... [..] Oj sprzeczałbym się, nieraz już się spotkałem z pomyłką wolframu, przykładowo wpisz sobie ³√−1: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29^%281%2F3%29 wolfram pokazuje, że nie jest to liczba rzeczywista, co nie jest prawdą, raz przy bardziej skomplikowanym wyrażeniu siedziałem ~ 2h szukając błędu, bo miała wyjść liczba rzeczywista, a wyszła zespolona nierzeczywista, a jak się później okazało wolfram błędnie takie rzeczy liczy, pamiętam też przypadek, jak pisząc 2 razy tą samą funkcję, tylko raz przyrównując do zera a raz nie, wolfram pokazywał 2 różne wykresy. Tak więc masz rację − wolfram nie za często się myli, jednak czasem się to zdarza, dlatego warto na to uważać i nie zawsze mu wierzyć